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3.2 一元二次不等式及其解法比赛课件


高中数学必修5

一元二次不等式及其解法
安顺一中 龙灵

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两个网络服务公司(Internet Serice Provider)的资费标准: 电信:每小时收费1.5元 网通:用户上网的第一小时内收费1.7元,第二 小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元.(若用 户一次上网时间超过17小时,按17小时计算)? <不妨设该同学一次上网不超过17小时> 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信 比选择网通所需费用少?

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分析:假设一次上网 小时 小时, 分析:假设一次上网x小时, 则电信公司的收取费用为1.5x 则电信公司的收取费用为 根据题意知,网通收费 根据题意知,网通收费1.7 ,1.6,1.5 ,1.4,…… , ,
∵1.7,1.6,1.5,1.4,…… 是以 是以1.7为首项 以-0.1为公差的等差数列 为首项, 为首项 为公差的等差数列 ∴网通公司的收取费用为 1.7 x +

x( x ? 1) x ( 35 ? x ) (?0.1) = 2 20

公司所需费用少, 如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少,则1 .5 x < 整理得

x (35 ? x ) 20

x 2 ? 5x < 0

这是什么?

新知讲解

一元二次不等式 象 x ? 5 x ≤ 0 这样只含一个 未知数,并且未知数最高次数 为2的不等式。
2

探究新知

思考:
那么一元二次不等式 x ? 5x < 0 怎样 去求解呢?
2

探究新知
y
我们来考察它与其所对的二次 y = x2 ?5x 的关系: 函数
(1)当 x < 0 或 (2)当 x

x>5 x=5
时,y

时,y 时,y

>0
=0
O
5

x

=0



(3)当 0 <

x<5

>0

下结论: 下结论
结合图像知不等式 x 2 ? 5 x < 0 的解集 是 {x | 0 < x < 5}

推广:
2 那么对于一般的不等式 ax + bx + c > 0

或 ax 2 + bx + c < 0(a > 0)又怎样去寻求解集呢?

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ) △>0 y x1 O x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= ? 2a {x|x≠
? b 2a}

△=0 y

△<0 y

ax2+bx+c=0 (a>0)的根 的根

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

O 没有实根

x

ax2+bx+c>0 或 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 的解集

R Φ

{x|x1< x <x2 }

Φ

例题讲解

例 1解下列关于 x 一元二次不等式:

( )x ? x ? 6 > 0 1
2

( 2) 4 x ? 4 x + 1 > 0
2

(3) ? x + 2 x ? 3 > 0
2

解一元二次不等式的步骤:
? 化标准:将不等式化成标准形式(右边为0、 最高次的系数为正); ? 考虑判别式:计算判别式的值,若值为正, 则求出相应方程的两根; ? 下结论:注意结果要写成集合或者区间的 形式

课堂练习

解下列关于x的不等式 (1) x ? 4 x + 9 > 0
2

(2)3 x ? 7 x ≤ 10
2

(3) ? x + 2 x ? 3 > 0
2

课堂小结

这节课我们学习了一元二次不等式的解法,同学们下去 可以多注意以下两点

? 1、三个二次的关系,注意结合图像; ? 2、将一元二次不等式化为标准形式;

作业:
课本80页习题3.2 A组第1、2题

例题讲解
例2、求函数 f ( x) = 2 x 2 + x ? 3 + log3 (3 + 2 x ? x 2 ) 的定义域
?2 x 2 + x ? 3 ≥ 0 ? 3 + 2x ? x2 > 0 ?

解:要使得函数有意义,则
3 ? ? x ≥ 1或x ≤ ? ? 2 即: ? ?1 < x < 3 ?



, 也即 1 ≤ x < 3

故函数 f (x) 的定义域是 [1,3) 。

探究新知
y
我们来考察它与其所对的二次 y = x2 ?5x 的关系: 函数
(1)当 x < 0 或 (2)当 x
y>0,x轴 上方

x>5 x=5
时,y

时,y 时,y

>0


=0



=0

O

● 5

x
y=0,x 轴上

(3)当 0 <

x<5

>0

y<0,x轴 下方


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