当前位置:首页 >> 数学 >>

谈谈累加法和累乘法的另一种形式


谈谈累加法和累乘法的另一种形式
课本上推导等差数列的通项公式和等比数列的通项公式分别用了累加法和累乘法,在各 类考试中也经常出现使用累加和累乘的方法来求通项公式的问题,它们的重要性毋庸置 疑.笔者在此给出累加法和累乘法的另一种形式,它使用起来更加简洁明了. 递推关系 an?1 ? an ? f (n) 可用累加法求其通项公式:

an ? ? (ak ?1 ? ak ) ? a1 ? ? f (k ) ? a1 , n ? 2 ,
k ?1 k ?1

n ?1

n ?1

若 f (n) ? g (n ? 1) ? g (n) ,则 an?1 ? an ? f (n) 可以写成 an?1 ? an ? g (n ? 1)? g ( n ),即

an?1 ? g (n ? 1) ? an ? g ( n ),这说明 an ? g (n) 为常数,即 an ? g (n) ? a1 ? g (1) ,由此可求
得 n ? 2 时的 an ; 递推关系

an?1 ? f (n) 可用累乘法来求其通项公式: an
n ?1 n ?1 an?1 ? a1 ? f (n) , n ? 2 , an k ?1

an ? a1 ?
k ?1

若 f ( n) ?

an ?1 a g (n ? 1) a a g (n ? 1) ? n ,这说 ,则 n ?1 ? f (n) 可以写成 n ?1 ? ,即 g ( n) g (n ? 1) g (n ) an an g ( n)



an a a 为常数,即 n ? 1 ,由此可求得 n ? 2 时的 an . g (n) g (n) g (1)

例 1:等差数列 an?1 ? an ? d ,将 d 改写 (n ? 1)d ? nd ,则由上可知 an ? nd ? a1 ? d ,故

n ? 2 时 an ? a1 ? (n ?1)d ,经检验 a1 符合上式,故 an ? a1 ? (n ?1)d .
例 2: 等比数列

a q n ?1 a an ?1 ? 1, 将 q 改写为 n , 则由上可知 n 故 n ? 2 时 an ? a1q n?1 , ?q, n q q an q

经检验 a1 符合上式,故 an ? a1q n?1 . 例 3:数列 ?an ? 满足

an?1 n ? 1 且 a1 ? 1 ,则 an ? _____________. ? an n

解:

a a an ?1 n ? 1 a a ? ? n ?1 ? n ,所以 n ? 1 ? 1 ,所以 n ? 2 时 an ? n ,经检验 a1 符合上 n 1 an n n ?1 n

式,故 an ? n .

例 4: 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? ?1 , 当n ? 3 , n ? N * 时, 则数列 ?an ? 的通项公式为____________. 解:令 bn ? 时有 bn ?

an a 3 , ? n ?1 ? n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

a a an 3 3 3 3 ,由 及 n ? n ?1 ? 知n ? 3 ? ? n ?1 (n ?1 )( n ? 2) n2 ? n1 ? n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

3 3 3 3 3 ? bn ?1 ? ? b2 ? ? 2 ,即 bn ? 2 ? , n ? 3 ,所以 ,所以 bn ? n ?1 n?2 n ?1 1 n ?1

?1, n ? 1 . an ? (n ? 1)bn ? 2n ? 5, n ? 3 ,经检验 a2 符合上式,所以 an ? ? ?2n ? 5, n ? 2
例 5: 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1 , 且 (Sn?1 ? ? )an ? (Sn ? 1)an?1 对一切 n ? N * 都成立. (1)若 ? ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 ? 的值,使数列 ?an ? 是等差数列. (2014 苏州一模卷第 19 题) 解: (1)若 λ = 1,则 (Sn?1 ? 1)an ? (Sn ? 1)an?1 , a1 ? S1 ? 1 . 又∵ an ? 0,Sn ? 0 , ∴
Sn ?1 ? 1 an ?1 S ? 1 Sn ? 1 S ? 1 S1 ? 1 ? ? ? ? 2, ,即 n ?1 ,所以 n Sn ? 1 an an ?1 an an a1

下面解答与本文无关,略; (2)令 n = 1,得 a2 ? ? ? 1 .令 n = 2,得 a3 ? (? ? 1) 2 ,要使数列 ?an ? 是等差数列,必须有
2a2 ? a1 ? a3 ,解得 λ = 0.

