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江苏省响水中学2014届高考数学一轮复习 第9课时 平面向量的数量积学案 文


江苏省响水中学 2014 届高考数学一轮复习 第 9 课时 平面向量的数量 积学案 文
【课题】平面向量的数量积 【课时】第 9 课时 【学习目标】 1、掌握平面向量的数量积及其性质和运算律; 2、掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用; 3、培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力。 【知识点回顾】 1、平面向量的数量积的定义

>(1)a与b 的数量积:两个非零向量 a, b ,它们的夹角为θ ,则 a ? b ? cos ? 叫做称 a与b 的数量积,记作 a ? b , 即 a ? b = a ? b ? cos? 。

(2)规定 0 ? a =0;非零向量 a与b ,当且仅当 a?b 时,θ =90°,这时 a ? b =0。

? ? ? a ?b (3) b 在 a 方向上的投影: OP ? b cos ? ? ? ? R (注意 OP 是射影) 。 a

a ? b 的几何意义: a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。
2、平面向量数量积的运算律 (1)交换律成立: a ? b ? b ? a

(2)对实数的结合律成立:

??a?? b ? ??a ? b? ? a ? ??b??? ? R?
-1-

(3)分配律成立: a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? a ? b 特别注意: (1)结合律不成立: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

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2 2 2 2

? ? ? ?
?a ? b?
2

(2)但是乘法公式成立: a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ;

? ?? ?
2

? a ? 2a ? b ? b

2

? a ? 2a ? b ? b ;

2

2

【基础知识】 1、 已知 | a | =10, | b | =12,且 (3a ) ? ( b ) =-36,则 a 与 b 的夹角是 _________ 。 2、已知向量 a, b 满足 a ? 6, b ? 4 ,且 a与b 的夹角为 60 ,求 a ? b 和 a ? 3b
0

1 5

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3、已知 a =(2,3) , b =(-1,-2) , c =(2,1) ,试求 a ? (b ? c) 和 a ? b ? c 的值。 4、 在直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且 | OC |=2,则 OC = 5、已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点 共线 ,则 k= 6、已知 i, j 为互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j, b ? i ? ? j ,且 a 与 b 的夹角为锐角, 求实数 ? 的取值范围。 【例 题分析】 1、已知 a ? ?4,3? , b ? ?? 1,2? , m ? a ? ?b, n ? 2a ? b ,按下列条件求实数λ 的值。 (1) m ? n ; (2) m // n ; (3) m ? n 。

? ?

??? ?

??? ?

??? ?

2、已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 且 a, b 满足 ka ? b ? 3 a ? kb , k ? R (1)求证 (a ? b) ? (a ? b) ; (2 ) 将 a 与 b 的数量积表示为关于 k 的函数 f ( k ) ; ( 3)求函数 f ( k ) 的最小值及取得最小值时向量 a 与向量 b 的夹角 ? .

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-2-

3、已知平面向量 a =( 3 ,-1) , b =(

3 1 , ) , 2 2

(1)证明: a ? b ; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x = a +(t -3) b , y =-k a +t b ,且 x ? y ,
2

?

试求函数关系式 k=f(t) ; (3)据(2)的结论,确定函数 k=f(t)的单调区间。

4、已知 M (0,?2) ,点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 正半轴上,点 P 在直线 AB 上,

且满足 AP ? PB, MA ? AP ? 0 (1)当 A 在 x 轴上移动时,求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过 (?2,0) 的直线 l 交轨迹 C 于 E,F,又过 E,F 作轨迹 C 的切线 l1 , l 2 ,当 l1 ? l 2 时求 直线 l 的方程

【巩固迁移】 1、已知向量 a ? (?2, 2), b ? (5, k ) ,若 a ? b 不超过 5,

?

?

? ?

-3-

则 k 的取值范围是 __________ __________ ___ 。 2、已知 a与b 的夹角为 120 , a ? 3 , a ? b ? 13 ,则 b ? ________ 。
0

? ?

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3、与向量 a = ? , ?, b ? ? , ? 的夹 角相等,且模为 1 的向量是 ____

?7 1? ?2 2?

?1 7? ?2 2?

4、已知 a ? (1,2),b ? (?1, m) ,若 a 和 b 的夹角为钝角,则实数 m 的范围是 _______ 5、已知 b ? 4, a ? b ? ?24 ,则 a 在 b 方向上的投影为______________

6、已知向量 a ? ? cos

? ?

3x 3x ? x x? ? ? ?? , sin ?, b ? ? cos ,? sin ?, 且 x ? ?0, ? 2 2? 2 2? ? ? 2?
(2)若 f ?x ? ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值是 ?

(1)求: a ? b 及 a ? b ;

3 ,求λ 的值。 2

【反思总结】

-4-


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