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【数学】2.2.2《双曲线的简单几何性质(1)》课件(人教A版选修1-1)


2.2.2 双曲线的 简单几何性质(1)

标 准 方 程
范 围

复习 椭圆的图像与性质
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

Y
B2

|x|?a,|y|≤b
关于X,Y轴, 原点对称

对称性

顶点 焦 点


对称轴 离心率 准 线

(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2
e? c a

A1

F1

o

A2

F2

X

a2 x?? c

a2 x?? c

B1

a2 x? c

上述性质其研究方法各是什么?





双曲线的标准方程

形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 F2 (焦点在x轴上,(-c,0)、 (c,0))
形式二: y 2
x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
2

F1 (焦点在y轴上,(0,-c)、(0,c)) F2

其中 a ? b ? c
2 2

2

焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

B2

F1

A1

A2

F2

X

B1

课堂新授

一、研究双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
(-x,y)

的简单几何性质
y
(x,y)

1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ? a 2、对称性

-a (-x,-y)

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是A1 (?a,0)、A2 (a,0)
(2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
(3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

x ? y ? m ( m ? 0)
2 2

-b B 1

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b
b a2 b 2 2 b a2 y?? x ? a ? ? | x | 1? 2 ? ? x 1? 2 a x a a x
b y? x a

当x ? ?时
说明

a2 ?0 2 x

y

当x ? ?时, 双曲线上点的纵坐标 b 与y ? ? x的纵坐标很接近 a

O

x
b y?? x a

b a2 b 即y1 ? ? x 1 ? 2 与y2 ? ? x当x ? ?时, y1 ? y2 a x a

4、渐近线
2 2

(1) 双曲线 x ? y ? 1(分的方程为 双曲线在第一象限内部a ? 0, b ? 0) a 2 b2 b 2 y ? 的渐近线为y 0)? b x x ? a2 (x ? ? a a
b 它与 x的位置关系 (2) y ?等轴双曲线x 2 ?: y 2 ? m a ( m b 0)的渐近线为 ? 在y ? x的下方 a
b

y Q

N(x,y’) M(x,y)

B2

A1
o

A2
a x

y ? ?x

b 它与y ? x的位置的变化趋势 : a (3) 利用渐近线可以较准确的

B1

画出双曲线的草图 慢慢靠近

b y?? x a

b y? x a

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

(3)e的含义:
c2 ? a2 c 2 ? ( ) ? 1 ? e2 ?1 a a b b ?当e ? (1,??)时, ? (0,??), 且e增大, 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴的夹角增大 b ? a

e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大

(4)等轴双曲线的离心率e= ?2

离心率e ?

2的双曲线是等轴双曲线

c (5) e ? a

c ? a ?b
2 2

2

y

在a、b、c、e四个参数中,知二可求二
2 2

B2

c ?b ?a
x

2

几何意义

c
A1

b

0
B1

a

A2

焦点在y轴上的双曲线图像
Y F2 A2
y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

B1

O
A1 F1

B2

X

焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
Y

双曲线标准方程: y ? x ? 1 a2 b2 双曲线性质: y≥a或y≤-a 1、 范围:
关于x轴,y轴,原点对称。 2、对称性: A1 3、顶点 B (0,-a),B (0,a)
1 2

2

2

F2 B2

A2

X

4、轴:实轴

B1B2 ; 虚轴 A1A2
x y ? ?0 b a

o
B1

5、渐近线方程: 6、离心率:

e=c/a 如何记忆双曲线的渐进线方程?

F2





双 曲 线
2 2

性 质 图象
y
o

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x y ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a
x

x ? ?a
y?a




y o x

y ? ?a

b c 关于 (?a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 2 2 2 都对 a c ? a ?b ) 称 (0,?a) y ? ? x b

练习1、
标 准 方 x 2 ? 8 y 2 ? 32 程
2a 2b 范 围

9 x 2 ? y 2 ? 81 x 2 ? y 2 ? ?4
6 18 |x|≥3 (±3,0) 4 4 |y|≥2 (0,±2)

x2 y2 ? ? ?1 49 25

8 2
4

10 14 |y|≥5 (0,±5)

|x|≥ 4 2

顶 点 焦 点
离 心 率 渐 进 线

?? 4
e?

