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安徽省合肥一六八中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版


合肥一六八中学 2013—2014 学年度期中考试高二年级文科数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.下列说法不正确的是( ) A.圆柱的侧面展开图是一个矩形 B.圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形 C.直角三角形绕它的一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个圆锥 D.

用一个平面截一个圆柱,所得截面可能是矩形 2.已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 α ⊥γ ,α ⊥β ,则 γ ∥β C.若 m∥n,m∥α ,则 n∥α B.若 m∥n,m ? α ,n ? β ,则 α ∥β D.若 n⊥α ,n⊥β ,则 α ∥β ) D. )

3.直线 3x+4y+5=0 的斜率和它在 y 轴上的截距分别为( A.

4 5 , 3 3

B. ?

4 5 ,? 3 3
+

C. ?

3 5 ,? 4 4
)

3 5 , 4 4

4.若 <α <2π ,则直线 A.第一象限

=1 必不经过( C. 第三象限

B.第二象限

D.第四象限

5.若直线 l1 :(a ? 1) x ? 4 y ? 3 ? 0 与 l 2 :(a ? 2) x ? 5 y ? a ? 3 ? 0 互相垂直,则实数 a 的值为 ( ) A. ?3 或 6 B. 3 或 ?6 C. ?3 D.3 或 6 6.已知直线 l1 :3x+4y-3=0 与直线 l 2 :6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是( A.2 B.17 C.



17 5

D.

17 10

7.平行四边形的两邻边的长为 a 和 b ,当它分别饶边 a 和 b 旋转一周后,所形成的几何体的 体积之比为( ) . A.

a b

B.

b a

C. ( )

a b

2

D. ( )

b a

2

8.已知一个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位: cm) ,可得几何体的体 积是( ) .

A . 4cm3 D. 12cm3

B . 6cm3

C . 8cm3

-1-

9.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AC、BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角为( ) A 90° B.60° C.45° D.30° . 10.如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

PA ? 平面ABC , PA ? 2 AB 则下列结论正确的是(
A. PB ? AD B. 平面PAB ? 平面PBC C. 直线 BC ∥ 平面PAE D. 直线 PD与平面ABC 所成的角为 45°



二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 11. 如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、 圆锥、球的体积之比为 .

12.过两平行平面α 、β 外的点 P 两条直线 AB 与 CD,它们分别交α 于 A、C 两点,交β 于 B、 D 两点,若 PA=6,AC=9,PB=8,则BD 的长为_______. 13.点(a,b)关于直线 x+y=0 对称的点的坐标是 14.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是 . 15.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,过对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E,交 CC1 于 F, 得四边形 BFD1E,给出下列结论: ①四边形 BFD1E 有可能为梯形 ②四边形 BFD1E 有可能为菱形 ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 ④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D ⑤四边形 BFD1E 面积的最小值为 其中正确的是 (请写出所有正确结论的序号)

-2-

合肥一六八中学 2013—2014 学年度期中考试 高二年级文科数学答题卷 时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 11. 12. 13. 14. 15.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是一个 长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.

-3-

17.(本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 M 是棱 AB 的中点. 求证: (1) B1C ? 平面 ABC1 , (2)直线 AC1 ∥平面 B1MC ;

18.(本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过直线 2x+y-2=0 与 x-2y+1=0 的交点,且与直线 y ? 3( x ? 1) 的夹角 为 30 ,求直线 l 的方程.
?

-4-

19.(本小题满分 13 分) 如图在正三棱锥 P-ABC 中,侧棱长为 3,底面边长为 2,E 为 BC 的中点, (1)求证:BC⊥PA (2)求点 C 到平面 PAB 的距离

20. (本小题满分 13 分) 如图,在直角坐标系中,射线 OA: x-y=0(x≥0) , OB: x+2y=0(x≥0) ,过点 P(1,0)作直线分别交射线 OA、OB 于 A、B 两点. (1)当 AB 中点为 P 时,求直线 AB 的斜率 (2)当 AB 中点为在直线 y ? 求直线 AB 的方程.

y

l A P

1 x 上时, 2

O

B

x

-5-

21.(本小题满分 13 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥平面 ABC, △ABC 为正三角形,且侧面 AA1C1C 是边长为 2 的正方形,E 是 A,B 的中点,F 在棱 CC1 上。 (1)当 C1 F ?

