当前位置:首页 >> 数学 >>

谈谈累加法和累乘法的另一种形式


谈谈累加法和累乘法的另一种形式
课本上推导等差数列的通项公式和等比数列的通项公式分别用了累加法和累乘法,在各 类考试中也经常出现使用累加和累乘的方法来求通项公式的问题,它们的重要性毋庸置 疑.笔者在此给出累加法和累乘法的另一种形式,它使用起来更加简洁明了. 递推关系 an?1 ? an ? f (n) 可用累加法求其通项公式:

an ? ? (ak

?1 ? ak ) ? a1 ? ? f (k ) ? a1 , n ? 2 ,
k ?1 k ?1

n ?1

n ?1

若 f (n) ? g (n ? 1) ? g (n) ,则 an?1 ? an ? f (n) 可以写成 an?1 ? an ? g (n ? 1)? g ( n ),即

an?1 ? g (n ? 1) ? an ? g ( n ),这说明 an ? g (n) 为常数,即 an ? g (n) ? a1 ? g (1) ,由此可求
得 n ? 2 时的 an ; 递推关系

an?1 ? f (n) 可用累乘法来求其通项公式: an
n ?1 n ?1 an?1 ? a1 ? f (n) , n ? 2 , an k ?1

an ? a1 ?
k ?1

若 f ( n) ?

an ?1 a g (n ? 1) a a g (n ? 1) ? n ,这说 ,则 n ?1 ? f (n) 可以写成 n ?1 ? ,即 g ( n) g (n ? 1) g (n ) an an g ( n)



an a a 为常数,即 n ? 1 ,由此可求得 n ? 2 时的 an . g (n) g (n) g (1)

例 1:等差数列 an?1 ? an ? d ,将 d 改写 (n ? 1)d ? nd ,则由上可知 an ? nd ? a1 ? d ,故

n ? 2 时 an ? a1 ? (n ?1)d ,经检验 a1 符合上式,故 an ? a1 ? (n ?1)d .
例 2: 等比数列

a q n ?1 a an ?1 ? 1, 将 q 改写为 n , 则由上可知 n 故 n ? 2 时 an ? a1q n?1 , ?q, n q q an q

经检验 a1 符合上式,故 an ? a1q n?1 . 例 3:数列 ?an ? 满足

an?1 n ? 1 且 a1 ? 1 ,则 an ? _____________. ? an n

解:

a a an ?1 n ? 1 a a ? ? n ?1 ? n ,所以 n ? 1 ? 1 ,所以 n ? 2 时 an ? n ,经检验 a1 符合上 n 1 an n n ?1 n

式,故 an ? n .

例 4: 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? ?1 , 当n ? 3 , n ? N * 时, 则数列 ?an ? 的通项公式为____________. 解:令 bn ? 时有 bn ?

an a 3 , ? n ?1 ? n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

a a an 3 3 3 3 ,由 及 n ? n ?1 ? 知n ? 3 ? ? n ?1 (n ?1 )( n ? 2) n2 ? n1 ? n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

3 3 3 3 3 ? bn ?1 ? ? b2 ? ? 2 ,即 bn ? 2 ? , n ? 3 ,所以 ,所以 bn ? n ?1 n?2 n ?1 1 n ?1

?1, n ? 1 . an ? (n ? 1)bn ? 2n ? 5, n ? 3 ,经检验 a2 符合上式,所以 an ? ? ?2n ? 5, n ? 2
例 5: 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1 , 且 (Sn?1 ? ? )an ? (Sn ? 1)an?1 对一切 n ? N * 都成立. (1)若 ? ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 ? 的值,使数列 ?an ? 是等差数列. (2014 苏州一模卷第 19 题) 解: (1)若 λ = 1,则 (Sn?1 ? 1)an ? (Sn ? 1)an?1 , a1 ? S1 ? 1 . 又∵ an ? 0,Sn ? 0 , ∴
Sn ?1 ? 1 an ?1 S ? 1 Sn ? 1 S ? 1 S1 ? 1 ? ? ? ? 2, ,即 n ?1 ,所以 n Sn ? 1 an an ?1 an an a1

下面解答与本文无关,略; (2)令 n = 1,得 a2 ? ? ? 1 .令 n = 2,得 a3 ? (? ? 1) 2 ,要使数列 ?an ? 是等差数列,必须有
2a2 ? a1 ? a3 ,解得 λ = 0.

