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内蒙古杭锦后旗奋斗中学2017届高三数学上学期入学摸底考试试题 文


2016—2017 学年奋斗中学高三语文第一学期摸底 数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号

,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
x 1.已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x 2 ? 1 ,则 M ? N =

?

?

?

?

A. ? 2.复数 Z ? A.i

B.

? x 0 ? x ? 1?

C.

? x x ? 0?

D.

? x x ? 1?

2i 的虚部是 1? i
B.-i C.1 D.-1

1 3.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? , a4 ? 3 ,则该数列前五项的积为 9
A.±3 B.3 C.±1 D. 1

4.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示, 文科数学试卷 第 1 页(共 6 页) 则该三棱锥的体积为 A.4 3 C.12 3 B.8 3 D.24 3

5.若直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0 与 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 平行,则 l1 与 l2 间的距离为 A. 2 B.

8 2 3

C. 3

D.

8 3 3
1

6.在 ?ABC 中, tan A ? A.-1

1 3 10 ,则 tan C = , cos B ? 2 10
C. 3 开始 输入 a,b 是 输出
b?1 a

B.1

D.-2

7.若对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算规则 如右图的程序框图所示,则 (3 ? 2) ? 4 的值是
13 A. 12 1 B. 2

a≤b?

否 输出
a ?1 b

C.

3 2

D.9 8.将函数 y ? sin(6 x ? 右平移

结束

?
4

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ,再向

? 个单位,所得函数图像的一个对称中心是 8
B. ?

A. ?

?? ? ,0 ? ? 16 ?

?? ? ,0 ? ?9 ?

C. ?

?? ? ,0 ? ?4 ?

D. ?

?? ? ,0 ? ?2 ?

9.双曲线 率为 A. 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 相切,则该双曲线的离心 a 2 b2

B.2

C. 5

D. 6

10.在区间[0,2]上任取两个实数 a,b,则函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 b 2 ? 1 没有零点的概率是 4 A.

? 8

B.

4 ?? 4

C.

4 ?? 8

D.

? 4

11.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,若 f ? ?1? ? ?2 ,

f ? ?7 ? ?

a ?1 ,则实数 a 的取值范围为 3 ? 2a

A. ? ? , ?1?

? 3 ? 2

? ?

B. ? ?2,1?

C. ?1, ?

? 3? ? 2?

D. ? ??,1? ? ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

12.已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e x ( x ? 1) ,给出下列命题: ①当 x ? 0 时, f ( x) ? e x (1 ? x) ③ f ( x ) ? 0 的解集为 ( ?1,0) ? (1,? ?) ②函数 f ( x ) 有 2 个零点 ④ ?x 1 , x 2 ? R ,都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 2
2

其中正确命题个数是 A.1 B.2 C.3 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求
1 1 ? 的最小值____________. a b

D.4

14. 已知| a |=2, | b |=2, 且 λ b - a 与 a 垂直, 则实数 λ =________. a 与 b 的夹角为 45°, 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? 则

1 2 c , 4

a cos B ? _______________ c

16.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体 积为 3 , AB ? 2 , AC ? 1, ?BAC ? 60 ,则此球的表面积等于_______________.
?

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 文科数学试卷 第 3 页(共 6 页) 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 8 ,前 6 项的和 S6 ? 66 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ?

2 , Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求 Tn 。 (n ? 1)an

18. (本小题满分 12 分) 某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答问题统 计结果如图表所示. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 回答正确 的人数 5 回答正确的人数 占本组的概率 0.5 0.9

a
27

x
0.36

b
3

y

3

(1)分别求出 a, b, x, y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各抽 取多少人? (3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取 的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率. 19. (本小题满分12分) 已知平行四边形ABCD中, AB=4, E为 AB的中点, 且△ADE是等边三角形, 沿DE 把△ADE 折起至A1 DE 的位置,使得A1 C=4. (1)F 是线段A1 C的中点,求证:BF //平面A1 DE ; (2)求证:A
1

D⊥CE ;

