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三角函数(3)


三角函数单元检测题
一、选择题(共大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) ? 1、函数 y ? 3 sin 2 x 的图象可以看成是将函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象( 3 ? ? (A)向左平移个 单位 (B)向右平移个 单位 6 6 ? ? (C)向左平移个 单位 (D)向右平移个 单位 3 3 ? 3 ? 4 2、已知 sin ? ,

cos ? ? ,则角 ? 终边所在象限是( ) 2 5 2 5
(A)第三象限 (B)第四象限 (C)第三或第四象限 (D)以上都不对 3、已知 ? 是锐角,则下列各式成立的是( ) (A) sin ? ? cos ? ? 4、函数 y ? )

1 4 5 (B) sin ? ? cos ? ? 1(C) sin ? ? cos ? ? (D) sin ? ? cos ? ? 2 3 3


sin x ? lg cos x 的定义域为( lg( x 2 ? 2)
? 2

(A) 2k? ? x ? 2k? ?

(k ? z) (k ? z)

(B) 2k? ? x ? 2k? ? (D) 2k? ?

? 2

(k ? z)

(C) 2k? ? x ? (2k ? 1)?

? ? ? x ? 2 k? ? (k ? z) 2 2


5、右图是函数 y ? 2 sin( ?x ? ?)(| ? |?

10 ? ,? ? 11 6 ? (C) ? ? 2, ? ? 6
(A) ? ?

? ) 的图象,那么( 2 y 10 ? ,? ? ? (B) ? ? 1 11 6 ? (D) ? ? 2, ? ? ? o 6

11? 12

x )

6、已知 f (x) 是奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? cos x ? sin 2 x ,则当 x ? 0 时, f (x) 的表达式是( (A) cos x ? sin 2 x (B) ? cos x ? sin 2 x (C) cos x ? sin 2 x (D) ? cos x ? sin 2 x 7、若 ? ? ? ? (A)

1 2

3? ,则 (1 ? tan?)(1 ? tan?) 的值是( 4 3 (B) 1 (C) (D) 2 2
6 6



8、函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为( (A) 2 ?
?



(B) ?
?

(C)
?

? 2
?

(D) 2k? ? ? ) (D) ? 3 )

(k ? Z)

9、 tan70 ? tan50 ? 3 tan70 tan50 的值等于(

(A)

3

(B)

3 3

(C) ?

3 3

10、已知锐角 ? 满足 sin 2? ? a ,则 sin ? ? cos ? 的值是(
1

(A) a ? 1 ? a 2 ? a (B) a ? 1 (C) ? a ? 1 (D) a ? 1 ? a 2 ? a 11、已知 f (tanx) ? sin 2x ,则 f (?1) 的值是( (A) 1 (B) ? 1 (C) )

1 2

(D) 0

12、已知 f ( x ) ? a cos x ? b sin x cos x ?
2

a 1 ? ? 3 的最大值是 ,且 f ( ) ? ,则 f ( ? ) ? ( 3 2 2 3 4



(A)

1 2

(B) ?

3 4

(C) ?

1 3 或 2 4

(D) 0或 ?

3 4

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

sin x cos x 的最大值为__________ 1 ? sin x ? cos x ? ? 14、函数 y ? sin( 3x ? ) 的图象沿向量 a =____________平移得到 y ? cos( 3x ? ) . 4 4
13、函数 y ? 15、函数 y ? cos(3x ? ?) 关于原点对称的充要条件是______________ 16、关于 x 的函数 f ( x) ? sin(x ? ?) 有以下命题: (1) 对任意的 ? , f (x) 都是非奇非偶函数. (2) 不存在 ? ,使 f (x) 既是奇函数,又是偶函数. (3) 存在 ? ,使 f (x) 是奇函数. (4) 对任意的 ? , f (x) 都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_________________. 因为当 ? ? _______________时,该命题的结论不成立. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (12 分)在△ABC 中, a , b, c 分别是 A, B , C 的对边,且

cos B b ?? , cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求 a 的值;

2

18.(12 分)已知△ABC 的面积 S ? a2 ? (b ? c)2 且 b ? c ? 8, 求△ABC 面积的最大值.

19. (12 分)已知 0? ? ? ? ? ? 90? , 且 sin ? ,sin ? 是方程 x ? ( 2 cos 40 ) x ? cos 40 ?
2 ? 2 ?

1 ? 0 的两个 2

根,求 cos(2? ? ? ) 的值.

20. (12 分)是否存在实数 a ,使得函数 y ? sin x ? a cos x ?
2

5 3 ? a ? 在闭区间 [ 0, ] 上的最大值是 1? 8 2 2

若存在,求对应的 a 值?若不存在,试说明理由.