1 CF 时,求多面体 ABCFA1 的体积; 2

(2)当点 F 使得 A1F+BF 最小时,判断直线 AE 与 A1F 是否垂直,并证明的结论。

参考答案 合肥一六八中学 2013—2014 学年度期中考试 高二年级文科数学试卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.下列说法不正确的是( ) A.圆柱的侧面展开图是一个矩形 B.圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形 C.直角三角形绕它的一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个圆锥 D.用一个平面截一个圆柱,所得截面可能是矩形 答案:C

-6-

2.已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若α ⊥γ ,α ⊥β ,则γ ∥β C.若 m∥n,m∥α ,则 n∥α B.若 m∥n,m ? α ,n ? β ,则α ∥β D.若 n⊥α ,n⊥β ,则α ∥β ) D.

答案:D 3.直线 3x+4y+5=0 的斜率和它在 y 轴上的截距分别为( A.

4 5 , 3 3

B. ?

4 5 ,? 3 3

C. ?

3 5 ,? 4 4

3 5 , 4 4

答案:C 4.若 <α <2π ,则直线 + =1 必不经过( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 判断出 cos α >0,sinα <0,由直线方程截距式知直线过一、三、四象限.故选 B. 5.若直线 l1 :(a ? 1) x ? 4 y ? 3 ? 0 与 l 2 :(a ? 2) x ? 5 y ? a ? 3 ? 0 互相垂直,则实数 a 的值为 ( ) A. ?3 或 6 B. 3 或 ?6 C. ?3 D.3 或 6

答案:A 提示:由题意知 (a ? 1) ? (a ? 2) ? 4 ? (?5) ? 0 ,即 a ? 3a ? 18 ? 0 ,所以 a ? ?3 或 a ? 6 ,
2

故选 A. 6.已知直线 l1 :3x+4y-3=0 与直线 l 2 :6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是( A.2 答案:A 提示:因为两直线平行,故 ? B.17 C. )

17 5

D.

17 10

3 6 ? ? ,所以 m=8.将 m=8 代入直线 l 2 的方程并化简得 3x+ 4 m
| 7 ? (?3) | 32 ? 42 ? 2 ,故选 A.

4y+7=0.由平行线的距离公式得两直线的距离为 d ?

7.平行四边形的两邻边的长为 a 和 b ,当它分别饶边 a 和 b 旋转一周后,所形成的几何体的 体积之比为( ) . A.

a b

B.

b a

C. ( )

a b

2

D. ( )

b a

2

B 不妨把平行四边形特定为矩形(特殊化思想) ,则 V1 : V2 ? (? b a) : (? a b) ?
2 2

b . a

-7-

8.已知一个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位: cm) ,可得几何体的体 积是( ) .

D. 12cm3 1 1 A 几何体为四棱锥,底面为直角梯形,高为 2,则 V ? [ (2 ? 4)? ? ? 4 . 2] 2 3 2 9.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AC、BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角为( ) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 解:如图所示:取 AD 的中点 G,连接 GE,GF

A. 4cm3

B. 6cm3

C. 8cm3

则 GE∥CD,且 GE= CD=2 则∠FEG 即为 EF 与 CD 所成的角 GF∥AB,且 GF= AB=1 又∵EF⊥AB, ∴EF⊥GF, ∴∠FEG=30° 故选 D 10.如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

-8-

PA ? 平面ABC , PA ? 2 AB 则下列结论正确的是(
A. PB ? AD B. 平面PAB ? 平面PBC C. 直线 BC ∥ 平面PAE D. 直线 PD与平面ABC 所成的角为 45°



【解析】选 D.∵AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直,∴A 不成立;又平面 PAB⊥平面 PAE,∴

平面PAB ? 平面PBC 也不成立;BC∥AD∥平面 PAD, ∴直线 BC ∥ 平面PAE 也不成立。
在 Rt?PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°. ∴D 正确. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 11. 如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、 圆锥、球的体积之比为 .

