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14-椭圆的简单几何性质(3)


2.2.3 直线与椭圆的位置关系
教材分析
《直线与椭圆的位置关系》是解析几何中的重要内容之一,又是代数和几何衔接的枢纽,在直线椭圆的位 置关系中渗透了数形结合的思想.在新课程数学教学中起着不可代替的作用.本节要求学生通过数形结合 能够判断直线和椭圆的位置的关系,引导学生联系直线与圆的位置关系,采用代数的方法研究直线与椭圆 的位置关系.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解直线与椭圆的三种位置关系.

教学目标
重点: 利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系. 难点:利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系. 知识点:理解直线与椭圆的各种位置关系,能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系. 能力点:进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想. 教育点:通过研究直线与椭圆的位置关系,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,体会探 究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:如何由直线与圆的位置关系联系到直线与椭圆的位置关系. 考试点:掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧. 易错易混点:两种类型的弦长公式的引用及“点差法”学生容易出错. 拓展点:如何由直线与椭圆的位置关系联系到直线与其他圆锥曲线的位置关系.

教具准备 课堂模式

多媒体课件 学案导学

一、引入新课
在初中已经研究过直线与圆的各种位置关系,通常用圆心到直线的距离与半径的大小来判断直线与圆的各 种不同的位置关系.另外在《必修 2》时我们也学会了用代数的方法去研究直线与圆的位置关系,通过联立 直线与圆的方程,转化为一个关于 x (有时也可以转化为关于 y )的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一 元二次方程是比较熟悉的,可以由一元二次方程根的情况去研究直线与圆的交点情况,进而得到直线与圆 的位置关系.(如下图所示)
直线与圆的位置关系有以下三种:
直线与椭圆的位置关系也有以下三种:

研究方法:

几何法: 代数法:

相离

d>r ?<0

d=r ?=0

d<r ?>0

相切

相交

【师生活动】 教师提问:直线与椭圆的这三种位置关系也能够分别应用几何法和代数法去研究吗?为什 么?

学生分析:不能应用几何法研究,因为椭圆没有像圆一样统一的半径,只能采用代数的方法去研究. 教师引导:代数的方法是研究直线与二次曲线有关问题的通法. 【设计意图】通过多媒体课件给学生展示出直线与圆的三种位置关系,以及研究这三种位置关系的几何法 和代数法,让学生从回顾所熟悉的问题入手,进而得出研究直线与椭圆的位置关系方法---代数法.消除新 内容学习上的恐惧心理.

二、探究新知 (一)位置问题
(1)联立直线与椭圆的方程; (2)将直线方程代入到椭圆方程,消去 x 或 y 得一元二次方程; (3)由一元二次方程的根的情况得出直线与椭圆的位置关系.

? ? 0 时,相离; ? ? 0 时相切; ? ? 0 时,相交.
例 1、判断直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的位置关系. 16 4

解:由 ? x 2

? y ? kx ? 3 ? 可得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 24kx ? 20 ? 0 y2 ? ? 1 ? ? 16 4
2

? ? ? 16(16k 2 ? 5)

(1)当 ? ? 16(16k ? 5) ? 0即k ?

x2 y2 5 5 ? ? 1 相交; 时,直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆 或k ? ? 16 4 4 4 x2 y2 5 5 ? ? 1 相切; 时,直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆 或k ? ? 16 4 4 4

(2)当 ? ? 16(16k ? 5) ? 0即k ?
2

x2 y2 5 5 ? ? 1 相离. (3)当 ? ? 16(16k ? 5) ? 0即 ? 时,直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆 ?k? 16 4 4 4
2

【设计意图】通过本例让学生初步体会代数法来判断直线与椭圆的位置关系的解题思路,为接下来分别去 研究相离、相切和相交作必要的准备.
y l

(二)最值问题
例 2、已知椭圆

m m

x2 y2 ? ? 1 , 直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆上是否存在一 25 9

F1 O

1F2

x

点,它到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 【分析】 :作出直线 l 及椭圆(如图).观察图形,可以发现,利用平行于直线 l 且与椭圆只有一个交点的直 线,可以求得相应的最小距离. 解: 由直线 l 的方程与椭圆的方程可以知道,直线 l 与椭圆不相交(为什么?).设直线 m 平行于直线 l ,

则直线 m 的方程可写成: 4 x ? 5 y ? k ? 0 .