3

21. 12 分) ( 已知函数 f ( x ) ? A sin( ?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

? ) 的图象在 y 轴上的截距为 1, 它在 y 轴 2

右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 ,2) 和 ( x0 ? 3? ,?2) . (1)试求 f ( x ) 的解析式; (2)将 y ? f ( x ) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 平移

1 (纵坐标不变) ,然后再将新的图象向 x 轴正方向 3

? 个单位,得到函数 y ? g( x ) 的图象.写出函数 y ? g( x ) 的解析式并用列表作图的方法画出 3

y ? g( x ) 在长度为一个周期的闭区间上的图象.

22. (14 分)某港口水的深度 y(米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:时)的函数,记作 y=f(t), 下面是某日水 深的数据: t/h y/m 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

经常期观察,y=f(t)的曲线可以近似得看成函数 y ? A sin ?t ? b 的图象, (1)试根据以上的数据,求出函数 y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时认为是安全的,某船吃水深度(船 底离水面的距离)为 6.5m,试求一天内船舶安全进出港的时间。

4

参考答案
一、选择题 1. A 2. B 3. C 4. A 5. C 6. B 7. D 8. C 9. D 二、填空题 13. 10. B. 11. B 12. D

2 ?1 2
? ,k ? Z 2

14. (

2 k? ? ? ,0 , ) 3 6

k?Z

15. ? ? k? ? 三、解答题 17. 解: (1)由

16.(1) ? ? 0 ;(或 (4), ? ? ,

? ) 2

cos B b cos B sin B ?? ,得 ?? , cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C

即: 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0, ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0, 而 sin( B ? C ) ? sin A,?2sin A cos B ? sin A ? 0, 又 sin A ? 0,? cos B ? ? , 而 0 ? B ? ? ,? B ?

2? . 3

1 2

(2)利用余弦定理可解得: a ? 1 或 a ? 3. 18、解:. s ? a2 ? (b ? c)2 ? (b2 ? c2 ? 2bc cos A) ? (b ? c)2 ? 2bc(1 ? cos A) ,

1 1 1 bc sin A, ? 2bc(1 ? cos A) ? bc sin A, ? cos A ? 1 ? sin A, 2 2 4 8 2 2 . 代入 cos A ? sin A ? 1 ,解得 sin A ? 17 1 4 4 b ? c 2 64 bc ? ( ) ? . ∵ b ? c ? 8, b ? 0, c ? 0,? s ? bc sin A ? 2 17 17 2 17 64 当 b ? c ? 4 时,△ABC 的面积取得最大值 . 17 1 2 ? 2 ? 2 ? 19、解:由已知得, sin ? ? sin ? , ? ? ? 2cos 40 ? 4(cos 40 ? ) ? 2sin 40 , 2
又s ? 由求根公式得, sin ? ?

2 (cos 40? ? sin 40? ) ? sin5? , 2

sin ? ?

2 (cos40? ? sin 40? ) ? sin85? ,又∵ 0? ? ? ? ? ? 90? , 2
? ?
?

∴ ? ? 5 , ? ? 85 , ? cos(2? ? ? ) ? cos(?75 ) ? 20. 解:原函数整理为

6? 2 4


5 1 2 y ? ? c o s x ? a c o sx ? a ? 8 2
2

5 1 a 2 a2 5 1 ? a? 令 t=cosx , 则 f (t ) ? ?t ? at ? a ? ? ?(t ? ) ? 8 2 2 4 8 2
(1) 当

t ?[0,1]

a ? 0时 , 2

f (t ) max ? f (0) ?

5 1 a ? ? 1, 8 2
5

?a ?

12 (舍) ; 5

a 3 a a2 5 1 (2) 当0 ? ? 1时 , f (t ) max ? f ( ) ? ? a ? ? 1 ,? a ? ?4 或 a ? , 2 2 2 4 8 2
?a ?
(3) 当

3 ; 2 13 3 a ? ? 1, 8 2 a? 20 13
(舍) ,

a ? 1时 , 2

f (t ) max ? f (1) ? a? 3 . 2

综上所述可得 21.解: (1)由题意可得:

T ? 6? , A ? 2 ,

, ? 函数图像过(0,1) ? sin ? ?

x ? ? f ( x) ? 2 sin( ? ) ; 3 6
(2) g ( x) ? 2 sin( x ? 图象略:略. 22. 解:(1) y ? 3 sin

1 ? ? , ? ? ? ,?? ? 2 2 6

1 ? f ( x) ? 2 s i n ( x ? ? ) , 3


?

6

);

?
6

t ? 10 .;

(2) 1 时至 5 时,13 时至 17 时.

6


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