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立体几何中的空间距离问题


阳春市实验中学 陈育学

一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的① 线段 的长度. 2. 点到直线的距离:从直线外一点向直线引 垂线,② 点到垂足间线段 的长度. 3. 点 到 平面的距离 :自点 向平面引垂线 , ③ 点到垂足间线段 的长度. 4.平行直线间的距离:从两条平行线中的一 点 条上任意取一点向另一条直线引垂线,④___ 到垂足间线段 的长度

.

5. 异面直线间的距离 : 两条异面直线的 线段 公垂线夹在这两条异面直线间的⑤ 的 长度. 6. 直线与平面间的距离 : 如果一条直线 和一个平面平行 , 从这条直线上任意一点向 这点到垂足间线段 的长度. 平面引垂线,⑥

7.两平行平面间的距离:夹在两平行平 面之间的⑦ 公垂线段 的长度.

二、求距离的一般方法
1. 两点间距离、点到直线的距离和两 平行线间的距离其实是平面几何中的问题, 可用平面几何方法求解. 2. 直线与平面间的距离、平行平面间 的距离可归结为求⑧ 点面间 的距离.

一 异面直线的距离
与异面直线都垂直且相交的直线有且只有 一条,它叫两异面直线的公垂线.两条异面 直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段 的长度是两条异面直线的距离.
D’ A’ D A B B’ C C’

如图所示:线段 AB __为异面直线AA’ 与BC的距离。

练习1
在 直 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 , AA1=2 , AB=BC=1,∠ABC=90°.点D是BB1中点, 则异面直线DA1与B1C1的距离是
2 2 ________.



点面距离的求法

例 :如图 8-7-4,S 是△ABC 所在平面外一点,AB=BC

=2a,∠ABC=120°,且 SA⊥平面 ABC,SA=3a,求点 A 到
平面 SBC 的距离.

图 8-7-4

解:方法一:如图8-7-5,作AD⊥BC 交BC 延长线于点D, 连接 SD. ∵SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC. 又 SA∩AD=A,∴BC⊥平面 SAD.

又 BC?平面 SBC,
图 8-7-5

∴平面 SBC⊥平面 SAD,且平面 SBC∩平面 SAD=SD.
过点 A 作 AH⊥SD 于 H,由平面与平面垂直的性质定理,

可知:AH⊥平面 SBC.于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离.

在 Rt△SAD 中,SA=3a,AD=AB×sin60° = 3a, SA×AD 3a× 3a 3 ∴AH= 2 2= 2 2=2a, SA +AD ?3a? +? 3a? 3 即点 A 到平面 SBC 的距离为2a.

方法二:设 A 到平面 SBC 的距离为 h,∵VSABC=VASBC, 1 1 ∴3×SA×S△ABC=3×h×S△SBC,其中 SA=3a. 在△ABC 中, AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos∠ABC = 4a +4a -2×4a
2 2 2

? 1? ×?-2?=2 ? ?

3a,

1 1 3 S△ABC=2AB· BC· sin∠ABC=2×2a×2a× 2 = 3a2. 在△SBC 中,SB= SA2+AB2= 13a,BC=2a,SC=
2 2 2 13 a + 4 a - 21 a 1 2 2 SA +AC = 21a.cos∠SBC= =- , 2× 13a×2a 13

∴sin∠SBC=

1 2 39 1-13= 13 .

1 ∴S△SBC=2×SB×BC×sin∠SBC 1 2 39 =2× 13a×2a× 13 =2
于是 h=

3a2,

3a· 3a2 3 = 2 = a. 2 3a 2

方法三:如图8-7-6,以A 为坐标原点,以AC,AS 所在直
线为y 轴,z 轴,以过 A 点且垂直于yOz 平面的直线为x 轴建 立空间直角坐标系.

图8-7-6

∵在△ABC 中,AB=BC=2a,∠ABC=120°,

∴AC= AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=2 于是 A(0,0,0),B(a, 3a,0),C(0,2

3a.

3a,0),S(0,0,3a).

设平面 SBC 的一个法向量 n=(x,y,z). → ,n⊥SC → 及SB → =(a, 3a,-3a), 由 n⊥SB → =(0,2 SC 3a,-3a),

→ =a· ? SB x+ 3a· y-3a· z=0, ?n· 可得? → =0+2 3a· ? SC y-3a· z=0, ?n·

? ?x+ 即? ? ?2

3y-3z=0, 不妨取 n=(3, 3,2). 3y-3z=0.

设点 A 到平面 SBC 的距离为 d, →· |AS n| |0+0+6a| 3 则 d= |n| = =2a. 9+3+4

点评 线面距离、面面距离通常情况下
化归为点面距离求解,求空间点面距离, 若利用传统构造法,关键是“找射影”, 一般是应用垂面法求射影,或等积法间 接求 . 若利用向量法,建系和求平面法向 量是关键.

练习2
如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , AD∥BC , ∠ABC= ? ,AB=BC= 1 AD=1,PA⊥平面ABCD, 且PA=1,点F在AD上,且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离; (2)求AD与平面PBC间的距离.
2 3

PAC⊥ 平面 PCF ,找到点 A 在平面 PCF 上的射影 H 位于PC上,然后解三角形求AH的长. (2)由于AD∥平面PBC,可考虑依据问 题情境在AD上选择具备特殊位置的点A, 然后推理过 A 点的平面 PAD⊥ 平面 PBC , 找到过点A的垂线.

分析( 1 )通过论证平面

(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD,所 以PA⊥CF. 又CF⊥PC,PA∩PC=P, 所以CF⊥平面PAC, 所以平面PFC⊥平面PAC. 过点A作AH⊥PC于H,所以PH⊥平面PCF, 即AH为点A到平面PCF的距离. 由已知AB=BC=1,所以AC= 2 ,PC= 3 . 6 在Rt△PAC中,得AH= .
3

(2)因为BC∥AD,BC?平面PBC,

所以AD∥平面PBC.
过A作AE⊥PB于E,

又AE⊥BC,PB∩BC=B,
所以AE⊥平面PBC,

所以AE的长度即为所求的距离.
在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=1, 所以AE=
2 2

.

方法提炼
1.对于空间中的距离,我们主要研究点 到平面的距离、直线和平面的距离及两个 平行平面之间的距离,其重点是点到平面 的距离.点到平面的距离要注意其作法,一 般要利用面面垂直的性质来做 .求点到平面 的距离也可以用等体积法. 2.求距离传统的方法和步骤是“一作、 二证、三计算”,即先作出表示距离的线 段,再证明它是所求的距离,然后再计算 . 其中第二步证明易被忽略,应当引起重视.

3. 在求距离时,要注意各种距离的 转化;在选择求距离的方法时,也要灵 活.一般来说,空间关系在不太复杂的情 况下使用传统方法,而在距离不好作、 空间关系较复杂的条件下可用等积法.

小结
? 1.异面直线的距离 ? 2.点面、线面、面面距离的求法

? 作业:完成《南方新课堂 习题集》

【高考真题再现

2015课标2 19题】

如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB = 16,BC = 10, AA1 = 8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E = D1F = 4, 过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正 方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF与平面α所成的角的正弦值。
D1 F C1

A1

E B1 D C

A

B


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