2 ,0

?

?? 6,0?
3 2 4

?? 3

10 ,0

?

?0,?2 2 ?
e? 2
y ? ?x

?0,?
e ?

74

?

e ? 10

74 5

2 y?? x 4

y=±3x

5 y?? x 7

例题讲解

例1 :求双曲线

9y2 ?16x2 ? 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解:把方程化为标准方程

可得:实半轴长a=4

虚半轴长b=3
半焦距c=
42 ?32 ? 5

焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
e ?

4 渐近线方程: y ? ? x 3

c 5 ? a 4

例2.求一渐近线为3x+4y=0,一个焦点

为(5,0)的双曲线的标准方程.

练习2:

求中心在原点,对称轴为坐标 轴,经过点P(1, 3)且离心率为 2 ? 的双曲线标准方程.

例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0 y 13 C 12 A x

B′

25

B
18

例题讲解

例3 :求下列双曲线的标准方程:

x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ?3, 2 3) ; 9 16

x2 y2 (3 ? 1 有公共焦点,且过点 2 , 2) ⑵与双曲线 ? 16 4

x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ?3, 2 3) ; 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 , 9 16 3 4 故点 ( ?3, 2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 ? ?a 3 x2 y2 ?a ? ∴? 解之得 ? ?1 4 ,∴ 双曲线方程为 ? ? 2 2 9 4 ?b2 ? 4 ? ( ?3) ? (2 3) ? 1 ? 4 ? a2 b2 ?

法二:巧设方程,运用待定系数法. ⑴设双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? ? (? ? 0) ,
9 16

( ?3)2 (2 3)2 ? ? ?? 9 16

1 ?? ? 4

x2 y2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 9 4 4

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b ? a 2 ? b 2 ? 20 ? a 2 ? 12 ? 则? 解之得 ? 2 ? (3 2 )2 2 2 或设 ?b ? 8 ? ? 2 ?1 ? 2
? a b

x2 y2 ? ?1 ∴双曲线方程为 12 8

x2 y2 ? ? 1, 2 2 m 20 ? m 求得m 2 ? 12(30舍去)

法二:设双曲线方程为
(3 2)2 22 ∴ ? , ?1 16 ? k 4 ? k

x2 y2 ? ? 1 ? 16 ? k ? 0且4 ? k ? 0 ? 16 ? k 4 ? k

解之得k=4,
x2 y2 ? ?1 12 8

∴ 双曲线方程为

总结:
1、“共渐近线”的双曲线的应用

x y 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系 a b 2 2 x y 方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线; λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。 x2 y 2 x2 y2 2、与 2 ? 2 ? 1共焦点的椭圆系方程是 2 ? 2 2 ? 1, a b m m ?c 2 2 x y 双曲线系方程是 2 ? 2 ? 1. 2 m c ?m

2

2

练习3:
x2 y 2 1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点,且离心率 49 24 5 e ? 的双曲线方程。 4
y x 2. 求与椭圆 ? ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 16 8
2 2

x?

3y ? 0 的双曲线方程。
2 2

x y 3、求以椭圆 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。

x2 y 2 例4.(1)设双曲线 2 - 2 =1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过点 a b

3c (a,0),(0,b),且原点到直线l的距离为 ,求双曲线的离心率. 4

3c 解:? l : bx ? ay ? ab ? 0, = 2 2 4 a ?b 2 3 则3e -16e +16=0,解得e=2,或e= , 3
4 2

ab

b ? 0<a<b ? e= 1+ 2 > 2 ,则e=2. a

2

x2 y 2 练习4:(2)设双曲线 2 - 2 =1(a>1,b>0)的半焦距为c,直线l过点 a b (a,0),(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离 4c 和为S,S ? ,求双曲线的离心率的取值范围. 5

解:? l : bx ? ay ? ab ? 0,d1 ?

b(a-1) a ?b
2 2

,d 2 ?

b(a+1) a ?b
2 2

2ab 4c 5 4 2 d1 +d 2 = ? ,则4e -5e +25 ? 0,解得 ? e ? 5. c 5 2

例5.已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求: (1)以2为斜率的弦的中点轨迹; (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹; (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗?说明理由;

x2 2 3、设双曲线C: 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 a 相交于两个不同的点A、B。
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围。
??? 5 ??? ? ? (2)设直线l与y轴的交点为P,且 PA ? PB, 求a的值。 12