设球的半径为 r,则三个几何体的体积分别为 V1=π r · 2r=2π r ,V2=
3

2

3

2 4 1 2 3 πr· 2r= π r ,V3= π 3 3 3

r ,所以三个几何体的体积之比为 3∶1∶2. 答案:3∶1∶2 12.过两平行平面α 、β 外的点 P 两条直线 AB 与 CD,它们分别交α 于 A、C 两点,交β 于 B、 D 两点,若 PA=6,AC=9,PB=8,则BD 的长为__12________. 13.点(a,b)关于直线 x+y=0 对称的点的坐标是 14.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是 . 解析:直线 AB 的方程为 + =1,P(x,y),

则 x=3- y,

∴xy=3y- y = (-y +4y)= [-(y-2) +4]≤3. 答案:3 15.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,过对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E,交 CC1 于 F, 得四边形 BFD1E,给出下列结论: ①四边形 BFD1E 有可能为梯形 ②四边形 BFD1E 有可能为菱形
-9-

2

2

2

③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 ④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D ⑤四边形 BFD1E 面积的最小值为 其中正确的是 ②③④⑤ (请写出所有正确结论的序号) 解:四边形 BFD1E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形, 故①不正确, 当两条棱上的交点是中点时,四边形 BFD1E 为菱形,四边形 BFD1E 垂直于平面 BB1D1D, 故②④正确, 四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影是面 ABCD,一定是正方形, 故③正确, 当 E,F 分别是两条棱的中点时,四边形 BFD1E 面积的最小值为 故⑤正确. 总上可知有②③④⑤正确, 故答案为:②③④⑤ ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是一个 长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.

- 10 -

解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为 1 的正方形,高 为 3. 所以 V=1×1× 3= 3. (2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面 ABCD,CD⊥平面

BCC1B1,
所以 AA1=2,侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形, 所以 S=2×(1×1+1× 3+1×2)=6+2 3. 17.(本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 M 是棱 AB 的中点. 求证: (1) B1C ? 平面 ABC1 , (2)直线 AC1 ∥平面 B1MC ; 证明: (1)正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, B1C ? BC1 , ∴ AB ? 平面 BCC1B1 , ∵ CB1 ? 平面 BCC1B1 , ∴ B1C ? AB , 又 ∵ AB ? BC1 ? B , ∴ B1C ? 平面 ABC1 , (2)如图,连结 BC1 交 CB1 于 N ,连结 MN , ∵ 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, ∴ N 是 BC1 的中点, 又∵ M 是棱 AB 的中点, ∴ MN ∥ AC1 , 又 ∵ MN ? 平面 B1MC , AC1 ? 平面 B1MC , ∴直线 AC1 ∥平面 B1MC ; 18.(本小题满分 12 分)

- 11 -

已知直线 l 经过直线 2x+y-2=0 与 x-2y+1=0 的交点,且与直线 y ? 3( x ? 1) 的夹角 为 30 ,求直线 l 的方程. 解:?直线 y ? 3( x ? 1) 的斜率为 3 , ∴其倾斜角为 60 ,且过点 (1, 0) , 又直线 l 与直线 y ? 3( x ? 1) 的夹角为 30? ,且过点 (1, 0) , 易知,直线 l 的倾斜角为 30 或 90 , 故直线 l 的方程 x ? 1 ,或 y ?
? ? ? ?

3 ( x ? 1) 3

19.(本小题满分 13 分) 如图在正三棱锥 P-ABC 中,侧棱长为 3,底面边长为 2,E 为 BC 的中点, (1)求证:BC⊥PA (2)求点 C 到平面 PAB 的距离

【解析】证明(1)E 为 BC 的中点,又 P ? ABC 为正三棱锥

PE ? BC ? ? AE ? BC ? ? BC ? PAE PE ? AE ? E ? ? BC⊥PA
(2)设点 C 到平面 PAB 的距离为 h 。

1 1 VP? ABC ? VC ?PAB ? S ?ABC ? PO ? S ?PAB h 3 3 则
PO ? 9 ? ( 2 3 2 69 ) ? , 3 3 …………10 分

- 12 -

?h ?