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 由方程组 ? x 2 y 2 ? ?1 ? ? 25 9

消 y 得: 25 x ? 8kx ? k ? 225 ? 0
2 2

当 ? ? 0 时,得: 64k 2 ?100(k 2 ? 225) ? 0

得: k1 ? 25

k2 ? ?25

当 k ? 25 时,直线与椭圆的交点到直线 l 的距离最小,此时直线 m 的方程为 4 x ? 5 y ? 25 ? 0 ,最小距离 为: d ?

15 41 . 41

【变式训练】已知椭圆 x2 ? 8 y 2 ? 8 ,在椭圆上求一点 P ,使 P 到直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的距离最小,并求 出最小值. 【设计意图】本例主要是研究直线与椭圆相离时的最值问题,例题和变式训练都可以再问距离最大时的点 及最大距离,相离的位置关系还是转化为相切来解决的,另外就是通过此例让学生复习了两条平行线之间 的距离公式.

(三)弦长问题
直线与椭圆相交弦长的求法: (1)联立方程组; (2)消去一个未知数,得一元二次方程; (3)利用弦长公式: AB ? 1 ? k 2 xA ? xB ? 1 ? k 2 ? ( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB (或者 ? 1 ?

1 ? ( y A ? yB )2 ? 4 y A yB )求出弦长. 2 k

例 3、已知椭圆 求|AB|.

x2 ? y 2 ? 1的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点, 2

解:由题意可得 F1 (?1,0) ,所以线段 AB 所在直线方程为: y ? ?2 x ? 2 ,

? y ? ?2 x ? 2 16 2 ? 2 由 方 程 组 ? x2 消 去 y 可 得 : 9 x ? 16x ? 6 ? 0 , 则 有 : x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? , 又 y2 ? ?1 9 3 ? 1 ?2

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

10 2 9

【设计意图】通过本例让学生掌握直线与椭圆相交弦的弦长公式,利用韦达定理求出弦长.

(四)中点问题
例 4、已知中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆, a ? 3c ,若椭圆被直线 x ? y ? 1 ? 0 截得的弦的中点的
2

横坐标是 ? 解法一:

2 ,求椭圆的方程. 3

设 椭 圆 方 程 为 mx2 ? ny 2 ? 1(0 ? m ? n) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由 题 意 可 得 :

x1 ? x 2 2 ?? , 2 3

y1 ? y 2 1 ?? 2 3
由?

? y ? ?x ?1 2n 4 ? ? 即n ? 2m 可得 (m ? n) x 2 ? 2nx ? n ? 1 ? 0 , x1 ? x 2 ? ? 2 2 m?n 3 ?m x ? ny ? 1
2

又 a ? 3c 即 椭圆方程为

1 1 1 ? 3 ? 2 2 2 m m n

?m ?

2 4 ,n ? 3 3

2 2 4 2 x ? y ?1 3 3

解法二: (点差法) 令椭圆方程为 mx2 ? ny2 ? 1(m ? n) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由题得:

x1 ? x 2 2 y ? y2 1 ?? , 1 ?? 2 3 2 3

由?

? m x1 2 ? ny1 2 ? 1 y ? y2 y ?y m 作差得 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ( y1 ? y 2 ) , 1 2 ? k ? ?1 2 2 x1 ? x2 n x1 ? x2 ?m x2 ? ny2 ? 1

? n ? 2m
又 a ? 3c 即
2

1 1 1 ? 3 ? 2 2 2 m m n

?m ?

2 4 ,n ? 3 3

椭圆方程为

2 2 4 2 x ? y ? 1. 3 3

【变式训练】 1、椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是____________. 36 9

2、如果椭圆

?1 1? x2 ? y 2 ? 1的弦被点 ? , ? 平分,求这条弦所在的直线方程. ?2 2? 2

【设计意图】通过本例及变式训练让学生掌握当直线与椭圆相交时,利用“点差法”可以求出相应的直线 的斜率,进而得到直线的方程.