当 λ = 0 时, Sn?1an ? (Sn ? 1)an ?1 ,且 a2 ? a1 ? 1 . 当 n≥2 时, Sn?1 (Sn ? Sn ?1 ) ? (Sn ? 1)( Sn ?1 ? Sn ) , 整 理 , 得 Sn 2 ? Sn ? Sn?1Sn?1 ? Sn?1 ,
S n ? 1 S n ?1 ? , S n ?1 ? 1 S n

所以

S n ? 1 S n ?1 ? 1 ? ,故 S n ?1 Sn

S n ? 1 S1 ? 1 ? ? 1 ,下面解答与本文无关,略. Sn ?1 S2

例 6 :设数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2 ,

2 an ? 2 an ?1 ? 1 ,求 an ?1 与 an 之间的递推关系式 ? 2 an an ? 1

(2008 年湖北预赛第 12 题第(1)小题) an?1 ? f (an ) .

解:

2 an?2 an a a a 2?1 ? 1 an?2 an?1 an?1an a a aa ?1 ? 1 ? 2 ? n?2 n?1 ? n2 ? 2 ? 2 ? n2?1 n ? 22 1 ? 1 an an ? 1 an?1an an ? 1 an?1 ? 1 an ? 1 an ? 1 a1 ? 1

2 ? an?1an ? an ? 1 ? an ?1 ? an ?

1 . an

最后说一下初值 a1 是否符合由累加法或累乘法得出的 n ? 2 时的 an 的问题,我们发现 所有的检验最后都是符合的, 原 因 很 简 单 , 由 an ? g (n) ? a1 ? g (1) 求 得

an ? a ( ) n? g ( 1 ) ,n ? ,当 2 n ? 1 时 a1 ? a1 ? g (1) ? g (1) 成立;由 1 ? g
an ? g (n)a1 g (1)a1 , n ? 2 ,当 n ? 1 时 a1 ? 成立. g (1) g (1)

an a ? 1 求得 g ( n) g (1)


相关文章:
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、...四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其...
《数列通项求法》 导学案
能熟练地应用累加法和累乘法、构造法等常见的数列通项求法求一些简单的数列的通项公 式 【学习重、难点】 学习重点:: 能熟练地应用累加法和累乘法、构造法等...
递推数列通项的常用求法
下面就常见的几种递推数列,谈谈此类数列的通项公式...N *) n 点评:在运用累加法和累乘法时,要看清项...? (an?1 ? ? ? an ) 的形式,就是 ?? ? ...
类型二2007-2016高考数列累加法求通项 典型的错位相减...
类型二: 累加法累乘法求通项 典型的错位相减法求和 1.(2009 全国卷Ⅰ理) (...k ?1 k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2 n 易得 ?2 k ...
求数列通项公式的十种方法
四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、...四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其...
一题一课数列1
递推关系式也是给出数列的一种方式,求递推数列的...累加法累乘法、迭代法、构造等 差数列法、构造...时, 可得另一种解法:an?1 ? 3an ? an ? 3an...
求数列前N项和的方法
求数列前 N 项和的方法 公式法、累加法累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换 元法、不动点法、特征根的方法等等。 类型一 归纳—猜想...
几种常见的递推数列通项的求法教案·导学案
? 小结与归纳本堂课通过等差数列和等比数列通项公式的求法,利用累加法和累乘法,研究了 几种常见的递推数列的通项公式的求法。至于问题四的其他变式,将在以后...
求数列通项
单元复习课专题一,数列的通项公式 求数列常用的通项公式有:观察法,累加法,累乘法,待定系数 法,换元法,构造法和通项公式法。 1 观察法 例 1 写出下列数列的...
求数列通项公式通法列举
有关求数列通项公式问题列举,谈谈求数列通项三种重要的通法的应用。 三种重要的通法的应用 数列通项公式的求解方法有很多,如观察法、累加法累乘法、待定系数法...
更多相关标签: