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初等数论:不定方程与高斯函数


初等数论:不定方程与高斯函数
一、不定方程 不定方程也称丢番图方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受 到某些要求(如是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。不定方程是数 论的重要分支学科,它的内容十分丰富,与代数数论、几何数论、集合数论等都 有较为密切的联系。 其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现,是培养思维能 力的好材料,它不仅要求对初等数论的一般理论、

方法有一定了解,而且更需要 讲究思想、方法与技巧,创造性的解决问题。 1.不定方程问题的常见类型: (1)求不定方程的解; (2)判定不定方程是否有解; (3)判定不定方程的解的个数(有限个还是无限个) 。 2.解不定方程问题常用的解法: (1)代数恒等变形:如因式分解、配方、换元等; (2)不等式估算法:利用不等式等方法,确定出方程中某些变量的范围, 进而求解; (3)同余法:对等式两边取特殊的模(如奇偶分析) ,缩小变量的范围或性 质,得出不定方程的整数解或判定其无解; (4)构造法:构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方 程有无穷多解; (5)无穷递推法。 以下给出几个求解定理: (一)二元一次不定方程(组) 定义.形如 ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b 不同时为零)的方程称为二元一次不定方程 定理 1.方程 ax+by=c 有解的充要条件是(a,b)|c; 定理 2.若(a,b)=1,且 x0,y0 为 ax+by=c 的一个解,则方程全部解可以表示成 x ? x0 ? b t , y=y0 ? a t (t 为任意整数)。 定理 2’.. 元一次不定方程 a1x1+ a2x2+ …anxn=c(a1 ,a2, …an,c∈N) 有 解的充要条件是 (a1, …,an )|c. 方法与技巧: 1.解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解,可先求 ax+by=0 一个特解,从而写出通解。当不定方程系数不大时,有时可以通过观察法求得其 解,即引入变量,逐渐减小系数,直到容易得其特解为止; 2.解 元 一 次 不 定 方 程 a1x1+ a2x2+ …anxn=c 时 , 可 先 顺 次 求 出 ,……, 则方程有解,作方程组: .若 ,则方程无解;若 | ,

求出最后一个方程的一切解,然后把 的每一个值代 入倒数第二个方程,求出它的一切解,这样下去即可得方程的一切解。 3. 个 n 元一次不定方程组成的方程组, m 其中 m<n, 可以消去 m-1 个未知数, 从而消去了 m-1 个不定方程,将方程组转化为一个 n-m+1 元的一次不定方程。 (二)高次不定方程(组)及其解法 1.因式分解法:对方程的一边进行因式分解,另一边作质因式分解,然后 对比两边,转而求解若干个方程组; 2.同余法:如果不定方程 F(x1, …xn)=0 有整数解,则对于任意 m∈N,其整 数解(x1, …xn)满足 F(x1, …xn)≡0(mod m),利用这一条件,同余可以作为探究不 定方程整数解的一块试金石; 3.不等式估计法:利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围,再分 别求解; 4.无限递降法:若关于正整数 的命题 P(n)对某些正整数成立,设 n0 是使 成立的最小正整数,可以推出:存在 ,使得 成立,适合证明

不定方程无正整数解。 方法与技巧: 1.因式分解法是不定方程中最基本的方法,其理论基础是整数的唯一分解 定理,分解法作为解题的一种手段,没有因定的程序可循,应具体的例子中才能 有深刻地体会; 2.同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件,为进一步求解或 求证作准备。同余的关键是选择适当的模,它需要经过多次尝试; 3.不等式估计法主要针对方程有整数解,则必然有实数解,当方程的实数 解为一个有界集,则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个,逐一检验, 求出全部解;若方程的实数解是无界的,则着眼于整数,利用整数的各种性质产 生适用的不等式; 4.无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解,使得它比已选择的解 “严格地小” ,由此产生矛盾。 定理 3 方程 x1+ …+xn=k(k∈N+) n?1 (1)非负整数解有 Cn?k ?1 组
?1 (2)当 k≥n 时,正整数解有 Ckn?1 组

例题
1.求不定方程 x4+y4+z4=2x2y2+2y2z2+2z2x2+24 的所有正整数解。

2.设 k 是给定的正整数,k≥2,求证:连续 3 个正整数的积不能是整数的 k 次幂

4 4 3.确定方程 x14 ? x2 ? ... ? x14 ? 1999 的全部非负整数解

4.求证下列数不能表示为若干连续整数的立方和 (1)38597 (2)36617

5.正整数 n 不能被 2,3 整除,且不存在非负整数 a,b,使得 | 2a ? 3b |? n , 求 n 最小值

6.求 x2 ? y 2 ? 328 的全部正整数解

7.求 x2 ? 23xy 2 ? 1989 y 2 ? 0 的整数解

8.试证 x2 ? 2 xy 2 ? 5z ? 3 ? 0 无整数解

9.试求所有的正整数 a,b,c,使 (a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) | (abc ?1)

10.试证 x2 ? y 2 ? z 2 ? 2xyz 无非零整数解

11.甲乙两队各出 7 名队员按事先排好的顺序参加淘汰赛,双方先由 1 号队 员比赛, 负者被淘汰; 胜者再与负方 2 号队员比赛……, 直到一方队员全被淘汰, 另一方才算胜利,形成一比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程有几种?

