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高中数学人教版选修2-2教学设计:1.4《生活中的优化问题(一)》教案


1.4 生活中的优化问题(一)
教学目标:掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题(一般指单峰函数) 的最大值和最小值.-------面积、容积最大(最小)问题 教学重点:利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤 教学难点:对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程: 例 1 在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一 个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少? 解:设箱底边长为 xcm,则箱高 h ?
2 3

60 ? x , 2
60

箱子容积 V ( x ) ? x 2 h ?

60x ? x (0<x<60). 2
60

V ' ( x ) ? 60x ?

3 2 3 x 令V ' ( x ) ? 60x ? x 2 ? 0, 2 2
x ? 40, 并求得 V (40) ? 16 000.

解得 x ? 0 (不合题意,舍去)

由题意知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是最大值. 答:当 x=40 cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm3. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f '(x)=0 的情形,若函数在这点 有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或者无穷区间. 求最大(最小)值应用题的一般方法: ⑴ 分析问题中各量之间的关系,把实际问题化为数学问题,建立函数关系式; ⑵ 确定函数的定义域,并求出极值点; ⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小, 结合实际,确定最值或最值点. 练习 1.把长为 60 cm 的铁丝围成矩形,长、宽、高各为多少时,面积最大? 2. 把长为 100 cm 的铁丝分成两段, 各围成正方形, 怎样分法, 能使两个正方形面积之和最小? 变为:围成一个正方形与一个圆,怎样分法,能使面积之和最小? 练习 2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方形容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比 另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 例 2.教材 P34 面的例 1。 课后作业 1. 阅读教科书 P.34 2. 《习案》作业十一

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