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11-12(2)概率统计D(答案)


东莞理工学院(本科)试卷(D 卷)
2011 --2012 学年第二学期

《概率论与数理统计》试卷(答案)
开课单位:计算机学院数学教研室 ,考试形式:闭卷,允许带 计算器 入场 题序 得分 评卷人 注意:以下是本次考试可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值:
z 0 .0 5 z 0 . 025 t 0 .0 2 5 (

1 5 ) t 0 .0 5 (1 5 ) t 0 . 025 ( 24 ) t 0 . 05 ( 24 )
? (2)
? ( 0 .8 )







总 分

? (1)

1.645

1.96

2.1315

1.7531

2.0639

1.7109

0.9772
得分

0.7881

0.8413

一、选择填空题(共 70 分

每空 2 分)

1、设A、B为两个事件,P(A)=0.5,P(A-B)=0.2,则P( A ? B )为( C ) (A)0.2 (B)0.3 (C)0.7 (D)0.8

2、A、B 是两个随机事件,P( A ) = 0.3,P( B ) = 0.4,且 A 与 B 互不相容,则 P ( A ? B ) 等于( D ) (A) 0 (B) 0 . 42 (C) 0 . 88 (D) 1

3、已知 P(A)=0.5,P(B)=0.6,且 A 与 B 相互独立,则 P ( A ? B ) 等于( C ) (A)0.6 (B)0.7 (C)0.8 (D)0.9

4、事件 A 、 B 相互独立, P ( A ) =0.3, P ( B A ) =0.6,则 P ( A ) + P ( B ) 等于( C ) (A)0.5 (B)0.3 (C)0.9 (D)1

5、设A、B为两个事件,则 A ? B 表示( D ) (A)“A发生且B不发生” (C)“A、B都发生” (B)“A、B都不发生” (D)“A不发生或者B发生”

6、 某事件发生的概率为 10,如果试验 10 次,则该事件(D ) (A)一定会发生 1 次 (C) 至少会发生 1 次 ( B) 一定会发生 10 次 (D)发生的次数是不确定的
i ?1

7、已知离散型随机变量X概率函数为 P ( X ? i ) ? p

, i ? 0 , 1 ,则 p 的值为( A ) 第1页 共7页

《概率论与数理统计》试卷

(A)(-1+ 5 )/2

( B)(1+ 5 )/2

( C)(-l± 5 )/2 ( D) 1/2

8、某大学统计系 06 级 3 班共有 60 名同学。至少有 2 名同学生日相同的概率为( D ) (一年按 365 天计算)
60!

P3 6 5

60

(A) 3 6 5

60

(B) 3 6 5

60

( C)

P365 365 !

60

1?

P3 6 5 365
60

60

( D)

9、 红星游乐园入口处的每辆汽车的载客人数服从 ? ? 2 的泊松分布,今任意观察一辆到
?2 2

达公园门口的汽车,车中无乘客的概率为(A) (A) e

(B) 2 (C) e

( D)

e

?2

2!

10、某食品超市的牛奶销售量服从正态分布,每天平均销售 200 公斤,标准差为 20 公斤。 如果老板希望牛奶供不应求的概率不超过 0.025,则该超市购进的牛奶量至少为 ( Z 0 . 025 ? 1 . 96 ) C )公斤 (A) 200 ( (B) 220
2

( C) 239.2

(D) 240.2
? XY ? ? 2 / 6

11、已知 E(X) = 1,D(X) = 2,E(Y) = 3,E( Y )= 10,X 和 Y 的相关系数 则 D(2X+Y) =( B ) 。 (A)
19 3

.

(B)

23 3

(C)

29 3

(D)

31 3

12、设随机向量(X,Y)具有联合密度函数
? ke ? f ( x, y ) ? ?0,
?(2 x? y)

,

x ? 0, y ? 0, 其它.

