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椭圆标准方程及其性质知识点大全


【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 全
(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程:
● 椭 圆 定 义 : 平 面 内 一 个 动 点 P 到 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数

( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦
点,两焦点的距

离叫作椭圆的焦距. 注意:①若 ( PF1 ②若 ( PF1

? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ; ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形

(二)椭圆的简单几何性:
●标准方程是指中心在原点,坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

图形

焦点 焦距 范围 性质 对称性 顶点 轴长

F1 (?c,0) , F2 (c,0)
F1 F2 ? 2c
x ? a, y ? b

F1 (0,?c) , F2 (0, c)
F1 F2 ? 2c
x ?b, y ? a

关于 x 轴、 y 轴和原点对称

(?a,0) , (0,?b)

(0,?a) , (?b,0)

长轴长 A1 A2 , A1 A2 = 2a ,短轴长 B1 B2 , B1 B2 = 2b

①e ? 离心率

c a

b 2 2 2 (0 ? e ? 1) ,② e ? 1 ? ( ) 2 ③ c ? a ? b a

(离心率越大,椭圆越扁) 【说明】 : 1.方程中的两个参数 a 与 b,确定椭圆的形状和大小,是椭圆的定型条件,焦点 F 1 ,F 2 的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型,常数 a,b,c 都大于零,其中

a 最大且 a 2 =b 2 +c 2 .
2 2 2. 方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是:ABC≠0,且 A,B,C 同号,A

≠B。A>B 时,焦点在 y 轴上,A<B 时,焦点在 x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式:S?PF1F2 ? b2 tan

?
2

如图:

x2 y2 ●椭圆标准方程为: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 椭圆焦点三角形: 设 P 为椭圆上任意一点, a b
F1 , F2 为焦点且∠ F1 PF2 ? ? ,则△ F1 PF2 为焦点三角形,其面积为 S?PF1F2 ? b2 tan

?
2



(四)通径 :如图:通径长

MN ?

2b 2 a

y M F N x

●椭圆标准方程:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a2 b2

(五)点与椭圆的位置关系:
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ?

2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 P ( x , y ) ? ? 1 ; ( 2 )点 在椭圆上 = 1; ? ? 0 0 a 2 b2 a2 b2

2 2 x0 y0 ? ?1 a 2 b2 (六)直线与椭圆的位置关系:

●设直线 l 的方程为:Ax+By+C=0,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a﹥b﹥0) ,联立组成方程 a2 b2

组,消去 y(或 x)利用判别式△的符号来确定: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切;

(3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; (七)弦长公式:
● 若 直 线 AB: y ? kx ? b 与 椭 圆 标 准 方 程 :

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0) 相 交 于 两 点

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,

把 AB 所在直线方程 y=kx+b,代入椭圆方程

x2 y2 ? 2 ? 1 整理得:Ax2+Bx+C=0。 2 a b
? (含 a

2 2 2 2 ●弦长公式: ① AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k

x 的方程) ② AB ? 1 ? 的方程)
(八)圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

1 ? 1 1 y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 = 1 ? 2 (含 y 2 k a k k

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0)上不重合的两点, a2 b2 x ? x2 ? x0 ? 1 ? ? 2 直线AB的斜率k AB,M ? x0,y0 ? 是线段AB的中点坐标, ? ? y ? y1 ? y2 0 ? 2 ?
设A ? x1 , y1 ?,B ? x2 , y2 ? 是椭圆

? x12 y12 ? ? 1 ?1? ? ? a2 b2 则 ? 2 , 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 2 ? ? ? a2 b2 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? a 2 y ? y2 b x ? x2 ? 1 ?? 2? 1 x1 ? x2 a y1 ? y2
此法称为点差法(设而不求) 两式相减得
2

?

? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
b2

?0

所以 ?1? 式可以解决与椭圆弦AB的斜率及中点有关的问题,

x2 y2 ① 椭圆标准方程 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,以 M ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 a b 2 b k ?kOM ? ? 2 ; a y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,以 M ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 ② 椭圆标准方程 : a2 b2

k ?kOM ? ?

a2 b2

③斜率为 k 的弦的中点轨迹方程: 设弦 PQ 的端点为 P(x 1 , y 1 ), Q(x 2 , y 2 ), 中点为 M (x 0 ,

x ky ? 2 ?0 2 b y0) ,把 P,Q 的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得 a (椭
圆内不含端点的线段) 。

【考点指要】
在历年的高考数学试题中,有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的 15%左右,且 题型,数量,难度保持相对稳定:选择题和填空题共 2 道题,解答题 1 道,选择题和填空题 主要考查圆锥曲线的标准方程,几何性质等;解答题往往是以椭圆,双曲线或抛物线为载体 的有一定难度的综合题,问题涉及函数,方程,不等式,三角函数,平面向量等诸多方面的 知识,并蕴含着数学结合,等价转化,分类讨论等数学思想方法,对考生的数学学科能力及 思维能力的考查要求较高。 主要考查: 圆锥曲线的概念和性质; 直线与圆锥曲线的位置关系; 求曲线的方程;与圆锥曲线有关的定值问题,最值问题,对称问题,范围问题等。曲线的应 用问题,探索问题以及圆锥曲线与其它数学内容的交汇问题也将是高考命题的热点。


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