山东省2011年高二学业水平考试

山东省 2011 年冬季普通高中学生学业水平考试

10．已知函数 f ( x) ? sin(

?
2

? x)( x ? R ) ，下面结论正确的是

数学试题
一、选择题：本大题共 15 小题，每题 3 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的

。 1．集合 M ? {0}, N ? {x ? Z | ?1 ? x ? 1} ,则 M ? N 等于 A．{-1,1}B。{-1}C。{1}D.{0} 2．下列函数中，其图象过点（0,1）的是 A． y ? 2x B。 y ? log 2 x C。 y ? x D. y ? sin x 3．下列说法正确的是 A．三点确定一个平面 B。两条直线确定一个平面 C。过一条直线的平面有无数多个 D. 两 个相交平面的交线是一条线段 4．已知向量 a ? (2,1), b ? (?3, 4) ，则 a ? b 的坐标为 A. （-5,3）B.（-1,5）C.（5,-3）D.（1，-5） 5． cos 75 cos15 ? sin 75 sin15 的值为
0 0 0 0

A. 函数 f ( x ) 的最小正周期为 C. 函数 f ( x ) 是奇函数

? 2

B. 函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上是增函数

开始 S=0,n=1

D. 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 对称

11．如图所示的程序框图，其输出的结果是 A. 1 B.

3 2

C.

11 6

D.

25 12

S=S+

1 n

n=n+1 否 n>3 是 输出S 结束

1 3

12．在 ?ABC 中，已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ，则角 A 等于 A.

30 0

B.

60 0

C.

1200

D.

1500

?

?

? ?

?x ? y ? 4 ? 13．不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域内横、纵坐标均为整数的点的个数是 y?0 ? ?
A. 15 B. 14 C. 10 D. 9 14．已知变量 x, y 有如下观察数据：

x
y

0 2.4

1 4.5

3 4.6

4 6.5

A.

0B.

1 C. 2

3 2

D. 1

则 y 对 x 的回归方程是 ? ? 0.83x ? a ，则其中 a 的值为 y A. 2.64 B .2.84 C. 3.95 D.4.35 15．等比数列的前 2 项和为 2，前 4 项和为 10，则它的前 6 项和为 A. 31 B. 32 C. 41 D. 42 二、填空题：共 5 题，每题 4 分，共 20 分。
2 16．已知函数 f ( x) ? x ? 1, x ? 0 ，若 f ( x) ? 10 ，则 x ?

6．已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行，则 m 的值为 A. -8 B. 0 C. 2 D. 10 7．高三某班共有学生 56 人，其中女生 24 人，现用分层抽样的方法， 选取 14 人参加一项活动，则应选取女生 A. 8 人 B. 7 人 C. 6 人 D. 5 人 8．已知一个半球的俯视图是一个半径为 4 的圆，则它的主（正）视图的面积是 2? B. 4? C. 8? A. D. 16? 9．函数 f ( x) ? ( x ?1)( x ? 3x ?10) 的零点个数是
2

。

17．等差数列 10、7、4…的第 10 项是 。 18．将一枚硬币连续投掷 3 次，则恰有连续 2 次出现正面向上的概率为 19．已知 sin ? ?

。

3 ? , ? ? ( , ? ) ，则 sin 2? 等于 5 2
0

。 cm.

A. 1

B. 2

C.

3

D.

4

20．一个圆锥的母线长是 20cm，母线与轴的夹角为 30 ，则圆锥的底面半径是

1

三、解答题 21．本题为 6 分 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 1，求数列 {an } 的通项公式。

24．本题为 8 分 设 f ( x) ? x2 ? ax 是 R 上的偶函数 （1）求实数 a 的值 （2）用定义证明： f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数。

22．本题为 6 分 已知平面向量 a ? (1, 3), b ? (cos x,sin x) ，设函数 f ( x) ? a ? b ，求函数 f ( x ) 的最大值及取最 大值时 x 的值。 25．本题为 8 分 已知平面上两点 M (4,0), N (1,0) ，动点 P 满足 | PM |? 2 | PN | （1） 求动点 P 的轨迹 C 的方程。 （2） 若点 Q ( a, 0) 是轨迹 C 内一点，过点 Q 任作直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点，使证：

?

?

? ?

???? ?

??? ?

