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【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教B版


第四节 直线与圆、圆与圆的位置关 系

三年8考

高考指数:★★★

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根 据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系; 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

1.直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点; 2.常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质结

合,重点考查待定系数法、直线与圆的位置关系;
3.题型以选择题和填空题为主,属中低档题目.有时与其他知识

点交汇在解答题中出现.

1.直线与圆的位置关系 (1)从方程的观点判断直线与圆的位置关系:即把圆的方程与直 线的方程联立组成方程组,转化成一元二次方程,利用判别式 Δ 判断位置关系.

Δ 位置关系

Δ >0
相交

Δ =0
相切

Δ <0
相离

(2)从几何的观点判断直线与圆的位置关系:即利用圆心到直线 的距离d与半径r比较大小来判断直线与圆的位置关系.

d 与r
的关系
位置 关系

d<r
相交

d=r
相切

d>r
相离

【即时应用】 (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的 条件.

(2)已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内异于圆心的一点,则直
线x0x+y0y=r2与此圆的位置关系是 .

【解析】(1)当k=1时,圆心到直线的距离 d= 此时直线与圆相交;若直线与圆相交,则
2

2 = <1=r, 2 2 2 1 +(-1)

|1|

|k| 1 +(-1)
2

<1, 解得

- 2<k< 2; 所以,“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”

的充分不必要条件.
(2)因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内的一点,所以 x02+y02<r2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离 所以直线与圆相离. 答案:(1)充分不必要 (2)相离
d= |r 2 | x 0 2 +y0 2 r2 > =r, r

2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).

方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

几何法:圆心距d 与r1,r2 的关系 d >r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2| (r1 ≠ r2)

代数法:两圆方程 联立组成方程组 的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

【即时应用】 (1)思考:若两圆相交时,公共弦所在的直线方程与两圆的方 程有何关系? 提示:两圆的方程作差,消去二次项得到关于x、y的二元一次 方程,就是公共弦所在的直线方程.

(2)判断下列两圆的位置关系 ①x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是 . . .

②x2+y2+2x+4y+1=0与x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是 ③x2+y2-4x+2y-4=0与x2+y2-4x-2y+4=0的位置关系是

【解析】①因为两圆的方程可化为:(x-1)2+y2=1, x2+(y+2)2=4,所以,两圆圆心距|O1O2|= (1-0)2 +(0+2) 2 = 5;

而两圆的半径之和r1+r2=1+2=3;两圆的半径之差r2-r1=2-1=1;
所以r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆相交;

②因为两圆的方程可化为:(x+1)2+(y+2)2=4,(x-2)2+ (y-2)2=9,所以,两圆圆心距|O1O2|= (-1-2)2 +(-2-2) 2 =5; 而两圆 的半径之和r1+r2=2+3=5;|O1O2|=r1+r2,即两圆外切; ③因为两圆的方程可化为:(x-2)2+(y+1)2=9,(x-2)2+ (y-1)2=1,所以,两圆圆心距|O1O2|= (2-2)2 +(-1-1) 2 =2; 而两圆 的半径之差r1-r2=3-1=2;|O1O2|=r1-r2,即两圆内切. 答案:①相交 ②外切 ③内切

直线与圆的位置关系 【方法点睛】 ⒈代数法判断直线与圆的位置关系的步骤 (1)将直线方程与圆的方程联立,消去x(或y)得到关于y(或x)的

一元二次方程;(2)求上述方程的判别式,并判断其符号;(3)得
出结论.

2.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤 (1)求出圆心到直线的距离d;(2)判断d与半径的大小关系; (3)得出结论. 【提醒】如果能判断直线过定点,则可由定点到圆心的距离(即 点在圆内、圆上、圆外)判断直线与圆的位置关系,小于半径相 交;等于半径相切或相交;大于半径相交、相切、相离都有可

能.

【例1】(1)(2012·济南模拟)圆心在原点且圆周被直线 3x+4y+15=0分成1∶2两部分的圆的方程为 ;

(2)若经过点A(4,0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 .

【解题指南】(1)设直线与圆交于A、B两点,圆周被直线分成 1∶2两部分即∠AOB= 1 〓360°=120°,又因为圆心是坐标原点,
3

求出原点到直线的距离,根据直角三角形中30°角所对的直角边 等于斜边的一半求出圆的半径,即可得到圆的方程. (2)直线与圆有公共点,即直线与圆相交或相切,利用圆心到直 线的距离小于等于半径即可.

