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湖北省部分重点中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


湖北省部分重点中学 2015-2016 学年度下学期高二期中考试 数学试卷(理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.在下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( A. x 2 ? )

y2 ?1 4

B.

x2 ? y2 ? 1 4

C. x 2 ?

y2 ?1 2

D.

x2 ? y2 ? 1 2

2.设 a ? ( x, 4,, 3) b ? (3 , 2,z) ,且 a ∥ b ,则 xz 等于( A. ? 4 B.9 C. ?9

) D. 64
9

3.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,且 f ' ( x) ? 3 f ( x) ,则 tan 2 x 的值是(



4 A. 3 ?

4 B. 3

3 C. 4 ?

3 D. 4


4. 已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) ,则顶点 A 的轨迹方程是( A. (x≠ 0) B. (x≠0)

C.

(x≠0)

D.

(x≠0)

5.若坐标原点到抛物线 y ? mx2 的准线距离为 2,则 m ? ( A.8
2

) D. ?

B. ?8

C. ?

1 4
3 5

1 8
)

6.已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB 等于( A.

4 5

B.

3 5

C.-

D.-

4 5

7.若函数 f ( x) ? ? ( ) A.4 8 .已知椭圆

2 2 1 ax e (a ? 0, b ? 0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x ? y ? 1 相切,则 a ? b 的最大值是 b

B. 2 2

C.2

D. 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上, O 为坐标原点,若 a 2 b2


OP ?

1 F1 F2 ,且 PF1 ? PF2 ? a 2 ,则该椭圆的离心率为( 2
3 4
B.

A.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

1

9.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 ? 2x 有两个极值点,则 a 的取值范围是( A. ? ??,1? 10. f ? x ? ? B. ? 0, 2 ? C. ? 0,1?

1 2

) D. ? 0,3? )

1 2 x ? cos x , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象是( 4

11.如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别是线段 AB,CC1 的 中点, △MB1P 的顶点 P 在棱 CC1 与棱 C1D1 上运动,有以下四个命题: ①平面 MB1P⊥ND1 ②平面 MB1P⊥平面 ND1A1 ③△MB1P 在底面 ABCD 上的射影图形的面积为定值; ④△MB1P 在侧面 DD1C1C 上的射影图形是三角形. 其中正确的命题序号是( ) A.① B.①③ C.②③ D.②④ 12. 过曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的 a 2 b2

切线,设切点为 M,延长 F1M 交曲线 C3 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中 C1、C3 有一个共同的焦点,若

MF1 ? MN ,则曲线 C1 的离心率为(
A. 5 B. 5 ? 1



C. 5 ? 1

D.

5 ?1 2

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13.若曲线 y ? ax 2 ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ?
2 2 2



14.若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1 的一个焦点,则 p ? _____. 15.直线 l 过椭圆 的左焦点 F,且与椭圆相交于 P、Q 两点,M 为 PQ 的中点,O 为原点.若△FMO .

是以 OF 为底边的等腰三角形,则直线 l 的方程为

16 . 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 当 x ? ( ? ? , 0 )时 f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒 成 立 , 若 a ? 3 f (3) ,

b ? (log? e) f (log? e) , c ? ?2 f ? ?2? ,则 a, b, c 的大小关系为
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 。



x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R , 且曲线 y ? f ? x ? 4 x 2 1 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线垂直于 直线 y ? x 2
17.已知函数 f ? x ? ?
2

(Ⅰ)求 a 的值;

(Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间及极值.

18.直线 y ? x ? 4 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A、B 两点,F 为抛物线的焦点,求△ABF 的面积。

19.如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAB 为等边三角形, AD ? AB, AD / / BC ,平面 PAB ? 平面

ABCD , E 为 PD 的中点.

(1)证明: BE ? PA ; (2)若 AD ? 2BC ? 2 AB ? 4 ,求点 D 到平面 PAC 的距离.

BC 的中点, 20 .如图在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ?1 , E , F 分别是 CC1 、

AE ? A1B1 , D 为棱 A1B1 上的点.
(1)证明: DF ? AE ; (2)是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 位置,若不存在,说明理由.

14 ?若存在,说明点 D 的 14

3

B1

D

A1 C1

A B F

E

C

21.已知椭圆 C:2x +3y =6 的左焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,求线段 AB 的长; (3) 设线段 AB 的中点为 P, O 为坐标原点, 直线 OP 交椭圆 C 交于 M、 N 两点, 是否存在直线 l 使得|NP|=3|PM|? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

2

2

22.设 函数 f ( x) ? x ? m ln( x ? 1) .
2

(1)若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围;
3 (2)若 m ? ?1 ,试比较当 x ? (0, ??) 时, f ( x ) 与 x 的大小;

0 ?1?4 ? e ?2?9 ? ? ? e(1?n ) n ? (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 e ? e

2

n(n ? 3) 成立. 2

4

一、 1 A

选择题 2 B 3 A 4 B 5 D 6 D 7 D 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D

二、填空题 13. 5 x ? y ? 2 ? 0 14. 2 2 . 15. 16. a ? c ? b . 三、解答题 17. 【答案】 (Ⅰ)

5 ; (Ⅱ) f ? x ? 的递增区间为 ? 5, ?? ? ,递减区间为 ? 0,5? ,极小值为 f ?5? ? ? ln5 , 4

无极大值. 【解析】 (Ⅰ)对 f ( x ) 求导得 f ' ( x ) ?

