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高一数学天天练1


高一数学《暑假天天练》 1.已知 {an } 是等比数列, a 3 , a 8 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 x sin ? ? 3sin ? ? 0 的两根,且 (a3 ? a8 )2 ? 2a2a9 ? 6 ,则锐角

? 的值为( ?
A.

) B.

6

? 4


C.

? 3

D.

5? 12

2.化简 Sn ? n ? (n ? 1) ? 2 ? (n ? 2) ? 22 ? (n ? 3) ? 23 ? A. 2n ?1 ? n ? 2 B. 2n ?1 ? n ? 2

? 2 ? 2n?2 ? 2n?1 的结果是(
C. 2n ? n ? 2

) D. 2n ?1 ? n ? 2

1 ? 2an (0 ? an ? ) ? 3 ? 2 ,若 3.数列 {an } 满足 an ?1 ? ? a1 = ,则 a2011 = ( 5 ?2a ? 1 (1 ? a ? 1) n n ? ? 2
A.



1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

4.已知 {an } 是等差数列, S n 为其前 n 项和,若 S21 ? S4000 ,O 为坐标原点,点 P (2, an ) 、 Q(2011, a2011 ) ,则 OP ?OQ ? ( ) A.2011 B.4022 C.0 D.1 )

5.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? ) ? 2n (n ? N ? ) ,其中 ? ? 0 ,则 a2011 ? ( A. 2011? 2011 ? 22011 CDB BD B. 2010? 2010 ? 22010 C. 2011? 2010 ? 22010

D. 2010? 2011 ? 22011

6. 已知 tan(? ? ? ) ? ? ,则

1 3

2 cos(? ?

?

cos ? ? sin ?

) 4 ?

2



7.若两个等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 、 Tn ,对任意的 n ? N * 都有

S n 2n ? 1 ? ,则 Tn 4n ? 3

a4 a ? 8 = b5 ? b7 b3 ? b9
8. 已知函数 f ( x ) ? 坐标为
x

21 41



1 ( x ? R) ,点 P 1P 2 的中点 P 的横 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 是函数 f ( x ) 图象上的任意两点,且线段 P 4 ?2

1 。 2

(Ⅰ)求证:点 P 的纵坐标为定值; (Ⅱ)在数列 {an } 中,若 a1 ? f ( ) , a2 ? f ( ) , a3 ? f ( ) ,

1 m

2 m

3 m

, ak ? f ( ) ,

k m

, am?1 ? f (

m ?1 m ) , am ? f ( ) m m

( m ? N *) ,求数列 {an } 的前 m 项和 Sm 。

1 1 (Ⅰ)证明:由题意, (x1 +x2 )= ,所以 x1 +x2 =1………………………………………………………1 分 2 2

4x 1+4x2+4 4 x1+4 x2+4 4 x1+4 x2+4 1 1 1 此时 y1 +y2 = x + x = x = x +x = = ……………4 分 x x x x x 4 1+2 4 2+2 (4 1+2)(4 2+2) 4 1 2+2(4 1+4 2)+4 2(4 1+4 2+4) 2 1 ∴点 P 的纵坐标为定值 。……………………………………………………………………………………5 分 4 m-k 1 1 k m-k k (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x1 +x2 =1 时,y1 +y2 = 。由 P1 、P 2 的任意性,且 + =1,有 f ( )+f( )= 。 2 m m m m 2 …………………………………………………………………………………………………………………6 分 m-2 m-1 1 2 ∵Sm =a1 +a2 +……+am =f( )+f( )+……+f( )+f( )+f (1) ……① m m m m m-1 m-2 2 1 又 Sm =f (1)+f ( ) +f ( )+……+f( )+f( )……②………………………………………………8 分 m m m m m-1 m-2 m-1 1 2 1 1 1 ①+②得:2Sm =2f(1)+[f( )+f( )]+[f ( )+f( )]+……+[f ( )+f( )]……,且 f (1)= = 。 m m m 2 m m 4+2 6 ………………………………………………………………………………………………………………10 分 1 m-1 1 1 ∴2Sm = + = (3m-1)。∴Sm = (3m-1)。………………………………………………………12 分 3 2 6 12

9. (14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ?

1 2 11 n ? n 。数列 {bn } 满足 bn ?2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 ( n ? N? ),且 b3 ? 11 , 2 2

b1 ? b2 ?

? b9 ? 153 。

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? 数 k 的值; (Ⅲ)设 f (n ) ? ?
? ? ?an (n ? 2 l ?1, l ? N) ,是否存在 m ? N? ,使得 f (m ? 15) ? 5 f ( m) 成立?若存在,求出 m 的值; ? ? ?bn (n ? 2l , l ? N )

3 (2 an ?11)(2 bn1) ?

,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ?

k 对一切 n ? N? 都成立的最大正整 57

若不存在,请说明理由。

.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 6 ;

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ( n2 ?

1 2

11 1 11 n) ? [ (n ? 1)2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 。 2 2 2

而 a1 ? 6 满足上式。∴ an ? n ? 5(n ? N *) 。 又 bn ?2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 即 bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn ,?{bn } 是等差数列。设公差为 d。 又 b3 ? 11 , b1 ? b2 ?

?b1 ? 2d ? 11 解得 b1 ? 5, d ? 3 。 ? b9 ? 153 ? ? ?9b1 ? 36d ? 153

∴ bn ? 3n ? 2 …………………………………………………………………………………………………. 6 分 (Ⅱ) cn ?

3 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?Tn ? c1 ? c2 ?
Tn ?1 ? Tn ?

1 1 1 1 1 1 n ? cn ? [(1 ? ) ? ( ? )+ +( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

1 k 1 ,得 k ? 19 ? kmax ? 18 。…………………………………. 10 分 ? Tn 单调递增, (Tn )min ? T1 ? 。令 ? 3 57 3
? ? ?an (n ? 2l ? 1 , l ? N ) (Ⅲ) f (n ) ? ? ? ? ?bn (n ? 2l , l ? N )

(1)当 m 为奇数时, m ? 15 为偶数。∴ 3m ? 47 ? 5m ? 25 , m ? 11 。 (2)当 m 为偶数时, m ? 15 为奇数。∴ m ? 20 ? 15m ? 10 , m ?

5 。 ? N? (舍去) 7

综上,存在唯一正整数 m ? 11 ,使得 f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立。…………………………………….14 分


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