【规范解答】(1)如图,因为圆周被 直线3x+4y+15=0分成1∶2两部分,

所以∠AOB=120°,
而圆心到直线3x+4y+15=0的

距离 d=

15 3 +4
2 2

=3,

在△AOB中,可求得OA=6,所以所求圆的方程为x2+y2=36. 答案:x2+y2=36

(2)由题可知直线斜率存在,设直线方程为y=k(x-4),即:kxy-4k=0,因为直线与圆有公共点,所以,圆心到直线的距离小 于或等于半径,即:
d= |2k-0-4k| k +1
2

? 1,

解得: 3 ? k ? 3 . 3 3

答案:[- 3 , 3 ]
3 3

【反思·感悟】1.求解直线与圆的位置关系问题的方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系求解;

(2)代数法:联立直线方程与圆的方程,利用方程组的解来解决;
2.求切线方程时,要注意讨论直线的斜率不存在的情况,否则容易

漏解.

与圆有关的弦长、中点问题
【方法点睛】 直线被圆截得弦长的求法 (1)代数方法:直线方程与圆的方程联立,消元转化为关于x的一 元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|= 1+k 2 |x1 -x 2 |
= 1+k 2 (x1 +x 2 ) 2 -4x1x 2 (该方法在解决圆中弦长问题时较少用到);

(2)几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则有:
( l ) 2 =r 2 -d 2 . 2

【例2】已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4 3, 求直线l的方程;

(2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程.
【解题指南】(1)本题求直线方程,因为直线过点P(0,5),所以只

差直线的斜率,因此可利用条件求斜率;
(2)设中点的坐标,可利用条件,寻求等式,化简即得轨迹方程.

【规范解答】圆C的标准方程为:(x+2)2+(y-6)2=16, 所以圆心坐标为C(-2,6),半径r=4.

(1)当斜率不存在时,直线方程为x=0,圆心到此直线的距离为2,
此时弦长为 2 42 -22 =4 3, 符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+5, 即kx-y+5=0,又因为圆的半径r=4,弦长为4 3, 圆心到直线l的距 离为 d= |-2k-6+5| = 42 -(2 3) 2 =2, 2
k +1 解得, 3 , 因此直线方程为 3 x-y+5=0, k= 4 4

即3x-4y+20=0,

综上可知:所求直线方程为x=0或3x-4y+20=0.

???? ???? (2)设弦的中点为M(x,y),由圆的性质得: ?PM=0, CM

(x+2,y-6)·(x-0,y-5)=0, 化简得:x2+y2+2x-11y+30=0. 因此,所求轨迹方程为:x2+y2+2x-11y+30=0.

【反思·感悟】1.本题第一问是已知直线过一点求直线方程,
因此,还需要一个条件,即只需斜率即可,应分斜率存在与不

存在两种情形考虑,该问题易忽略斜率不存在的情况;
2.解答第二问求中点的轨迹方程,其关键是找到一个等量关系, 本题利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦来求解.

圆与圆的位置关系 【方法点睛】 1.两圆公切线的条数
位置关系 公切线条数 内含 内切 相交 外切 外离

0

1

2

3

4

2.判断两圆位置关系的方法
判断两圆的位置关系,可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝

对值之间的关系求解.
【提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数,不能判断内切 与外切、外离与内含.

【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.

(1)m取何值时两圆外切;
(2)m取何值时两圆内切,并求此时公切线的方程. (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【解题指南】先把两圆化为标准方程(1)利用两圆圆心距等于两 圆半径之和求m;(2)利用两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对

值求m,利用圆心与切点连线垂直于切线,圆心到切线的距离等
于半径求切线方程;(3)两圆公共弦所在直线方程为两圆的方程 之差所得直线方程,弦长可用几何法求解.

【规范解答】两圆的标准方程为:(x-1)2+(y-3)2=11, (x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3)、N(5,6),半径分别为
11 、 61-m.