1 a 1 ? ? , 4 x2 x 1 3 / 由在点 ?1, f ?1? ? 处的切线垂直于直线 y ? x ,知 f ?1? ? ? ? a ? ?2 , 2 4 5 5 解得 a ? ,所以, a 的值为 . 4 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 令f
/

x2 ? 4 x ? 5 x 5 3 ? ? ln x ? ,则 f ' ? x ? ? , 4 4x 2 4x2
或 x ? 5 ,因 x ? ?1 不在 f ? x ? 的定义域 ? 0, ?? ? 内,故舍去.

? x ? ? 0 ,解得 x ? ?1
'

当 x ? ? 0,5? 时, f

? x? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0,5? 内为减函数;

当 x ? ?5, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 5, ?? ? 内为增函数. 由此知函数 f ? x ? 在 x ? 5 时取得极小值 f ?5? ? ? ln5 综上得, f ? x ? 的递增区间为 ? 5, ?? ? ,递减区间为 ? 0,5? ,极小值为 f ?5? ? ? ln5 ,无极大值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程、函 数的单调性、函数的极值. 18. 【答案】 6 5 试题解析:设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 直线交 x 轴于 C(4,0)点,知 F(1,0), FC ? 3 解? ????2 分

?y ? x ? 4 2 得 y -4y-16=0 ?????? 4 分 2 ? y ? 4x
5

得|y2-y1|=4 5

?????? 8 分 ??? 10 分

1 1 S△ABF= ? | FC | ? | y2 ? y1 | = ×3×4 5 =6 5 2 2

考点:1.直线与抛物线相交;2.设而不求的思想;3.分 割法求三角形的面积 19. 【答案】 (1)见解析; (2)

4 21 . 7

试题解析: (1)证:取 PA 中点 F , 因平面 PAB ? 平面 ABCD , AD ? AB ,故 AD ? 平面 PAB ,故 AD ? PA ; 而 EF / / AD ,故 PA ? EF ;因为 ?PAB 为等边三角形,故 BF ? PA ,故 PA ? 面 BEF ,故 BE ? PA . (2)解:取 AB 的中点 H ,则由平面 PAB ? 平面 ABCD 知 PH ? 平面 ABCD 又 PH ?

1 4 3 3 1 , ? 2 ? 3, S?ACD ? ? 4 ? 2 ? 4 ,所以 VP ? ACD ? S?ACD ? PH ? 2 2 3 3

由(1)知 PA ? 平面 BCEF ,所以 PA ? FC ,又 FC ? BE ? 4 ? 3 ? 7 所以 S ?PAC ?

1 4 21 ? 7 ? 2 ? 7 ,设点 D 到平面 PAC 的距离为 d ,由 VP? ACD ? VD?PAC 得 d ? . 2 7

考点:1、空间垂直关系的判定与性质;2、三棱锥的体积;3、等积法. 【技巧点睛】利用三棱锥的“等积性”,可以把任何一个面作为三棱锥的底面.①求体积时,可选择“容 易计算”的方式来计算;②利用“等积性”可求点到面的距离,关键是在面中选取三个点,与已知点构成 三棱锥. 20.【答案】 (1)见解析; (2)存在, D 为 A1B1 中点.

6

考点:用空间向量求证线线垂直、求二面角的大小. 21. 【答案】 (Ⅰ) ; (Ⅱ)
2 2

; (Ⅲ)存在直线 l:x=±

y﹣1,使得|NP|=3|PM|.

解: (Ⅰ)椭圆 C:2x +3y =6,即为 + =1,可得 a= ,b= ,c=1,

即有 e= =



(Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时,即为 x=﹣1, 代入椭圆方程 可得 y = ,解得 y=± 则线段 AB 的长为 ;
2



(Ⅲ)由 F(﹣1,0) ,设直线 AB:x=my﹣1,代入椭圆方程,
7

可得(3+2m )y ﹣4my﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 可得 y1+y2= ,

2

2

即有中点 P 的坐标为(



) ,

直线 OP:y=﹣

x,代入椭圆方程,可得

x=±



可设 xN=

,xM=﹣



假设存在直线 l 使得|NP|=3|PM|, 即有 即为 =3 , ﹣ =3(﹣ ﹣ ) ,

解得 m=±

, y﹣1,使得|NP|=3|PM|.

则存在直线 l:x=±

考点:椭圆的简单性质. 综上,实数 a 的取值范围是 [1 ? ln 2, ??) . 考点:导数的综合应用 22.【答案】 (1) [ , ??) ; (2) f ( x) ? x ; (3)证明详见解析.
3

1 2

8

9

10


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