A1 F D C C

(3)求点A1到平面BCDE的距离.
D

A

E

B

E

B

20.(本小题满分 12 分) 已知 A、B 分别是椭圆 C : 物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点,直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴,若过 F 作直 线 FQ 垂直于 AP,并交直线 l 于点 Q,证明:Q、P、B 三点共线. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? a, x ? R 的图像在点 x ? 0 处的切线为 y ? bx . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? R 时,求证: f ( x) ? ? x 2 ? x ; (3)若 f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范围;
y2 x2 1 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,离心率为 ,右焦点与抛 a 2 b2 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲. C

4

A

O

E

B

D

如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 是⊙O 上的两点,

OC⊥AB,过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于
点 D.连接 CF 交 AB 于点 E. (1)求证:DE =DB?DA; (2)若 DB=2,DF=4,试求 CE 的长.
2

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? ?5 ? 2 cos t ? ? y ? 3 ? 2 sin t

, (t 为参数) ,在以

原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

? ? ? cos(? ? ) ? ? 2 ,A,B 两点的极坐标分别为 A(2, ), B(2, ? ) .
4 2
(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 是圆 C 上任一点,求△PAB 面积的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 文科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | . (1)解不等式: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ; (2)已知 a ? 2 ,求证: ?x ? R, f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

一、选择题

5

题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 A
5 8

5 B

6 A

7 C

8 D

9 C

10 D

11 D

12 B

二、填空题 13.4 14.
2

15.

16. 8?

三.解答题 17、解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

a2 ? 8

得: a1 ? d ? 8 ①

由 s6 ? 66 得 : 6a1 ? 15d ? 66 即 2a1 ? 5d ? 22 ② 联定①② ?

? a1 ? 6 ?d ? 2

?an ? a1 ? ? n ?1? d ? 2n ? 4
1 ? 1 1 ? n ?1 n ? 2

(2)由(1)得 bn ?

? n ? 1?? n ? 2?

1 1 ? 1 ?1 1? ?1 1? ? 1 ?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 2 ? n?2 ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? 2 ?
18 【答案】解:(Ⅰ)第 1 组人数 5 ? 0.5 ? 10 , 所以 n ? 10 ? 0.1 ? 100 , 第 2 组人数 100 ? 0.2 ? 20 ,所以 a ? 20 ? 0.9 ? 18 , 第 3 组人数 100 ? 0.3 ? 30 ,所以 x ? 27 ? 30 ? 0.9 , 第 4 组人数 100 ? 0.25 ? 25 ,所以 b ? 25 ? 0.36 ? 9 第 5 组人数 100 ? 0.15 ? 15 ,所以 y ? 3 ? 15 ? 0.2 (2)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 18 : 27 : 9 ? 2 : 3 : 1 ,所以第 2,3,4 组每组应各依次抽取

2 人, 3 人,1 人
(3)记抽取的 6 人中,第 2 组的记为 a1 , a 2 ,第 3 组的记为 b1 , b2 , b3 ,第 4 组的记为 c , 则从 6 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 15 种,它们是:

(a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , c) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , c) ,
(b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , c) , (b2 , b3 ) , (b2 , c) , (b3 , c)
9 种,它们是: 其中第 2 组至少有 1 人的情况有

(a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , c) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , c)
故所求概率为

9 3 ? 15 5

6

20 解: (1)抛物线的焦点 F(1,0), ∵e ?

1 ,∴a=2,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,∴椭圆方程为 2 2 x y2 ? ? 1. ..................4 分 4 3

(2)由(1)知直线 l 的方程为 x=-2,∵点 P 异于 A,B,∴直线 AP 的斜率存在且不为 0, 设 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,

? x2 y2 ? ? ? 1 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 , 联立 ? 4 3 ? ? y ? k ( x ? 2)

xP ? x A ?

? 16k 2 6 ? 8k 2 12k x ? ,∴ , yP ? . P 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2
7

1 1 ,∴直线 QF 的方程为 y ? ? ( x ? 1) , k k 12k 3 1 ? ? 2 3 3 ? y ? ? ( x ? 1) 联立 ? ,解得交点 Q (?2, ) , k PQ ? 3 ? 4k 2 k ? ? , k 6 ? 8 k 4 k k ? x ? ?2 ?2 ? 3 ? 4k 2 3 ?0 3 k k BQ ? ?? , ?2?2 4k 即 k BQ ? k PQ ,有公共点 Q,所以 Q,P,B 三点共线.....12 分
又∵QF⊥AP, kQF ? ? 21.解: (1) f ( x) ? e x ? x 2 ? a, f ?( x) ? e x ? 2x
? f (0) ? 1 ? a ? 0 ? a ? ?1 由已知 ? 解得 ? ,故 f ( x) ? e x ? x 2 ? 1 ? ? f (0) ? 1 ? b ?b ? 1