当 λ = 0 时, Sn?1an ? (Sn ? 1)an ?1 ,且 a2 ? a1 ? 1 . 当 n≥2 时, Sn?1 (Sn ? Sn ?1 ) ? (Sn ? 1)( Sn ?1 ? Sn ) , 整 理 , 得 Sn 2 ? Sn ? Sn?1Sn?1 ? Sn?1 ,
S n ? 1 S n ?1 ? , S n ?1 ? 1 S n

所以

S n ? 1 S n ?1 ? 1 ? ,故 S n ?1 Sn

S n ? 1 S1 ? 1 ? ? 1 ,下面解答与本文无关,略. Sn ?1 S2

例 6 :设数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2 ,

2 an ? 2 an ?1 ? 1 ,求 an ?1 与 an 之间的递推关系式 ? 2 an an ? 1

(2008 年湖北预赛第 12 题第(1)小题) an?1 ? f (an ) .

解:

2 an?2 an a a a 2?1 ? 1 an?2 an?1 an?1an a a aa ?1 ? 1 ? 2 ? n?2 n?1 ? n2 ? 2 ? 2 ? n2?1 n ? 22 1 ? 1 an an ? 1 an?1an an ? 1 an?1 ? 1 an ? 1 an ? 1 a1 ? 1

2 ? an?1an ? an ? 1 ? an ?1 ? an ?

1 . an

最后说一下初值 a1 是否符合由累加法或累乘法得出的 n ? 2 时的 an 的问题,我们发现 所有的检验最后都是符合的, 原 因 很 简 单 , 由 an ? g (n) ? a1 ? g (1) 求 得

an ? a ( ) n? g ( 1 ) ,n ? ,当 2 n ? 1 时 a1 ? a1 ? g (1) ? g (1) 成立;由 1 ? g
an ? g (n)a1 g (1)a1 , n ? 2 ,当 n ? 1 时 a1 ? 成立. g (1) g (1)

an a ? 1 求得 g ( n) g (1)


相关文章:
谈谈累加法和累乘法的另一种形式
谈谈累加法和累乘法的另一种形式_数学_高中教育_教育专区。谈谈累加法和累乘法的另一种形式课本上推导等差数列的通项公式和等比数列的通项公式分别用了累加法和累...
题型-数列通项之累加法与累乘法
题型-数列通项之累加法与累乘法_数学_高中教育_教育专区。题型解题,课外辅导更适合数列通项之累加法和累乘法 一、题型要求: 累加法:若 an?1 ? an ? f (n...
逐差累加法
知识点二:常见的由递推关系求数列通项的方法 1.迭加累加法: ,则,,…, 2.迭乘累乘法: , 则 , ,…, 今日推荐 81份文档 笑话大全集 笑话大全爆笑版 ...
累加累乘问题如何编程
累加累乘问题如何编程_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。累加累乘问题如何编程...c语言 累加累乘 教案 4页 免费 谈谈累加法和累乘法的另... 3页 免费 c#....
【考点】002由累加法与累积法求通项
【考点】002由累加法与累积法求通项_数学_高中教育_教育专区。【考点】累加法...1 an?1 ? g (n) 的递推数列通项公式的基本方法 an 称为累乘法,累乘法...
类型二2007-2016高考数列累加法求通项 典型的错位相减法求和
类型二: 累加法累乘法求通项 典型的错位相减法求和 1.(2009 全国卷Ⅰ理) (...k ?1 k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2 n 易得 ?2 k ...
数列通项求法——累乘法 待定系数法
数列通项求法---累乘法 累乘法 数列通项求法类型 2 (1)递推公式为 a n +1 = f ( n) a n 解法:把原递推公式转化为 a n+1 = f (n) ,利用累...
第三讲 通项与求和
第三讲 通项与求和_数学_高中教育_教育专区。第三讲一、通项求解的主要解题思路...2 (3)12,1122 (二)利用推递公式求通项公式 1累加法与累乘法 ①形如: ...
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法) ...
70分填空题大突破与解题技法(4)
“情理”, 其中主要是归纳推理类比 推理.归纳推理是由部分得到整体的一种...n?,都可以用累加法,其它如累乘法、数列的错位相减法、裂项相消法等,也是由...
更多相关标签:
累加法累乘法 | 累加法 累乘法的讲解 | 爱的另一种形式 | 格林公式的另一种形式 | 累乘法 | 累乘法求通项公式 | 数列累乘法 | 累乘法求通项公式例题 |