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【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第3章 第8讲 函数模型及其应用


第 8 讲 函数模型及其应用

1 1. 一根弹簧的原长为 12 cm, 它能挂的重量不能超过 15 kg 并且每挂重 1 kg 就伸长 cm, 2 则挂重后的弹簧长度 y cm 与挂重 x kg 之间的函数关系式是( ) 1 A.y= x+12(0<x≤15) 2 1 B.y= x+12(0≤x<15) 2 1 C.y= x+12(0≤x≤15) 2 1 D

.y= x+12(0<x<15) 2 2.用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙 的长度为( ) A.3 B.4 C .6 D.12 3.某公司招聘员工,经过笔试确定面试对象人数,面试对象人数按拟录用人数分段计 4x,1≤x≤10, ? ? 算, 计算公式为 y=?2x+10,10<x≤100, ? ?1.5x,x>100, 其中 x 代表拟录用人数, y 代表面试对象人数. 若

应聘的面试对象人数为 60 人,则该公司拟录用人数为( ) A.15 B.40 C.130 D.25 4.某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第一年免收管理费,因此 第一年 A 种产品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件.从第二年开始,商场对 A 种产品 征收销售额的 x%的管理费(即销售 100 元要征收 x 元),于是该产品定价每件比第一年增加 70· x% 了 元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的管理费不 1-x% 少于 14 万元,则 x 的最大值是( ) A.2 B.6.5 C.8.8 D.10 5.因为某种产品的两种原料相继提价,所以生产者决定对产品分两次提价,现在有三 种提价方案: 方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%; 方案乙:第一次提价 q%,第二次提价 p%; p+q p+q 方案丙:第一次提价 %,第二次提价 %, 2 2 其中 p>q>0,比较上述三种方案,提价最多的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.一样多 6.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块 矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图 K381),则围成场地的最大面积 为________(围墙的厚度不计).

图 K381

7.(2012 年广东广州二模)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:

①如果不超过 200 元,则不予优惠; ②如果超过 200 元,但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; ③如果超过 500 元, 其中 500 元按第②条给予优惠, 超过 500 元的部分给予 7 折优惠. 某 两人去购物,分别付款 170 元和 441 元,若他们合并去一次购买上述同样的商品,则可节约 ________元. 8.某公司为了实现 2011 年 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励 方案:销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额 y(单位:万元)随销售利 润 x(单位: 万元)的增加而增加, 但奖金数额不超过 5 万元, 同时奖金数额不超过利润的 25%, 1 x 现有三个奖励模型:y=0.025x,y=1.003 ,y= lnx+1,问:其中是否有模型能完全符合公 2 司的要求?说明理由. (参考数据:1.003600≈6,e=2.718 28…,e8≈2981)

第 8 讲 函数模型及其应用 1.C 24-4x 2.A 解析:设隔墙的长为 x(0<x<6),矩形面积为 y,y=x× =2x(6-x)=- 2 2 2(x-3) +18,∴当 x=3 时,y 最大. 4x,1≤x≤10, ? ? 3.D 解析:∵y=?2x+10,10<x≤100=60, ? ?1.5x,x>100, ∴当 1≤x≤10 时,由 4x=60 得 x=15?[1,10],不满足题意; 当 10<x≤100 时,由 2x+10=60 得 x=25∈(10,100],满足题意; 当 x>100 时,由 1.5x=60 得 x=40?(100,+∞),不满足题意. ∴该公司拟录用人数为 25. 70· x% 4.D 解析:依题意,管理费 y=?70+1-x%?(11.8-x)x%≥14,70× ? ? x x)× ≥14, 100 x 化简得(11.8-x)x≥20(1- ),x2-12x+20≤0, 100 解得 2≤x≤10,故选 D. 5.C 解析:方法一,特殊值法,设原价 100 元,甲:第一次提价 30%后 130 元,第 二次提价 10%后 143 元;方案乙:第一次提价 10%后 110 元,第二次提价 30%后 143 元; 方案丙:第一次提价 20%后 120 元,第二次提价 20%后 144 元.故选 C. 方法二, 设原价为 1, 方案甲: 第一次提价 p%, 第二次提价 q%后为 1×(1+p%)(1+q%); 方案乙:第一次提价 q%,第二次提价 p%后为 1×(1+q%)· (1+p%); p+q p+q p+q ?2 方案丙:第一次提价 %,第二次提价 %后为 1×?1+ % , 2 2 2 ? ? p+ q ? 2 1×?1+ % -1×(1+p%)(1+q%) 2 ? ? p - q ?2 =? ? 2 ? %>0(p≠q).故选 C. 200-x 6.2500 m2 解析:方法一,设所围场地的长为 x,则宽为 ,其中 0<x<200, 4 200-x 1?x+200-x?2 2 场地的面积为 x× ≤ 4 4? 2 ? =2500 m ,等号当且仅当 x=100 时成立. 200-x 1 1 方法二,场地的面积为 x× =- (x2-200x)=- (x-100)2+2500,当 x=100 时, 4 4 4 有最大值 2500. 7.49 解析:170<200×0.9=180,441<500×0.9=450,不考虑优惠的实际价格为 170 441 + = 660( 元 ) ,合并后实付款: 500×0.9 + 160×0.7 = 562( 元 ) ,节约 170 + 441 - 562 = 0.9 49(元). 8.解:由题意,符合公司要求的模型只需满足: 当 x∈[10,1000]时, ①函数为增函数;②函数的最大值不超过 5;③y≤x· 25%. (1)对于 y=0.025x,易知满足①;但当 x>200,y>5,不满足公司的要求; (2)对于 y=1.003x,易知满足①;但当 x>600 时,y>6,不满足公司的要求; 1 (3)对于 y= lnx+1,易知满足①. 2 1 当 x∈[10,1000]时,y≤ ln1000+1. 2

1 x 1- 100

×(11.8-

1 1 ∵y-5≤ ln1000+1-5= (ln1000-lne8)<0,∴满足②. 2 2 2-x 2 设 F(x)=2lnx+4-x,F′(x)= -1= <0(x∈[10,1000]) x x ∴F(x)在[10,1000]为减函数. F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2(ln10-3)<0,满足③. 1 综上,只有奖励模型:y= lnx+1 能完全符合公司的要求. 2


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