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高中数学 (1.3.2 球的体积和表面积)示范教案 新人教A版必修2


张喜林制 1.3.2 球的体积和表面积 整体设计 教学分析 本节教材直接给出了球的表面积和体积公式,并用两个例题来说明其应用.值得注意的 是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上,这是高考的重点. 三维目标 掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培 养转化与化归的数学思想方法. 重点难点 教学重点:球的表面积和体积公式的应用.

教学难点:关于球的组合体的计算. 课时安排 约 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨,有一座新异奇秀的半球形建筑.由香 港好世界饮食服务(中国)有限公司等三方合资兴建,1996 年 9 月正式开业,既是岛城饮 食服务业的“特一级”店,又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积 11 380 平方米,现酒 店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店, 那么, 需要多少面积 的这种化学材料呢? 思路 2.球既没有底面,也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球 的表面积与体积呢?球的大小与球的半径有关, 如何用球半径来表示球的体积和面积?教师 引出课题:球的体积和表面积. 推进新课 新知探究 球的半径为 R,它的体积和表面积只与半径 R 有关,是以 R 为自变量的函数.事实上, 2 如果球的半径为 R,那么 S=4π R ,V= ?R . 4 3 3 注意:球的体积和表面积公式的证明以后证明. 应用示例 思路 1 例 1 如图 1 所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: 图1 (1)球的体积等于圆柱体积的 2 ; 3 1/8 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 活动:学生思考圆柱和球的结构特征,并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读 懂图形. 证明: (1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R. 则有 V 球= ?R ,V 圆柱=π R ·2R=2π R ,所以 V 球= V圆柱 . 3 2 3 4 3 2 3 (2)因为 S 球=4π R ,S 圆柱侧=2π R·2R=4π R ,所以 S 球=S 圆柱侧. 点评:本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组 合体的结构特征. 变式训练 1.如图 2(1)所示, 表面积为 324π 的球, 其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面 积. 2 2 图2 解:设球的半径为 R,正四棱柱底面边长为 a,则轴截面如图 2(2) ,所以 AA′=14,AC= 2a , 又∵4π R =324π ,∴R=9. ∴AC= 2 AC' 2 ?CC' 2 ? 8 2 .∴a=8. ∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为 576. 2 有一种空心钢球,质量为 142 g,测得外径(直径)等于 5 cm,求它的内径(钢的密度为 3 7.9 g/cm ,精确到 0.1 cm). 解:设空心球内径(直径)为 2x cm,则钢球质量为 4? 5 3 4? 3 ?( ) ? x ]=142, 3 2 3 5 3 142 ? 3 3 ∴x = ( ) ? ≈11.3,∴x≈2.24,∴直径 2x≈4.5. 2 7.9 ? 4 ? 3.14 7.9·[ 答:空心钢球的内径约为 4.5 cm. 例 2 如图 3 所示,表示一个用鲜花做成的花柱,它的下面是一个直径为 1 m、高为 3 m 的 圆柱形物体,上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花 150 朵,那

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