23．本题为 7 分 袋中有标号为 1、2、3、4、5 的 5 个球，从中随机取出两个球。 （1）写出所有的基本事件； （2）求所取出的两个球的标号之和大于 5 的概率。

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? QA ?QB 的值只与 a 有关；令 f (a) ? QA ?QB ，求 f (a ) 的取值范围。

2

山东省二 O 一一年冬季普通高中学生学业水平考试

数学试题参考答案
一、选择题：本大题共 15 小题，每题 3 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的. 1．集合 M ? {0}, N ? {x ? Z | ?1 ? x ? 1} ,则 M ? N 等于 A．{-1,1}B.{-1}C.{1}D.{0} 【答案】D 2．下列函数中，其图象过点（0,1）的是 A． y ? 2x B. y ? log2 x C. y ? x D. y ? sin x 【答案】A 3．下列说法正确的是 A．三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.过一条直线的平面有无数多个 D. 两个相 交平面的交线是一条线段 【答案】C 4．已知向量 a ? (2,1), b ? (?3, 4) ，则 a ? b 的坐标为 A. （-5,3）B.（-1,5）C.（5,-3）D.（1，-5） 【答案】C 5． cos 75 cos15 ? sin 75 sin15 的值为
0 0 0 0

【答案】C 8．已知一个半球的俯视图是一个半径为 4 的圆，则它的主（正）视图的面积是 2? B. 4? C. 8? A. D. 16? 【答案】C 9．函数 f ( x) ? ( x ?1)( x2 ? 3x ?10) 的零点个数是 A. 1 B. 2 【答案】C C. 3 D. 4

10．已知函数 f ( x) ? sin(

?
2

? x)( x ? R ) ，下面结论正确的是

1 3

A. 函数 f ( x ) 的最小正周期为 C. 函数 f ( x ) 是奇函数

? 2

B. 函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上是增函数

开始 S=0,n=1

D. 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 对称
S=S+ 1 n

【答案】D 11．如图所示的程序框图，其输出的结果是 A. 1 B.

3 2

11 C. 6

D.

25 12

n=n+1 否 n>3 是 输出S

?

?

? ?

【答案】C 12．在 ?ABC 中，已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ，则角 A 等于

结束

A.

30 0

B.

60 0

C.

1200

D.

1500

【答案】B 13．不等式组 ? x ? 0

A.

1 0B. C. 2

3 2

D. 1

?x ? y ? 4 ? ?y ? 0 ?

表示的平面区域内横、纵坐标均为整数的点的个数是

【答案】B 6．已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行，则 m 的值为 A. -8 B. 0 C. 2 D. 10 【答案】A 7．高三某班共有学生 56 人，其中女生 24 人，现用分层抽样的方法，选取 14 人参加一项活动， 则应选取女生 A. 8 人 B. 7 人 C. 6 人 D. 5 人

A. 15 B. 14 C. 10 D. 9 【答案】A 14．已知变量 x, y 有如下观察数据：

x
y

0 2.4

1 4.5

3 4.6

4 6.5

则 y 对 x 的回归方程是 ? ? 0.83x ? a ，则其中 a 的值为 y A. 2.64 B .2.84 C. 3.95 D.4.35

3

【答案】B 15．等比数列的前 2 项和为 2，前 4 项和为 10，则它的前 6 项和为 A. 31 B. 32 C. 41 D. 42 【答案】D 二、填空题：共 5 题，每题 4 分，共 20 分. 16．已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, x ? 0 ，若 f ( x) ? 10 ，则 x ? .

? ? ? 1 3 ? ? 2( cos x ? sin x) ? 2 sin(x ? ) ，当 x ? ? 2k? ? ，即 x ? 2k? ? 时，函数 f (x) 6 2 3 2 2 6
取得最大值 2. 23．本题为 7 分 袋中有标号为 1、2、3、4、5 的 5 个球，从中随机取出两个球. （1）写出所有的基本事件； （2）求所取出的两个球的标号之和大于 5 的概率. 【解析】 （1）随机取两个球的基本事件为（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）（2,5） ， ， ， ， ， ， ， （3,4）（3,5）（4,5）. ， ， （2）两球标号之和大于 5 的有（1,5）（2,3）（2,4）（2,5）（3,4）（3,5）（4,5） ， ， ， ， ， ， ，共有 7 个， 所以所求概率为

【答案】 ? 3 17．等差数列 10、7、4…的第 10 项是 . 【答案】 ? 17 18．将一枚硬币连续投掷 3 次，则恰有连续 2 次出现正面向上的概率为 【答案】

.