,则密度函数中的常数 k = ( A ) 。 (C) 4 (D) 5

(A) 2

(B) 3

13、设随机变量 X,Y 的概率密度分别为:
? 2 x, ? ( x) ? ?0, 0 ? x ? 1, 其它

fX



?3 y , ? fY ( y) ? ?0 ,
2

0 ? y ? 1, 其它

且 X 和 Y 相互独立.则概率 P (Y ? X ? 0 ) 等于( B ) 。 (A) 0.2 (B) 0.4 (C)0.6 (D) 0.8

14、袋中有 6 只白球,4 只红球,从中抽取两只,如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不 同的概率为( A ) (A)
8 15

(B)

4 15
2

(C)

12 25

(D)

6 25

15、 随机变量 X 的均值 EX=4,方差 DX=4,则 EX (A) 8 (B) 16

=( C ) (D) 32

(C) 20

16、 X 和 Y 为两个随机变量, 设 D(X)=10, D(Y)=1, 与 Y 的协方差为-3, D(2X-Y)为 D ) X 则 ( 《概率论与数理统计》试卷 第2页 共7页

(A)18

(B)24 (C)38
2

(D)53

17、设 X 服从一般正态分布 N ( ? , ? ) 随着σ 的增大,概率 P(|X-μ |>σ )将会( C ) (A)单调增加 (B)单调减少(C)保持不变 (D)增减不定 18、在简单随机抽样中,如果将样本容量增加 9 倍,则样本均值抽样分布的标准误差将变 为原来的( B ) (A)1/9 倍 (B)1/3 倍 (C)3 倍 (D)9 倍

19、某销售商声称其销售的某种商品次品率 P 低于 l%,则质检机构对其进行检验时设立 的原假设为( B ) (A)H0:P<0.01(B)H0:P≤0.01 (C)H0:P=0.01(D)H0:P≥0.01 20、在假设检验中,记 Ho 为待检假设,则犯第二类错误指的是( B ) (A)H0 成立,经检验接受 H0 (C)H0 成立,经检验拒绝 Ho


(B)H0 不成立,经检验接受 H0 (D)H0 不成立,经检验拒绝 H0 B )



21、总体比例 P 的 90%置信区间的意义是(

(A)这个区间平均含总体 90%的值 (B)这个区间有 90%的机会含 P 的真值 (C)这个区间平均含样本 90%的值 (D)这个区间有 90%的机会含样本比例值 22、在样本量和抽样方式不变的情况下,若提高置信度,则( B ) (A) 置信区间的宽度会缩小 (B) 置信区间的宽度会增大

(C) 置信区间的宽度可能缩小也可能增大 (D) 不会影响置信区间的宽度 23、 在对同一个总体的参数进行检验时, 若在 ? =0.01 显著性水平下拒绝原假设 H0,则在 ? 等于 0.05 的显著性不平下( A ) (A)肯定拒绝 H0 (C)可能拒绝 H0 也可能接受 H0


(B)肯定接受 H0

(D)有时拒绝 H0 有时接受 H0

24、某食品厂质量控制部门对咖啡的包装重量进行检测,经验知重量 X 服从正态分布
2 N ( ? , ? ) ,现从流水生产线上随机取出 16 盒,测得平均重量 x ? 5 0 0 克,标准差 s=20

克,则 ? 的 95%置信区间是( B ) (A) (C)

(5 0 0 ? 5 t 0 .0 2 5 )

(B) (D)

(5 0 0 ? 5 t 0 .0 2 5 (1 5)) (5 0 0 ? 5 t 0 .0 2 5 (1 7 ))

(5 0 0 ? 5 t 0 .0 2 5 (1 6 ))

25、某工厂在生产过程的产品检验假设 H0:产品是合格的,显著性水平为 5%,工厂经理问什 么是显著水平,正确的说法是( A ) (A)如果产品是合格的,有 5%的概率检验为不合格 (B)如果产品是不合格的,有 5%的概率检验为合格 (C)在该项检验中有 95%的检验结论是正确的,错误结论的可能性为 5% (D)假设这批产品有 95%是合格的,不合格的概率为 5% 26、在参数估计中,要求通过样本的统计量来估计总体参数,评价统计量的标准之一是和 它与总体参数的平均离差越小越好。这种评价标准称( B ) (A)无偏性 (B)有效性 (C)一致性 (D)充分性 第3页 共7页

《概率论与数理统计》试卷

27、指数分布又称为寿命分布,经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命(单位: 小时) 的密度函数为 f ( x ) ? ?
? ? 0 . 002 e ? 0 . 002 t , t ? 0 0 , 其它

则这种电器的平均寿命为 A ) ( 小时.

