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高中数学:第2章 圆锥曲线 椭圆第二课时2


蒙城一中数学教研组

刘长山

2.1.2 椭圆的简单性质

复习思考 ? 椭圆的定义、标准方程是什么?
?

?

?

?

平面上到两个定点的距 离的和(2a)等于定长 (大于|F1F2 |)的点 的轨迹叫椭圆。 定点F1

、F2叫做椭圆的 焦点。 两焦点之间的距离叫做 焦距(2C)。 椭圆中a,b,c的关系是:

标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
y 2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

a2 ? c2 ? b2

一、椭圆的对称性


x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
y

2

2

之中,说明: 椭圆关于(X )轴对称;

椭圆关于( Y)轴对称;
椭圆关于( 圆点 )点对称; 中心:椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心

o

x

二、椭圆的范围
x y x 由 ? 2 ?1 ? 2 2 a a b

2 2
2

y ?1 和 b
y B2

2

2

?1

x ? a和 y ? b

说明:椭圆位于直线 x=±a和y=±b所围成的 矩形之中。
A1

F1

O B1

F2

A2 X

三、椭圆的顶点
在 ±b), 中,令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点( 0 ,
令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点( ±a ,0 ) y ( 0, b ) B2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

a
( -a,0 )

( a, 0 )

A1

F1

O B1
( -b,0 )

F2

A2 X

四、椭圆的离心率

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? a 叫做椭圆的离心率。 y
x

[1]离心率的取值范围:
因为 a > c > 0,所以1 >e >0 [2]离心率对椭圆形状的影响:

o

1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小(?),椭圆就 越扁(?) 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大(?),椭圆就 越圆(?) 3)特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合,椭圆方 程变为(?)

标准方程

x y ? ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b

2

2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a









|x|≤ a,|y|≤ b


|x|≤ b,|y|≤ a

对 称 性
王新敞
奎屯 新疆

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称。

顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距

? a ,0
(

?c,0)

),(0,

? b)



?b ,0

(0,

?c)

),(0,

? a)

长半轴长为a,短半轴长为b. 焦距为2c;
a2 ? c2 ? b2 c e ? a

a,b,c关系 离 心 率

例1

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标 x2 y2 解:把已知方程化成标准方程 52 ? 4 2 ? 1 这里, a ? 5, b ? 4, c ? 25 ?16 ? 3 因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是

2a ? 10,2b ? 8
c 3 ? ? 0.6 离心率 e ? a 5 焦点坐标分别是 F 1 (?3,0), F 2 (3,0)
四个顶点坐标是

A1 (?5,0), A2 (5,0), B1 (0,?4), B2 (0,4)

例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点P(-3,0),Q(0,2)

(2)长轴长为20,离心率等于3/5.

说明:用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)先定位:确定焦点的位置

(2)再定形:求a,b的值。

课堂练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程. ? ⑴经过点 P ? ?2 2, 0 ? , Q ? 0, 5 ? ? ⑵长轴长是短轴长的3倍,且经过点 P ? 3,0? ? ⑶焦距是8,离心率等于0.8,
?

归纳总结
1、用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)先定位:确定焦点的位置 (2)再定形:求a,b的值。

2、求椭圆的离心率
(1)求出a,b,c,再求其离心率

(2)得a,c的齐次方程,化为e的方程求

课堂小结


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