1 4

19．已知 sin ? ?

3 ? , ? ? ( , ? ) ，则 sin 2? 等于 5 2

7 . 10

.

24．本题为 8 分 设 f ( x) ? x2 ? ax 是 R 上的偶函数 （1）求实数 a 的值

24 【答案】 ? 25
20．一个圆锥的母线长是 20cm，母线与轴的夹角为 30 ，则圆锥的底面半径是 【答案】 10 三、解答题 21．本题为 6 分 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n ? 1，求数列 {an } 的通项公式.
2
0

cm.

（2）用定义证明： f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数. 【 解 析 】（ 1 ） 因 为 函 数 f ( x) ? x 2 ? ax 是 偶 函 数 ， f (? x) ? x2 ? ax ? f ( x) ， 即

x 2 ? ax ? x 2 ? ax ，所以 a ? 0 .
（ 2 ） 证 明 ： 由 （ 1 ） 知 f ( x) ? x 2 ， 任 设 两 个 变 量 x1 , x2 ? (0,??) ， 不 妨 设 x1 ? x2 ， 则

【解析】 n ? 2 时， n ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 ； n ? 1 时， 1 ? S1 ? 2 不满足 an ； 当 当 a a 所以数列的通项公式为 an ? ? 22．本题为 6 分

?2, n ? 1, ?2n ? 1, n ? 2.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ， 因 为 x1 ? x2 ， 所 以 x1 ? x2 ? 0 ， 又
2 2

x1 , x2 ? (0,??) ， 所 以 x1 ? x2 ? 0 ， 所 以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 ， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，即函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数.
25．本题为 8 分 已知平面上两点 M (4,0), N (1,0) ，动点 P 满足 | PM |? 2 | PN | （3） 求动点 P 的轨迹 C 的方程.

? ? ? ? 已知平面向量 a ? (1, 3), b ? (cos x,sin x) ，设函数 f ( x) ? a ? b ，求函数 f ( x ) 的最大值及取最
大值时 x 的值. 【解析】 f ( x) ? a ? b ? (1, 3) ? (cosx, sin x) ? cos x ? 3 sin x

???? ?

??? ?

4

（4） 若点 Q ( a, 0) 是轨迹 C 内一点，过点 Q 任作直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点，使证：

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? QA ?QB 的值只与 a 有关；令 f (a) ? QA ?QB ，求 f (a ) 的取值范围.
【 解 析 】 (1) 设 点 P 的 坐 标 为

( x, y ) ， 则 PM ? (4 ? x,? y) ，

???? ? ??? ? PN ? (1 ? x,? y) , PM ? (4 ? x) 2 ? y 2 ) , PN ? (1 ? x) 2 ? y 2 ) , 由 | PM |? 2 | PN | ， 得
( 4 ? x) 2 ? y 2 ) ? 2 (1 ? x) 2 ? y 2 ) ，整理得 x2 ? y 2 ? 4 ，它的轨迹是圆心在原点，半径为 2
的圆. （2）由题意知直线斜率 k 存在，则直线方程为 y ? k ( x ? a) ，代入 x 2 ? y 2 ? 4 ，

2ak 2 整 理 得 (1 ? k ) x ? 2ak x ? (k a ? 4) ? 0 ， 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ， 得 x1 ? x2 ? ， 1? k 2
2 2 2 2 2

x1 x2 ?

a 2k 2 ? 4 1? k 2

.

QA? QB ? ( x1 ? a, y1 ) ? ( x2 ? a, y2 )

? x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? y1 y2

，

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? a)(x2 ? a) ? k 2[ x1x2 ? a( x1 ? x2 )] ，
所以 QA? QB ? (1 ? k 2 )[x1 x2 ? a( x1 ? x2 )] ? (1 ? k )[
2

k 2 a 2 ? 4 a ? 2ak 2 ? ? a 2 ] ? a 2 ? 4 ，与 k 2 2 1? k 1? k

无关，只与 a 有关.所以 f (a) ? a 2 ? 4 ，又因为点 Q ( a, 0) 是轨迹 C 内一点，所以 ? 2 ? a ? 2 ，

0 ? a 2 ? 4 ， ? 4 ? a 2 ? 4 ? 0 ，即 f (a) ? a 2 ? 4 的取值范围是 (?4,0) .

5