(A) 500

(B) 5000

(C) 250000
? kx , 0 ? x ? 2 ? 0, 其它

(D) 25000000 ,则 P ( ? 1 ? X ? 1) =(C )
1 8

28、设随机变量 X 具有概率密度 f ( x ) ? ?
1 2 1 3 1 4

(A)

(B)

(C)

(D)

29、设 X ~ N(20,16) ~ N(10,9) ,Y ,且 X 与 Y 相互独立,则 P(X–Y>20)等于( B ) (A) 9 7 .7 2 % (B) 2 .2 8 % (C) 8 4 .1 3 %
2

(D) 1 5 .8 7 %

30、已知 E(X) = 1,D(X) = 2,E(Y) = 3,E( Y )= 10,X 和 Y 相互独立, 则 D(X+2Y+1) =( C ) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

31、设 X1,X2,X3 是来自总体 X 的简单随机样本,则下列统计量

T1 ?

1 2

X1 ?

1 4

X2 ?

1 4

X 3 , T2 ?

1 3

( X 1 ? X 2 ? X 3 ), T 3 ?

1 2

X1 ?

1 3

X

2

?

1 4

X3

中属于无偏估计的统计量中最有效的一个为( B ) 。 (A) T 1 (B) T 2 (C) T 3 (D) T1 , T 2

32、 设总体 X 在区间 ( 0 , ? ) 上服从均匀分布,参数 ? 末知, X 1 , X 2 , ? , X n 是来自总体 X 的样本,则 ? 的矩估计量为 ( B ) 。

? (A) ? ? X

? (B) ? ? 2 X

? (C) ? ? 3 X
2 2

? (D) ? ? 4 X

Y 33、 已知随机变量 X 与 Y 相互独立, X ~ ? ( 2 0 ) , ~ ? ( 4 0 ) ,则 2 X / Y 服从分布 且 (B)

(A) 34、设

? (6 0 )
2
20

(B) 及

F ( 2 0, 4 0 )

(C)

F (1 9, 3 9 )

(D)

? (8 0 )
2

X 1 ,..., X

Y 1 ,..., Y 30

分别是总体 N ( 20 ,10 ) 的容量为 20 和 30 的两个独立样本,
4 30 ) =( A ) 。

这两组样本的样本均值分别记为 X , Y 则 P ( X ? Y ?

(A) 78 . 81 %

(B) 57 . 62 % (C) 84 . 13 %

(D) 15 . 87 %

《概率论与数理统计》试卷

第4页 共7页

? (X
i ?1

20

i

? X)

2

35、在第 34 小题中, (A)

10
2

服从分布( A ) 。 (C)

? (1 9 )
2

(B)

? (20)

t (1 9 )
得分

(D)

t (20)

二、计算题(每题 6 分,共 24 分)

1、盛源石油公司的桶装石油其得量重服从正态分布,规定每桶重量是 250 公斤,标准差为 2 公斤,有的消费者由于重量不足 250 公斤而来投诉,公司解释这是由于随机原因引起 的,因为有的桶装石油重量超过 250 公斤。 (1)消费者购买一桶其重量不到 248 公斤的概率有多大? (2)若一次购买 4 桶,其平均重量不到 24~8 公斤的概率有多大? 解: (1)设一桶石油的重量为 X ,则 X ~ N ( 250 , 2 )
P ( X ? 248 ) = F ( 248 ) = ? (
2

248 ? 250 2

) ? ? ( ? 1) ? 1 ? ? (1) ? 1 ? 0 . 8413 ? 0 . 1587

(2)设四桶石油的平均重量为 X ,则 X ~ N ( 250 , 1)
P ( X ? 248 ) = F ( 248 ) = ? (
248 ? 250 1 ) ? ? ( ? 2 ) ? 1 ? ? ( 2 ) ? 1 ? 0 . 9772 ? 0 . 0228

2、二维随机变量(X,Y)的概率密度为
? Ae f ( x, y ) ? ? ?
?(2 x?3 y)

,

x ? 0, y ? 0 其他

0,

求: (1)系数 A; (2)X,Y 的边缘密度函数; (3)问 X,Y 是否独立。 解: (1) ? =
1 6
?? ??

?

??

??

f ( x , y )dxdy ?

?
??

??

dx

0

?

