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弧度制与任意角三角函数


AB A?B? ? =定值, r r?

设α =n?, AB 弧长为l,半径OA为r,
2? r l 2? , ? n? 则 l ? n? , 360 r 360 可以看出,等式右端不含

半径,表示弧长与半径的
比值跟半径无关,只与α的

大小有关。

结论:可以用圆的半径作

单位去度量角。

2.定义:
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角,弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注:今后在用弧度制表示角的时候,弧度二字 或rad可以略去不写。

3. 弧度制与角度制相比: (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单

位制,角度制是以“度”为单位来度量角的
单位制;1弧度≠1?; (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小,而1度是圆周 的所对的圆心 360

角的大小;

(3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实

数表示,而角度制是六十进制;
(4)以弧度和度为单位的角,都是一个与 半径无关的定值。

l 4.公式:? ? , r
表示的是在半径为r的圆中,弧长为l的

弧所对的圆心角是α rad。

5. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角,零角既是0? 角,又是0 rad角,同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数:

平角=? rad、周角=2? rad.

③ 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是 负数,零角的弧度数是0.

l ④角?的弧度数的绝对值: ? ? r
(l为弧长,r为半径)

⑤ ∵ 360?=2? rad ,∴180?=? rad ∴ 1? =

?
180

rad ? 0.01745rad

180 ? ? 1 rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?

6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式:
① 弧长公式: l ? r ? ?
l 由公式:? ? ? l ? r ? ? r

n?r 比公式 l ? 简单. 180

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积.

1 ② 扇形面积公式 S ? lR 2

其中l是扇形弧长,R是圆的半径。 证明:设扇形所对的圆心角为n? (αrad),则

n 1 2 S ??R ? ? R ?? 360 2
2

又 αR=l,所以

1 S ? lR 2

8? 例2. 把 化成度。 5

解:1rad= (

180

?

)?

8? 8? 180 ? ?( )? 5 5 ?
? 288?

例5. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的

弧长为
中心角等于

,面积为2R2的扇形的
弧度。

4 解:(1)240? = ? ,根据l=αR,得 3
1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2

4 l ? ?R 3

所以 α=4.

例5. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的

弧长为
中心角等于

,面积为2R2的扇形的
弧度。

4 解:(1)240? = ? ,根据l=αR,得 3
1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2

4 l ? ?R 3

所以 α=4.

1.2.1任意角的三角函数

初中锐角的三角函数是如何定义的?

在Rt△ABC中,设A对边为a,B对边为b,C 对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为
a b a sinA ? , cosA ? , tanA ? c c b

讲授新课:

一、三角函数定义:
在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边 上任意一点(除了原点)的坐标为(x,y),它与 原点的距离为r,那么
y y 比值 叫做 ?的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? r r

x x 比值 叫做 ?的余弦,记作 cos ?,即 cos ? ? r r
y y 比值 叫做 ?的正切,记作 tan ?,即 tan ? ? x x

二、三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ?
y ? cos ?

R

[?1,1] [?1,1]

R
{? | ? ?

y ? tan ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

三、三角函数的符号 sinα + –

由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: y

cosα
y

+


x

+

o





o
+

x

tanα
y



+

o
+ –

x

四、诱导公式
由三角函数的定义,就可知道: 终边相同的角三角函数值相同。

sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?
其中

k ?Z

tan(? ? 2k? ) ? tan ?

五、三角函数线
当角的终边上一点 P( x, y) 的坐标满足
x2 ? y2 ? 1

时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线

(Ⅱ)

(Ⅰ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

典型例题
例1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3),求α 的三个函数制值。

解:因为 x ? 2, y ? ?3 ,所以 于是 sin ? ? y ?
r ?3 3 13 ?? 13 13

r ? 22 ? (?3) 2 ? 13

cos ? ?

x 2 2 13 ? ? r 13 13

y 3 tan ? ? ? ? x 2

例3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的三个 三角函数值。
解:因为过点



a ? 0时, sin ? ?

y 2a 2a 2 5 ? ? ? r 5 5|a| 5a x a 5a cos ? ? ? ? r 5 5a

(a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a, | x

? a, y ? 2a

y 2a 2a 2 5 当 a ? 0时, sin ? ? ? ? ?? r 5 5 | a | ? 5a x a 5a cos? ? ? ?? r ? 5a 5

tan ? ? 2

tan ? ? 2


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