S ?ABC ? PO 46 ? S ?PAB 4 …………………12 分

20. (本小题满分 13 分) 如图,在直角坐标系中,射线 OA: x-y=0(x≥0) , OB: x+2y=0(x≥0) ,过点 P(1,0)作直线分别交射线 OA、OB 于 A、B 两点. (1)当 AB 中点为 P 时,求直线 AB 的斜率 (2)当 AB 中点为在直线 y ? 求直线 AB 的方程.

y

l A P

1 x 上时, 2

O

B

x

解 :( 1 ) 因 为 A, B 分 别 为 直 线 与 射 线

OA : x ? y ? 0( x ? 0) 及 OB : x ? 2 y ? 0( x ? 0) 的交点,

2 ? ? a ? 2b ? 2 ? 1, ? a ? 3 , ? ? 所以可设 A(a, a), B(?2b, b) ,又点 P(1,0) 是 AB 的中点,所以有 ? 即? ? a ? b ? 0. ?b ? ? 2 . ? 2 ? ? 3 ?
∴A、B 两点的坐标为 A( , ), B( , ? ) ,

2 2 3 3

4 3

2 3

∴ k AB

2 2 ? ?? 3 ? ?2 , ? 3 4 2 ? 3 3

(2)①当直线 AB 的斜率不存在时,则 AB 的方程为 x ? 1 ,易知 A, B 两点的坐标分别为

A(1,1),B (1,?

1 1 1 ),所以 AB 的中点坐标为 (1, ) ,显然不在直线 y ? x 上, 2 2 4

即 AB 的斜率不存在时不满足条件. ②当直线 AB 的斜率存在时,记为 k ,易知 k ? 0 且 k ? 1 ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1). 分别联立 ?

? y ? k ( x ? 1), ? y ? k ( x ? 1), 及? ?x ? y ? 0 ? x ? 2 y ? 0.

2k k k k ,? ) , ), B( 1 ? 2k 1 ? 2 k k ?1 k ?1 k k k k 所以 AB 的中点坐标为 ( ? , ? ). 2k ? 2 1 ? 2 k 2 k ? 2 2 ? 4 k 1 又 AB 的中点在直线 y ? x 上, 2
可求得 A, B 两点的坐标分别为 A(

- 13 -

k k 1 k k ? ? ( ? ), 2k ? 2 2 ? 4 k 2 2 k ? 2 1 ? 2 k 5 解之得 k ? . 2 5 所以直线 AB 的方程为 y ? ( x ? 1) , 2
所以 即 5x ? 2 y ? 5 ? 0 . 21.(本小题满分 13 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥平面 ABC, △ABC 为正三角形,且侧面 AA1C1C 是边长为 2 的正方形,E 是 A,B 的中点,F 在棱 CC1 上。 (1)当 C1 F ?

1 CF 时,求多面体 ABCFA1 的体积; 2

(2)当点 F 使得 A1F+BF 最小时,判断直线 AE 与 A1F 是否垂直,并证明的结论。











1 ? C1 F ? CF , AC ? C 2

由 已 知 可 得 ?ABC 的 高 为

3 且等于四棱锥

B ? A1 ACF 的高.
?VB ? A1 ACF ? 1 10 10 ? ? 3? 3 , 即 多 面 体 3 3 9 10 ABCFA1 的体积为 3. ………… 5 分 9

(Ⅱ)将侧面 BCC1 B1 展开到侧面 A1 ACC1 得到矩形 ABB1 A1 ,连结 A1 B ,交 C1C 于点 F ,此时点

F 使得 A1 F ? BF 最小.此时 FC 平行且等于 A1 A 的一半,? F 为 C1C 的中点. ……7 分

过点 E 作 EG // A1 F 交 BF 于 G ,则 G 是 BF 的中点, EG ? 过点 G 作 GH ? BC , 交 BC 于 H ,则 GH ?

1 5 A1 F ? .. 2 2

1 1 FC ? . 2 2
- 14 -

又 AH ?

3 , 于是在 Rt?AGH 中, AG ?

AH 2 ? GH 2 ?

13 ; 2

在 Rt?ABA1 中, AE ?

2.

在 ?AEG 中, AE 2 ? GE 2 =AG 2 ,? AE ? EG, ∴ AE ? A1 F . …………………… 13 分

- 15 -


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