12. m,n∈{1,2,……,2009}, (n2 ? mn ? m2 )2 ? 1 ,试求 n ? m 最大值
2 2

1 1 1 m 13.是否存在正整数 m,使得方程 ? ? ? 有无穷组正整数解? a b c a?b?c

二、高斯函数 ?x ? 1、高斯函数 ?x ? 的定义
? 5 ? 1? 设 x ? R , ?x ? 表示不超过 x 的最大整数(如 ? 用 ? ? ? ? 0 , ? 0.1263 ? ?1 ), ? 2 ? 则 y ? ?x ? 称为高斯函数,也叫取整函数。 由定义, ?x? ? x ? ?x? ? 1 ,故 ?x? ? x ? ?x?≥0,称{x}为 x 的小数部分。 2、高斯函数 ?x ? 性质 1)x=[x]+{x},0≤{x}<1 ; [x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x; 2)当 x1 ? x 2 时,有 ?x1 ? ? ?x2 ? ; 3)对于任意实数 x 、 y ,有: ? x? ? ? y? ? ? x ? y? ,且 ?x? ? ? y? ? ?x ? y? ;

4)对于任意整数 n ,有: ?n ? x? ? n ? ?x? ; ? ? ?x? ? 1, ?当x不是整数时? 5) ? ? x ? ? ? ; ? ?x?, ?当x是整数时? ?

? x ? ? ?x?? 6)对于任意正整数 n 及实数 x ,有: ? ? ? ? ? ; ?n? ? n ?

?x? + * 7)若 x∈R ,n∈N ,则不超过 x 的正整数中,是 n 的倍数的数共有 ? ? 个; ?n? ?n? ? n ? ? n ? 8)在 n!的质因数分解式中,质数 p 的指数是 ? ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? … ? p? ? p ? ? p ? 3、函数 y ? ?x?性质 1) ?x? ? 0 的充要条件是 x ? Z 。 2) ?m ? x? ? ?x? 的充要条件是 m ? Z 。 ?n? r 3)若 n ? Z , a ? N , n ? aq ? r ?0 ? r ? a ? ,则 ? ? ? 。 ?a ? a

例题
1.求 1995!末尾 0 的个数

2.求 [1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ] 2 3 2009

3.求证:对于任意实数 x 都有: ? nx ? ?

? x? ? ? 2 x? ? ...... ? ? nx? 。
1 2 n

?1 ? 4.(1)找出一个实数 x,满足 ? x? ? ? ? ? 1 ?x? (2)求证:满足上述等式的 x 都不是有理数

5.求证:对任何自然数 k(k≥2),存在无理数 r,使得任何自然数 m, [r m ] ? ?1(mod k)

6.沿圆周按顺序依次写下 1 到 N(N>2)的正整数,要求每对相邻的两位数 按十进制至少有一个数字相同。求 N 最小值

7.找出连续 21 个整数,使其每个数至少有一个素因子 p(2≤p≤13),且每 个素因子至少是其中一个数的素因子

8 解方程: x 3 ? ?x? ? 3 (第 20 届莫斯科数学竞赛题)

9 求方程 ?x? ? x ? ?x?的正实根。
2

练习题
1.解不定方程 x2+y2+z2=x2y2 2.设 k 是给定的正整数,k≥2,求证:连续 4 个正整数的积不能是整数的 k 次 幂 3.求证:不定方程 ( x ? 2)2m ? xn ? 2 无正整数解 4.求 8x ? 15 y ? 17 z 的全部正整数解 5.试求所有的正整数 n,使 x3 ? y3 ? z3 ? nx2 y 2 z 2 有正整数解
6. 在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。为了试验 5 种不同新式 武器,打算安排 5 个岗位配备这些新式武器,要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器, 且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器,相邻两个岗位不同时配备新式武器,问 共有多少种配备新式武器的方案?

1 1 1? ?1 7.当 n ? 2 ?n ? N ? 时, ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 3 4 n ? ?2 ? A? 0 ?B ? 1 ?C ? 2 ?D ? 3 3 8、解方程: 3x ? ?x? ? 3 9.求证:对于任意 n∈N+,存在 n 个连续正整数,它们都不是素数的整次幂 10、 (08 年全国高中数学联赛第二试第二题)设 f ( x) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x) 的
周期且 0 ? T ? 1.证明: (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

1 是 f ( x) 的周期; p

( Ⅱ ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 {an } 满 足 1 ? an ? an?1 ? 0

(n ? 1 , 2? ,? ? )且每个 an ,

(n ? 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.


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