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? e x ? x ? 1 , 由 g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得 x ? 0 当 x ? (??,0) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? (0,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增 ∴ g ( x) min ? g (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? ? x 2 ? x f ( x) (3) f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 ? ? k 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 x f ( x) 令 ? ( x) ? ,x?0, x xf ?( x) ? f ( x) x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1) ( x ? 1)(e x ? x ? 1) ? ? ∴ ? ?( x) ? x2 x2 x2 由(2)可知当 x ? (0,??) 时, e x ? x ? 1 ? 0 恒成立 令 ? ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ; g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ∴ ? ( x ) 的增区间为 (1,??) ,减区间为 (0,1) , ? ( x )min ? ? (1) ? e ? 2 C ∴ k ? ? ( x )min ? ? (1) ? e ? 2 ,∴实数 k 的取值范围为 ( ? ?, e ? 2) 22(1)证明:连接 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. E O A 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 2 F 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF =DB?DA. 2 所以 DE =DB?DA. ……………… 5 分 2 (2)解:? DF =DB?DA,DB=2,DF=4. ? DA= 8, 从而 AB=6, 则 OC ? 3 . 又由(1)可知,DE=DF=4, ? BE=2,OE=1. 从而 在 Rt ?COE 中, CE ? CO2 ? OE2 ? 10 . 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4? 4:坐标系与参数方程】 ? ? x ? ?5 ? 2 cos t, 解: (1)由 ? ? ? y ? 3 ? 2 sin t, ? ? x ? 5 ? 2 cos t, 得? ? ? y ? 3 ? 2 sin t, 消去参数 t,得 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 , ………………10 分

B

D

8

所以圆 C 的普通方程为 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 .
π? ? 由 ? cos ? ? ? ? ? ? 2 , 4? ?

2 2 ? cos ? ? ? sin ? ? ? 2 , 2 2 即 ? cos ? ? ? sin ? ? ?2 , 换成直角坐标系为 x ? y ? 2 ? 0 , 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 .



……………………………………(5 分)

? π? (2)∵A ? 2, ?,B(2,π) 化为直角坐标为 A(0,2),B(?2,0) 在直线 l 上, ? 2?

并且 | AB |? 2 2 , 设 P 点的坐标为 (?5 ? 2 cos t,3 ? 2 sin t ) , 则 P 点到直线 l 的距离为 d ?
| ?5 ? 2 cos t ? 3 ? 2 sin t ? 2 | 2

? π? ?6 ? 2 cos ? t ? ? 4? ? , ? 2

∴d min ?

4 2

?2 2,
1 ?2 2?2 2 ? 4. 2

所以 △PAB 面积的最小值是 S ?

…………………………(10 分)

(说明:用几何法和点到直线的距离公式求 d ?

| ?5 ? 3 ? 2 | 2

? 2 ? 2 2 也可参照给分. )

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4? 5:不等式选讲】 (1)解: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ,即 | x ? 1| ? | x |? 4 , 3 ①当 x≤0 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 x ? ? , 2 3 ∴ ? ? x≤0 是不等式的解; 2 ②当 0 ? x≤1 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 1 ? 4 恒成立, ∴0 ? x≤1 是不等式的解; 5 ③当 x ? 1 时,不等式为 x ? 1 ? x ? 4 ,即 x ? , 2 5 ∴1 ? x ? 是不等式的解. 2 ? 3 5? 综上所述,不等式的解集为 ? ? , ? . …………………………………………(5 分) ? 2 2? (2)证明:∵a ? 2 ,∴f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 2 | ? a | x ? 2 | ?| ax ? 2 | ? | ax ? 2a | ?| ax ? 2 | ? | 2a ? ax | ≥ | ax ? 2 ? 2a ? ax |?| 2a ? 2 |? 2 , …………………………………………(10 分) ∴?x ? R,f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

9


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