??

Ae

?(2 x?3 y)

dy = A

0

?

??

e

?2x

dx

0

?

??

e

?3 y

dy

0

A

?

??

e

?2x

0

d (?2 x)?

e

?3 y

d (?3 y ) =

1 6

A (e ?2 x

? ? 0

) (e

?3 y

? ? ) 0

0



1 6

A =1

? A ? 6

(2)当 x ? 0 时, X 的边缘密度函数 f X ( x ) = ? = 6e
?2x

??

??

f ( x , y )dy = ?

??

6e

?2 x

e

?3 y

dy

0

?

??

e

?3 y

dy = 2 e

?2 x

0

,当 x ? 0 时, f X ( x ) ? 0

? 2 e ?2 x , x ? 0 ? f X (x) ? ? x ? 0 ? 0,

当 y ? 0 时, Y 的边缘密度函数 f Y ( y ) = ?

??

??

f ( x , y )dx = ?

??

6e

?2x

e

?3 y

dx

0

《概率论与数理统计》试卷

第5页 共7页

= 6e

?3 y

?

??

e

?2x

dx = 3 e

? 3 yx

0

,当 y ? 0 时, f Y ( y ) ? 0

?3e ?3 y , y ? 0 ? fY ( y) ? ? y ? 0 ? 0,

(3)? f X ( x ) f Y ( y ) = f ( x , y )

? X , Y 独立。

3、 从某饮料生产商生产的某种瓶装饮料中随机抽取 100 瓶, 测得其营养成分 A 含量的平均 值为 6.5 克,样本标准差为 1.0 克。求该瓶装饮料中营养成分 A 含量的均值 ? 的置信水 平为 95%的置信区间。 解:样本容量 n ? 100 ,为大样本,? ? ? S ? 1 . 0 , 1 ? ? ? 95 %, ? ? 0 . 05
?
n 1 100

总体均值 ? 的置信水平为 95%的置信区间为 ( X ?

Z 0 . 025 )

即 ( 6 .5 ?

? 1 . 96 ) ,即 ( 6 . 5 ? 0 . 196 ) ,即 ( 6 . 304 , 6 . 696 )

4、设 X 服从 ( 0 , ? ) 上的均匀分布, ? 为未知参数,求 ? 的矩估计量和最大似然估计量 解: (1) EX ?
?
2

,令 EX ? X

?

?
2

? X

? ? ? 2X

? ? 的矩估计量 ??1 ? 2 X
?1 ? , (2) X 的概率密度 f ( x ) ? ? ? ? 0, ?
? 似然函数 L =

? ? (0,? )
其它

1

?

n

( x 1 , x 2 , ? , x n ? ( 0 , ? ))

欲使 L 最大,则 ? 应取最小值。故取 ? ? max{ x1 , x 2 , ? , x n }
? ? 的最大似然估计量 ?? 2 ? max{ X 1 , X 2 , ? , X n }

《概率论与数理统计》试卷

第6页 共7页

三、应用题(共 6 分)

得分

某房地产开发公司经常需要购进灯泡,原供货商提供的灯泡平均使用寿命为 1500 小 时。现有一个新的供货商愿意提供同类灯泡,价格也很相近,并声称他们的灯泡平均使用 寿命要显著高于 1500 小时, 这对该公司具有一定的吸引力, 如果灯泡平均使用寿命显著大 于 1500 小时,公司则准备购进新供货商的灯泡。为此,该公司管理人员对该供货商提供的 64 个灯泡样品进行了检测,测得灯泡的平均寿命为 1565 小时,标准差为 195 小时,显著 性水平α =0.05,判断新供货商所提供灯泡的平均使用寿命是否显著大于 1500 小时?

解: n ? 64 ,是大样本,应使用 Z 检验。 ? ? S
H 0 : ? ? 1500 , H 1 : ? ? 1500

显著水平 ? ? 0 . 05 ,拒绝域: Z ? 1 . 645 计算统计量 Z ?
x ? ?0

?
n

?

1565 ? 1500 195 64

? 2 . 67 ,落在拒绝域

? 拒绝 H 0 ,接受 H 1 ? 新供货商所提供灯泡的平均使用寿命是显著大于 1500 小时。

《概率论与数理统计》试卷

第7页 共7页


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