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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.2(一)


1.2.2(一)

1.2.2
【学习要求】
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空间中的平行关系(一)

1.掌握空间中两条直线的位置关系. 2.理解并掌握基本性质 4 及等角公理. 【学法指导】 通过平行直线、基本性质 4 及等角定理的学习,进一步加 深对空间两直线位置关系的理解及运用;通过在平面上画

出直线的位置关系,培养空间想象能力.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.2.2(一)

1.基本性质 4:平行于 同一条直线 的两条直线互相平行.
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2. 等角定理: 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 平行,并且 方向相同 ,那么这两个角相等. 3.空间四边形:顺次连接不共面 的四点 A,B,C,D 所构 成的图形,叫做空间四边形.

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1.2.2(一)

[问题情境]
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在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角 的两边分别平行,那么这两个角相等或互补”,在空间中, 结论是否仍然成立呢?

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1.2.2(一)

探究点一

平行直线

问题 1 在初中平行直线是怎样定义的?
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答 我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.

问题 2 初中学过的平行公理的内容是什么?
答 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

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问题 3 空间中两条直线有几种位置关系?分别是哪几种?
答 空间两条直线的位置关系有且只有三种:
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1.2.2(一)

问题 4 在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行. 在空间中, 是否有类似的规律? 现在请大家看一看我们的教室,找一下有无不在同一平面
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内的三条直线两两平行的. 答 教室里的地面和墙面相交的两条平行线与墙面和天花
板相交的直线不在同一平面内,且三条直线两两平行.
小结 基本性质 4:平行于同一条直线的两条直线互相平

行.基本性质 4 通常又叫做空间平行线的传递性.

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1.2.2(一)

问题 5 基本性质 4 有什么作用?如何用符号语言表示基本
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性质 4?
答 基本性质 4 作用:判断空间两条直线平行的依据.符号 表示:设空间中的三条直线分别为 a, b, c,若 a∥c,b∥c,则 a∥b.

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1.2.2(一)

例 1 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 E,F 分别是 AB, BC 的中点,求证:EF∥A1C1.
证明 如图,连接 AC,在△ABC 中, E, F
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分别是 AB, BC 的中点,
所以 EF∥AC. 又因为 AA1∥BB1 且 AA1=BB1,BB1∥CC1 且 BB1=CC1,所以 AA1∥CC1 且 AA1=CC1.

即四边形 AA1C1C 是平行四边形, 所以 AC∥A1C1,从而 EF∥A1C1.
小结 本题主要考查两条直线平行的判定,关键是寻找直线 平行的条件,可由基本性质 4 证明.

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跟踪训练 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1, F 分别为 AA1、 E、 CC1 的中点.求证:BF 綊 ED1.
证明 如图,取 BB1 的中点 G,连接 GC1、GE.
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∵F 为 CC1 的中点,
∴BG 綊 C1F.

∴四边形 BGC1F 为平行四边形.
∴BF 綊 GC1. 又∵EG 綊 A1B1,A1B1 綊 C1D1,
∴EG 綊 D1C1.

∴四边形 EGC1D1 为平行四边形.
∴ED1 綊 GC1.∴BF 綊 ED1.

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1.2.2(一)

探究点二 问题 1
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等角定理

观察图,在长方体 ABCD-

A′B′C′D′中,∠ADC 与 ∠A′D′C′,∠ADC 与∠A′B′C′的 两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?
答 从图中可以看出, ∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC=∠A′B′C′.
小结 本题主要考查两条直线的平行的判定,关键是寻找 直线平行的条件,可由平行线公理证明.

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问题 2
已知

试一试,如何证明等角定理呢?
如图所示,∠BAC 和∠B′A′C′的

边 AB∥A′B′,AC∥A′C′,且射线 AB
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与 A′B′同向,射线 AC 与 A′C′同向. 求证 ∠BAC=∠B′A′C′.

证明 对于∠BAC 和∠B′A′C′在同一平面内的情形,用 初中所学的知识容易证明.下面证明两个角不在同一平面内 的情形.
分别在∠BAC 的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段 AD, AE 和 A′D′,A′E′,使 AD=A′D′,AE=A′E′.
因为 AD 綊 A′D′,所以 AA′D′D 是平行四边形.

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可得 AA′綊 DD′.
同理可得 AA′綊 EE′.
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于是 DD′綊 EE′,因此 DD′E′E 是平行四边形. 可得 DE=D′E′.
于是△ADE≌△A′D′E′,因此∠BAC=B′A′C′.

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问题 3

空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别

对应平行,并且对应边的方向都相反,那么这两个角的大 小关系如何?为什么?
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这两个角相等.如图,过∠2 的一边作∠1

的一边的平行线,则∠1 与∠3 的对应边分别平 行且方向相同,所以∠1=∠3,而∠2 与∠3 是 内错角,所以∠2=∠3,因此∠1=∠2.