(1)当两圆外切时, (5-1)2 +(6-3)2 = 11+ 61-m,

解得:m=25+10 11;

(2)当两圆内切时,因定圆的半径 11 小于两圆的圆心距5, 因此,有 61-m- 11=5, 解得:m=25-10 11; 因为 k MN =
3 4 6-3 3 = , 所以两圆公切线的斜率一定为 - , 设切线方程 3 5-1 4

为y= - 4 x+b,则有
4 | ? 1+3-b| 3 = 11, 解得: 13 ? 5 11. b= 4 3 3 ( ) 2 +1 3 容易验证当 b= 13 + 5 11 时,直线与后一圆相交,故所求公切线 3 3 4 13 5 方程为 y=- x+ - 11, 即4x+3y+ 5 11 -13=0. 3 3 3

(3)两圆的公共弦所在直线的方程为: (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,

即4x+3y-23=0,所以公共弦长为:
2 ( 11) 2 -( |4+3? 3-23| 42 +32 ) 2 =2 7.

【反思·感悟】1.解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所
满足的圆心距与半径的几何关系求解;

2.当两圆相交时,其公共弦方程可利用两圆的一般方程(注意二
次项系数需一致)相减得到.

【创新探究】直线与圆的位置关系的创新命题

【典例】(2011·江苏高考)集合A={(x,y)|m ≤(x-2)2+y2≤m2,
2

x,y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B≠? ,则实数 m的取值范围是 .

【解题指南】本题考查的是直线与圆的位置关系,解题的关键
是找出集合所代表的几何意义,然后结合直线与圆的位置关系,

求得实数m的取值范围.

【规范解答】∵A∩B≠ ? ,∴A≠? ,∴m2≥m ,
2

∴m≥ 1 或m≤0.显然B≠?. ?
2

要使A∩B≠?,只需圆(x-2)2+y2=m2(m≠0)与x+y=2m或x+y=2m+1 ?

有交点,即
2

|2-2m| |1-2m| ? |m|或 ? |m|, 2 2

∴ 2- 2 ? m ? 2+ 2. 又∵m≥ 1 或m≤0,∴ 1 ≤m≤2+ 2.
2 2

当m=0时,(2,0)不在0≤x+y≤1内. 综上所述,满足条件的m的取值范围为[ ,2+ 2 ]. 答案:[ ,2+ 2 ]
1 2 1 2

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创新
点拨和备考建议:

本题的创新点有以下两点:
创 新 几何图形常见但不落俗套; 点 (2)考查内容的创新,本题摒弃以往考查直线与圆的位置关 拨 系的方式,而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的 位置关系;同时还考查分类讨论思想的应用. (1)考查形式的创新,以集合的形式给出了几何图形,且两

备 考 建 议

解决直线与圆的位置关系问题时,要注意以下几点: (1)根据题设条件,合理选择利用代数方法还是利用几何

方法判断其位置关系;
(2)凡是涉及参数的问题,一定要注意参数的变化对位置 关系的影响,以便确定是否分类讨论.

1.(2012·湛江模拟)过坐标原点且与圆x2-4x+y2+2=0相切的直 线方程为( (A)x+y=0 ) (B)x+y=0或x-y=0

(C)x-y=0

(D)x+ 3y =0或x- 3y =0

【解析】选B.当斜率k不存在时,过原点的直线方程为x=0,因为 圆心(2,0)到此直线的距离 2> 2 (圆的半径),此时不合题意; 当斜率k存在时,过原点的直线方程为kx-y=0,要使该直线与圆

相切,则有

|2k| k +1
2

= 2, 解得k=〒1,

所以,切线方程为x+y=0或x-y=0.

2.(2011·江西高考)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mxm)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是( )

(A)( (B) (-

3 3 ) , 3 3
3 3 ,0) ? (0, ) 3 3

(C)[ - 3 , 3 ]
3 3

(D) (-?,- 3 ) ? ( 3 ,+?)
3 3

【解析】选B.如图,C1:(x-1)2+y2=1. C2:y=0或y=mx+m=m(x+1). 当m=0时,C2:y=0,此时C1与C2 显然只有两个交点,

当m≠0时,要满足题意,需圆
(x-1)2+y2=1与直线y=m(x+1)有两交点,当圆与直线相切时,
m= ? 3 3 , 即直线处于两切线之间时满足题意,则 <m<0 或 3 3 3 0<m< . 3

3.(2012·威海模拟)过点G(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交于A,B 两点,则|AB|的最小值为( (A)2 (B) 2 3 (C)3 ) (D)2 5

【解析】选B.由弦长一半及圆的半径和圆心O与弦中点连线所组

成的直角三角形可知,当圆心到直线距离最大时,弦长最短,
易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时,圆心到直线

AB的距离d取得最大值,即d=|OG|=1,此时弦长最短,即|AB|min=
2 4-1=2 3, 故选B.


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