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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一上学期期中联考数学试题Word版含答案


武汉市部分重点中学 2014—2015 学年度上学期期中联考

高一数学试卷
命题学校:武汉市第三中学 命题教师:曾 勇 审题教师:刘小兵
考试时间:2014 年 11 月 13 日上午 9:50—12:20 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、 设 A ? x x ? 2n ? 1, n ? Z ,则下列正确的是( (A) ? ? A (B) 2 ?? (C) 3 ? A

?

?

) (D) ?2? ? A )

x ? ?2 ? 1, x ? 1 2 2、 已知函数 f (x) ? ? 2 ,若 f ? f (0)? ? a ? 4 ,则实数 a ? ( ? ? x ? ax, x ? 1

(A)0 3、 设函数 y ?

(B)2

(C) ?2

(D)0 或 2

? x 2 ? 2 x ? 15 ,集合 A ? ? x y ? f ( x )? , B ? ? y y ? f ( x )? ,图中
) (B) (0,3) (D) [?5,0) U (3, 4]

阴影部分表示的集合是( (A) [0,3] (C) (?5,0] U[3, 4)

m, n ? N * , 4、 已知集合 M ? {1,2,3, m}, N ? {4,7, n4 , n2 ? 3n} , 映射 f : x ? y ? 3x ? 1 是
从 M 到 N 的一个函数,则 m, n 的值分别为( (A)2,5 5、 设函数 y ? (B)5,2 (C)3,6 ) (D)6,3 )

1 1 1? x

的定义域为 M ,值域为 N ,那么(

(A) M ? x x ? 0 , N ? y y ? 0

?

?

?

?

(B) M ? x x ? 0且x ? ?1 , N ? y y ? 0且y ? 1 (C) M ? x x ? 0 , N ? y y ? R

?
?

?

?

?

?

?

? ? ?


(D) M ? x x ? ?1且x ? 0 , N ? y y ? 0

?

?

6、 给出两个函数,分别满足① h( xy) ? h( x) ? h( y) ② g ( x ? y) ? g ( x) ? g ( y) 。又给 出四个函数的图像,那么可能的匹配方案是(

(A) (B) (C) (D)

①甲,②乙 ①乙,②甲 ①丙,②甲 ①丁,②丙

7、 已知偶函数 f ? x ? 在区间 0, ??? 上单调递增, 则满足 f ? 2 x ? 1? ? f ? ? 的 x 的取 值范围是( (A) ? , ) (B) ? ,

?

?1? ? 3?

?1 2? ? ?3 3?

?1 2 ? ? ?3 3 ?

(C) ?

?1 2? , ? ?2 3?

(D) ? , )

?1 2 ? ? ?2 3 ?

x 8、 函数 y ? a ?

1 ? a ? 0, a ? 1? 的图像可能是( a

(A)

(B)

(C)

(D)

9、 右图中的曲线是幂函数 y ? xn 在 y 轴左边的图像,已知 n 取值 ?2, ?1, 于曲线 C1、C2、C3、C4 的 n 依次取值为( (A) 2, ?2, ?1, )

1 ,则相应 3

1 3

(B) ?1, , ?2, 2 (D) 2, ?1, , ?2

1 3

(C) ?1, 2, , ?2

1 3

1 3

10、已知奇函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,且

f ? 2? ? 0 ,则不等式 ? x ?1? f ? x ?1? ? 0 的解集
是( ) (A) (?1,3) (B) (??, ?1)

(C) (??, ?1) U (3, ??) (D) (?1,1) U (1,3) 二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两 空的题,其中答案按先后次序填写。答错位置,书写不清,模凌两可均不给分。 11、学校先举办了一次田径运动会,某班有 8 名同学参赛,又举办了一次球类运动会, 这个班有 12 名同学参赛。 两次运动会都参赛的有 3 人。 两次运动会中, 这个班共 _ 名同学参赛。

12、已知 A ? x x ? 1 , B ? x ax ? 1 , B ? A ,则 a 的值为
2

?