17 2a 所以 x 2 ? ? . 2 12 1? a 2 5 2 2a x2 ? ? . 2 12 1? a 2 2a 289 消去, x 2 , 得 ? ? 2 60 1? a 17 由a ? 0, 所以a ? 13

2

x y ? ? 1上的一点P与左、右 4、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 ?PF1 F2 ,求 ?PF1 F2的内切圆与
边 F1 F2 的切点坐标。
说明:双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形,其中| PF1 | 、PF2 | 和 | F1 F2 | | 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题,要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。

2

2

练习6
x2 y2 ? ?1 1.过点P(1,1)与双曲线 只有 一个 9 16 Y 4 交点的 直线 共有_______条.


(1,1)

变题:将点P(1,1)改为

O

X

1.A(3,4)
2.B(3,0)

3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.

? x2 y2 2.过双曲线 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 9 16 4

交于 A、B 两点,则|AB|= 192 . 3.双曲线的两条渐进线方程为 x ? 2 y ? 0 ,且截直线 x ? y ? 3 ? 0
8 3 所得弦长为 ,则该双曲线的方程为( ) 3 x2 y2 y2 x2 ? 1 (C) x 2 ? ? 1 (D) ? y 2 ? 1 (A) ? y 2 ? 1 (B) x 2 ? 2 4 2 4

7

D

4.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点 0 ? ??,? ? ?1 ? (异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________, ? ?

x2 y2 ? ?1 交于两点的直线斜率的 5.过原点与双曲线 ? 4 3 ? ? 3? ? 3 ? ? ??, ??? , ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 取值范围是 ? ?





椭 圆

双曲线

方程
a b c关系

2 x2 ? y ? 1 a> b >0) 2 ( 2 a b

x2 ? y2 ? 1 ( a> 0 b>0) 2 b2 a

c 2? a 2 ? b 2 (a> b>0)
y
M

c 2? a 2 ? b 2 (a> 0 b>0)
Y p F2 X

图象
F1

0

F2

X

F1

0

范围

|x|?a,|y|≤b
对称性

|x| ≥ a,y?R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) 实轴:2a 虚轴:2b
c (e?1) e= a

对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点
顶点

(-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴:2a 短轴:2b c e= a
( 0<e <1 )

离心率

渐近线


a2 x?? c

y=±

准线

b x a a2 x?? c

x2 y2 椭圆有许多重要结论:(以椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 为例) a b x2 y2 1. P ( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点,长轴两端点为 a b
b2 ? 2 等于常数_____. 反过来,满足这一条件的点在椭圆上. a x2 y2 2. P ( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点,左焦点 F左 (?c, 0) , a b a ? ex0 ? a ? ex , _____________ 右焦点 F (c, 0) ,则 PF ? a ? ex0 ? a ? ex0 , PF ? _____________ 0


A1 ( ? a,0) 、 A2 (a , 0) ,则两直线 PA1 、 PA2 的斜率之积 kPA1 ? kPA2





由此可知, PF左 max ? a ? c , PF左 min ? a ? c x2 y2 3. P ( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c a 常数 e ? 离和它到右准线 ? : x ? 的距离的比是__________,且反过来,满 a

c

足这一条件的点在椭圆上.

那么双曲线有没有类似结论呢?

42

x2 y2 双曲线的猜想:(以双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 为例) a b
x2 y2 1. P ( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的任意一点,实轴两端点为 a b A1 ( ? a,0) 、 A2 (a , 0) ,则两直线 PA1 、 PA2 的斜率之积 kPA1 ? kPA2 等 2

b 于常数_____. a2

反过来,满足这一条件的点在双曲线上.

x2 y2 2. P ( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的任意一点,左焦点 F左 (?c, 0) , a b a ? ex0 a ? ex0 右焦点 F右 (c, 0) ,则 PF左 ? ___________ , PF右 ? _____________ ,

由此可知, PF右 min ? c ? a .

x2 y2 3. P ( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2

c a 常数 e ? 离和它到定直线 ? : x ? 的距离的比是__________. a c

那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢? 43


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