三、理解新知
以上几类问题基本上是按照直线与椭圆的相离、相切、相交的三种位置关系展开的,相离时是借助于相切 时来研究的最值问题;相交时的弦长问题和中点问题是直线与椭圆的位置关系中比较重要的两类问题,同 学们要加强理解,主要一个思路就是借助于一元二次方程的根与系数关系研究的.

四、运用新知
例 5 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 ?AOB 面积的最大值. 2

解: (1)由题意可得: a ? 3 ,又 e ?

c 6 ,则 c ? 2 ,?b2 ? 1 ,所以椭圆方程为: ? a 3

x2 ? y2 ? 1 ; 3
(2)①直线 l 斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?

3 x2 3 2 ,代入 ? y 2 ? 1 得: y ? 4 3 2

? AB ? 3 ,

所以 S?AOB ?

1 3 3 ? AB ? ? 2 2 4 3 2

②直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? b ,又原点 O 到直线 l 的距离为

3 ? 即 k 2 ?1 2

b



? x2 2 3 ? ? y ?1 b 2 ? ? k 2 ? 1? ,由 ? 3 消去 y 得: 4 ? y ? kx ? b ?

?1 ? 3k ? x
2

2

2 ? 6kbx ? 3b 2 ? 3 ? 0 ,由韦达定理得: x1 ? x2 ? ? 6kb 2 , x1 ? x2 ? 3b ? 3 1 ? 3k 1 ? 3k 2

? AB ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2

6kb 2 12b2 ? 12 ? 1 ? k ? (? ) ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
2

?

?

27k 4 ? 30k 2 ? 3 12k 2 ? 3 ? (1 ? 3k 2 )2 (1 ? 3k 2 ) 2

令 t ? 3k 2 ,则 k ? 0 时 AB ? 3 ; k ? 0 时, t ? 0

?

12k 2 4t 4t 4 4 ? ? ? ? ?1 2 2 2 2 1 (1 ? 3k ) (1 ? t ) 1 ? 2t ? t 1 ? 2 ? t 2 ? 2 ?t t t

当且仅当, t ?

1 5 3 2 即k ? ? 时等号成立,此时, b ? ? 0, ? ? t 6 3

? 0 成立,

? AB max ? 2

? S?AOB ?

1 3 为所求. AB ? 2 2

【设计意图】本例为直线与椭圆的位置关系的综合题,主要考察学生对此类问题的理解力,对学生的要求 较高.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 本节课主要学习了直线与椭圆的位置关系,用代数的方法,借助于一元二次方程根的情况研究直线与椭圆 的位置关系. 教师总结:要注意理解直线与椭圆的各种位置关系, 能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关 系. 【设计意图】加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .

六、布置作业
1、必做题: KP47, T 7 《自主学习丛书》 A 组, T 11 , B 组 T 5 2、 选做题: 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M (2,1) , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) , l 交椭圆于 A, B 两个不同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证:直线 MA 、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

【设计意图】必做题为本节课所研究的几类问题的变式,使学生巩固所学内容,加强对直线与圆锥曲线
位置关系问题的理解,选做题为直线与圆锥曲线的综合题,对学生的计算能力要求较高.

七、教后反思
1.本教案的亮点是变式训练.在例 4 的教学中,给学生介绍了两种方法、说明思路的由来过程,一题多解开 阔思路.例 4 后的变式,既注重了与原问题的联系,又在不知不觉中提高了难度,提高了学生的解题能力. 2.由于各校的情况不同,建议教师在使用本教案时灵活掌握,但必须要把握直线与椭圆位置关系的三种情 况的讨论这一主线. 3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程,并给予针对性地诊 断与分析.

八、板书设计
2.2.2 直线与椭圆的位置关系

例4 引入新课: 探究新知 例1 例2 例3 例5

课堂小结 布置作业


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