?

?

?

13、 声强级 L1 (单位: dB) 由公式: L1 ? 10 lg ?

? I ? 给出, 其中 I 为声强 (单位: W / m2 ) ?12 ? 10 ? ?

(1) 一 般 正 常 人 听 觉 能 忍 受 的 最 高 声 强 为 1W / m2 , 能 听 到 的 最 低 声 强 为
10?12W / m2 。则人听觉的声强级范围是

(2) 平时常人交谈时的声强约为 10?6W / m2 ,则其声强级为



5 ? a ? 1? x ? , x ? 1 ? ? ? 2 14 、函数 f ? x ? ? ? ,在定义域 R 上满足对任意实数 x1 ? x2 都有 ? 2a ? 1 , x ? 1 ? ? x

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ,则 a 的取值范围是
x



15、已知 f ? x ? ? m ? x ? 2m?? x ? m ? 3? , g ? x ? ? 2 ? 2 ,若同时满足条件: ①对任意的 x ? R ,有 f ? x ? ? 0 或 g ? x ? ? 0 ; ②存在 x ? ? ??, ?5? ,使得 f ? x ? g ? x ? ? 0 。 则 m 的取值范围是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 16 、 已 知 函 数

f ? x? ?

x ?1 x?2

的 定 义 域 集 合 是

A , 函 数

2 2 g ? x ? ? lg ? ? x ? ? 2a ? 1? x ? a ? a ? ? 的定义域集合是 B 。

(1)求集合 A、B (2)若 A I B =A ,求实数 a 的取值范围。

17、化简(1) ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ? a ? 0且b ? 0 ?

? ?

2

1

?? ??

1

1

? ? ? ?

1

5

? ?

(2) ? log4 3 ? log8 3?? log3 2 ? log9 2?

18、已知函数 f ? x ? ? x ? ? lg a ? 2? x ? lg b 满足 f ? ?1? ? ?2 ,且对于任意 x ? R ,恒
2

有 f ? x ? ? 2x 成立。 (1)求实数 a , b 的值; (2)解不等式 f ? x ? ? x ? 5 。

19 、 已 知 函 数 f ? x ? ? b? a ( 其 中 a , b 为 常 数 且 a ? 0, a ? 1 ) 的 图 像 经 过 点
x

A?1,6? , B ?3,24?
(1)求实数 a , b 的值;

?1? ?1? (2)若对于任意的 x ? ? ??,1? , ? ? ? ? ? ? m ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; ?a? ?b?
(3)若 g ? x ? ?

x

x

2 ? x 2 ? 1?
x

cxf ? x ?

? c ? 0, c为常数 ? ,试讨论 g ? x ? 在区间 ?-1,1? 上的单调性。

20、 武汉东湖风景区有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元。根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超 过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆。为了便于结算,每辆自行车的日 租金 x(元) 只取整数, 并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用, 用 y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后 的所得) 。 (1)求函数 y ? f ? x ? 的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?

21、对定义在 0,1 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ? x ? 称为 G 函数。 ①对任意的 x ? 0,1 ,总有 f ? x ? ? 0 ; ②当 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立。 已知函数 g ? x ? ? x 与 h ? x ? ? 2 ? b 是定义在 0,1 上的函数。
2 x

? ?

? ?

? ?

(1)试问函数 g ? x ? 是否为 G 函数?并说明理由;

(2)若函数 h ? x ? 为 G 函数,求实数 b 组成的集合;

参考答案
CDDBBBADBC 11. 17 12.
13. 14.

