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2.2.3平面向量数乘运算及其几何意义


向量数乘运算及其几何意义

1.向量加法三角形法则:

2.向量加法平行四边形法则:

C

? ? a?b

? b
B

B

? a
? ? ?a ?b b

C

? b
A

? A a

O

? a

3.向量减法三角形法则:

a b
O

B

b
a
A

BA ? a ? b

作一作,看成果 已知非零向量 a ,作出 a ? a ? a ,你能发现什么? a
O

a
A

a
B

a
C

3a

3a与 a 方向相同
且 3a ? 3 a

(?a) ? (?a) ? (?a) 又如何呢? 类比上述结论,

?a
N M

?a
Q

?a
P

?3a ?3a 与 a方向相反
且 ?3a ? 3 a

一般地,我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量,
这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a ,它的长度和方向 规定如下:
(1)

| ? a |?| ? || a |;

(2)当 ? ? 0时, ? a 的方向与 当? ? 0时, ? a 的方向与 特别的,当

a
a

的方向相同; 的方向相反。

? ?0

时, ?a

? 0.

几何意义:将 a 的长度扩大(或缩小) |λ|倍,改变 (不改变)a 的方向,就得到了λ a

练习:
(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a≠0),并比较。

? a

? 3(2a )
结论: 3(2a)=6

a

? 3(2a )

(2) 已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并比较。

? b ?

=

? 6a

a

? ? 2a ? 2b

? ? a ?b

? 2b
? 2a

结论: 2a+2b=2(a+b)

向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,
(1)( ? ? a ) ? ( ?? )a;
(结合律) (第一分配律) (第二分配律)

(2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
特别地:( ? ?) a ? ? (? a ) ? ? ? a
?

? a ? b ? ? a ? ?b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

?

?

? ?

例1、计算下列各式

? ? (1)(?3) ? 4a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b

? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )
? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c
书本P90,练习5

练一练:

课本P90 5
(1) 5(3a ? 2b) ? 4( 2b ? 3a )

? 15a ?10b ? 8b ?12a ? 3a ? 2b
1 1 1 ( 2) ( a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? ( a ? b) 3 4 2

1 2 3 1 1 1 ? a? b? a? b? a? b 3 3 4 2 2 2
1 3 1 2 1 1 11 1 ? ( ? ? )a ? (? ? ? )b ? ? a ? b 3 4 2 3 2 2 12 3

课本P90 5

(3) ( x ? y ) a ? ( x ? y ) a

? xa ? ya ? xa ? ya

? 2 ya

思考 :

(1)若b ? ? a(a ? 0),则a, b位置关系如何 ?

b // a
(2)若b // a(a ? 0),则b ? ? a是否成立?
成立

向量共线定理:
向量a (a ? 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数? , 使b ? ? a.

即a与b共线

b ? ? a (a ? 0)

思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?

练一练:

书本P90,练习4

例2 如图,已知AD=3AB,DE=3BC, 试判断AC与AE是否共线。
C E

解:

AE ? AD? DE

?

?

?

A B D

? 3 AB ? 3BC

? 3 AB ? BC

?

?

? 3 AC
∴ AC 与 AE 共线.

例3.如图,已知任意两个向量 a、 b ,试作OA ? a ? b,

OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
3b
C

a

b

B

2b

A

b
O

a

总结:
证明三点共线的方法:

AB=λBC
且有公共点B

A,B,C三点共线

已知两个非零向量e1和e2不共线,如果 求证 : A、B、D三点共线.

AB ? 2e1 ? 3e2, BC ? 6e1 ? 23e2, CD ? 4e1 ? 8e2,

堂堂清
1. 下列四个说法正确的个数有( C ).
( 1 )对于实数 m和向量a、 b ,恒有m(a ? b ) ? ma ? mb; (2)对于实数 m、n和向量a,恒有(m ? n)a ? ma ? na; ( 3 )若ma ? mb(m ? R),则有a ? b; (4)若ma ? na(m、n ? R), a ? 0, 则有m ? n;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.化简下列各式: ( 1 ) 2(3a ? 2b) ? 3(a ? 5b) ? 5(4b ? a); 1 (2) 2(2a ? 8b) ? 4(4a ? 2b) . 6

?

?

14a - 9b
- 2a ? 4b

(3)8(2a ? b ? c) ? 6(a ? 2b ? c) ? 2(2a ? c)
1 3、解关于 x的方程:(a - 2x) ?( 3 x - a) 2

6a ? 4b

x?

7 a 8


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