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问题 4
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空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别

对应平行,如果一组对应边方向相同,另一组对应边方向 相反,那么这两个角的大小关系如何?为什么?
答 这两个角互补.因为延长一个角的一边,则这个角的补 角与另一个角的两条对应边分别平行,且方向相反,所以一 个角的补角与另一个角相等,所以这两个角互补.

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问题 5 想一想,由等角定理能推出什么结论?
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答 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么 这两条直线所成的锐角(或直角)相等.

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例2

如图,已知 E,E1 分别是正方体 ABCD

-A1B1C1D1 的棱 AD, A1D1 的中点.求证: ∠C1E1B1 = ∠CEB.
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证明 由于 E, 1 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AD, E A1D1 的中点,
所以 EE1∥DD1,且 EE1=DD1,
又因 DD1∥CC1 且 DD1=CC1,
所以 EE1∥CC1 且 EE1=CC1,
所以四边形 EE1C1C 是平行四边形.
所以 E1C1∥EC. 同理可得 E1B1∥EB, 所以由等角定理知∠C1E1B1=∠CEB.

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小结
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有关证明角相等问题,一般采用下面三种途径:①利

用等角定理及其推论;②利用三角形相似;③利用三角形全 等.本例是通过第一种途径来实现的.请同学们利用第三种 途径给予证明.

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跟踪训练 2 已知棱长为 a 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中, N 分别是棱 CD、 的中点. M、 AD 求 证: (1)四边形 MNA1C1 是梯形;
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(2)∠DNM=∠D1A1C1.
证明 (1)如图,连接 AC,在△ACD 中, ∵M、N 分别是 CD、AD 的中点,
∴MN 是三角形的中位线, 1 ∴MN//AC,MN=2AC. 由正方体的性质得:AC//A1C1,AC=A1C1. 1 ∴MN//A1C1,且 MN=2A1C1,即 MN≠A1C1,
∴四边形 MNA1C1 是梯形.

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1.2.2(一)

(2)由(1)可知 MN//A1C1,
又∵ND//A1D1,
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∴∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补. 而∠DNM 与∠D1A1C1 均是直角三角形的一个锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.

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探究点三 空间四边形的有关概念 问题 1 阅读教材 40 页,你能说出什么是空间四边形?什么 是空间四边形的顶点?什么是空间四边形的边?空间四边
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形的对角线? 答 顺次连接不共面的四点 A、B、C、D 所构成的图形,
叫做空间四边形;
四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点; 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边; 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.

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问题 2

你能画出一个空间四边形,并指出空间四边形的对

角线吗?
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答 如图,是一个空间四边形, AC、BD 是它的对角线.

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问题 3

空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托,你能

画出吗?
答 如下图中的两种空间四边形 ABCD 和 ABOC.
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例 3 如图所示, 空间四边形 ABCD 中, F、 E、 G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证:四边形 EFGH 是平行四边形.
证明 连接 BD,
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因为 EH 是△ABD 的中位线, 所以 EH∥BD, 1 且 EH= BD. 2 同理 FG∥BD, 1 且 FG= BD. 2 因为 EH∥FG,
且 EH = FG,

所以四边形 EFGH 为平行四边形.

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跟踪训练 3 在例 3 中,如果再加上条件 AC=BD,那么四 边形 EFGH 是什么图形?
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解 四边形 EFGH 是菱形.证明如下:
由例 3 可知四边形 EFGH 为平行四边形,连接 AC,由题 1 意知 HG 为△ADC 的中位线,所以 HG= AC, 2 1 又因为 EH 是△ABD 的中位线, EH=2BD, AC=BD 知, 由
HG=EH.所以四边形 EFGH 是菱形.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.2.2(一)

1.下列结论正确的是
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( D )

A.若两个角相等,则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
解析 空间四边形的四个顶点不在同一平面上,所以它的 对角线不相交,否则四个顶点共面,故选 D.

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1.2.2(一)
( D )

2.下面三个命题, 其中正确的个数是 ①三条相互平行的直线必共面; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

③若四边形有一组对角都是直角, 则这个四边形是圆的内
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接四边形. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D. 一个也不正确

解析 空间中三条平行线不一定共面,故①错;
当把正方形沿对角线折成空间四边形, 这时满足两组对 边分别相等,也满足有一组对角都是直角,故②、③都 错,故选 D.

1.2.2(一)

1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、 异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方
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法.另外,我们解决空间有关线线问题时,不要忘了我们 生活中的模型, 比如说教室就是一个长方体模型, 里面的 线线关系非常丰富, 我们要好好地利用它, 它是我们培养 空间想象能力的好工具.

1.2.2(一)

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3.注意:等角定理的逆命题不成立.


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