?0,1, ?1?
[0,120]
60

1 1 (? , ] 2 2 5 15. ( ?4, ? ) 2

解答题详细答案 x ?1 ? 0 , x ? 2 或 x ? ?1 16.解: (1) x?2
∴ A ? {x x ? 2或x ? ?1}

x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? a ? 0 , ( x ? a)( x ? a ?1) ? 0
∴ x ? a ? 1 或 x ? a , B ? {x x ? a ?1或x ? a} (2)∵ A I B ? A ∴A? B ∴ a ? ?1 且 a ? 1 ? 2 解得 ?1 ? a ? 1
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

17 解: (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) ? 4a (2) (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2)

1 1 1 ? ( log 2 3 ? log 2 3)(log 3 2 ? log 3 2) 2 3 2 5 ? 4
18.解: (1)由 f (?1) ? ?2 ,

lg a ? lg b ? 1 又 f ( x) ? 2 x

x2 +lg ax ? lg b ? 0 对任意 x ? R 成立 ∴ ? ? (lg a)2 ? 4lg b ? 0 (lg b ? 1)2 ? 4lg b ? 0 ∴ (lg b ?1)2 ? 0 ∴ lg b ? 1 , lg a ? 2 a ? 100 , b ? 10
(2) f ( x) ? x2 ? 4 x ? 1

x 2 ? 4 x ? 1 ? x ?5 x 2 ? 3x ? 4? 0
∴ ?4 ? x ? 1 19 解: (1) ∵ f (1) ? 6 , f (3) ? 24 ∴ ab ? 6, a3b ? 24 ∴ a ? 2, b ? 3 , (2) ( ) ? ( ) ? m 对任意 x ? (??,1] 恒成立
x x

1 2

1 3

只需 m 小于等于 ( ) ? ( ) 的最小值
x x

1 2

1 3

又 ( ) ? ( ) 是减函数,当 x ? 1 时取最小值
x x

1 2

1 3

5 6

∴m ?

5 6

cx ? 3 ? 2x 3cx (3) g ( x) ? x 2 ? 2 2 ( x ? 1) x ? 1
设 x1 , x2 ? (?1,1), 且x1 ? x2 , 则

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

3cx1 3cx 3c( x1 x2 ? 1)( x2 ? x1 ) ? 2 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x12 ? 1)( x22 ? 1)

∵ ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ∴ x12 ?1 ? 0 , x22 ?1 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 当 c ? 0 时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , g ( x) 在 (?1,1) 上为减函数 当 c ? 0 时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , g ( x) 在 (?1,1) 上为增函数

20.解: (1)设每辆车的日租金为 x 元 ( x ? 6) ,则租出的车辆数为 50 ? 3( x ? 6) ? 68 ? 3x

y ? (68 ? 3x) x ?115 ? ?3x2 ? 68x ? 115
令 ?3x ? 68 x ? 115 ? 0
2

得定义域为 {x 6 ? x ? 20, x ? N} (2)二次函数 y ? ?3x ? 68x ? 115 对称轴为 x ?
2

34 3

∴当日租金定为 11 元时,一日的净收入最多,为 270 21. 解(1)显然 g ( x) 满足条件①, 对于条件②,当 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1

g ( x1 ? x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 )

? ( x1 ? x2 )2 ? x12 ? x22
? 2x1 x2 ? 0
故 g ( x) 为 G 函数 (2) h( x) ? 2x ? b 是 G 函数 对于条件①,只需要 h( x) 在 [0,1] 上的最小值大于等于 0 即 h(0) ? 1 ? b ? 0 , b ? 1 对于条件②,由 h( x1 ? x2 ) ? h( x1 ) ? h( x2 )

2x1 ? x2 ? b ? 2x1 ? b ? 2x2 ? b

b ? 2x1 ? 2x2 ? 2x1 ? x2 对任意 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 恒成立
只须 b 大于等于 2 1 ? 2 2 ? 2 1
x x x ? x2

的最大值

又 x1 ? 0, x2 ? 0 , 2 1 ? 1, 2 2 ? 1
x x

2x1 ? 2x2 ? 2x1 ? x2 ? 1 ? (1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 1
且当 x1 ? x2 ? 0 时, 2 1 ? 2 2 ? 2 1
x x x ? x2

?1

∴b ?1 综上所述, b ? 1


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