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2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教A版配套作业 第2章 探究课1 基本初等函数与函数应用中的热点题型


(建议用时:45 分钟) 一、选择题 1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A.y=lg 1-x 1+x 1 B.y=x+ x 1 D.y= x ( )

C.y=tan x 解析 答案

对于选项 B,C,D,函数在定义域内是奇函数,但不是减函数. A ( B.(0,2) D.(-∞,2] )

1 2

.函数 f(x)=lg x+ 2-x的定义域为 A.(0,2] C.(0,1)∪(1,2] 解析 答案

?lg x≠0, 由题意知? 又 x>0,解得 0<x≤2 且 x≠1. ?2-x≥0, C

3.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1, 则 f(1)+g(1)= A.-3 C.1 解析 B.-1 D.3 因为 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,所以 f(-1)=f(1), ( )

g(-1)=-g(1).因为 f(x)-g(x)=x3+x2+1,所以 f(-1)-g(-1)=(-1)3+(- 1)2+1=1,即 f(1)+g(1)=1. 答案 C

|ln x|,x>0, ? ? 4.设函数 f(x)=??1?x ? ? ,x<0, ? ??2?

若 f(a)+f(-1)=3,则 a=

(

)

-1-

A.e C.1 解析 ?1? 因为 f(-1)=?2?-1=2, ? ?

1 B. e 1 D.e 或 e

所以 f(a)=3-2=1. 1 当 a>0 时,|ln a|=1,解得 a=e 或 e; ?1? 当 a<0 时,?2?a=1,无解. ? ? 答案 D ( B.logm(1+m)>0
1

5.若 0<m<1,则 A.logm(1+m)>logm(1-m) C.1-m>(1+m)2 解析

)

D.(1-m)3>(1-m)2

1

若 0<m<1,则 f(x)=logmx 在定义域内单调递减,所以 logm(1+m)<
1

logm(1-m),logm(1+m)<logm1=0,选项 A,B 错误;(1+m)2>1>1-m,选 项 C 错误; 0<1-m<1, 所以 f(x)=(1-m)x 在定义域内单调递减, 所以(1-m)3 >(1-m)2,选项 D 正确. 答案 D ( ?1 ? B.?2,+∞? ? ? D.(0,+∞) )
1

?1? 6.函数 f(x)=?2?2x-x2 的值域为 ? ? A.R C.[1,+∞) 解析

?1? 指数函数 y=?2?x 在定义域内单调递减,而 2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 所 ? ?

?1? 2 ?1? 1 ?1? 2 ?1 ? 以 f(x)=?2?2x-x ≥?2?1=2.所以函数 f(x)=?2?2x-x 的值域为?2,+∞?. ? ? ? ? ? ? ? ? 答案 B ( )

2x2 7.函数 f(x)= ex 的图象大致是

-2-

解析

f′(x)=

4xex-2x2ex 4x-2x2 2x?2-x? = = ,令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, ex ex ?ex?2

2x2 所以 f(x)= ex 在(-∞,0],[2,+∞)上单调递减,在[0,2]上单调递增.故选 A. 答案 A ( )

2 ?ln x-x +2x?x>0?, 8.函数 f(x)=? 2 的零点个数为 ?x -2x-3?x≤0?

A.0 C.2 解析

B.1 D.3 (1)当 x≤0 时,f(x)=x2-2x-3,由 f(x)=0,即 x2-2x-3=0,解得 x=

-1 或 x=3.因为 x≤0,所以 x=-1. 此时函数 f(x)只有一个零点.

(2)当 x>0 时,f(x)=ln x-x2+2x,令 f(x)=0,得 ln x=x2-2x,如图,分别作 出函数 y=ln x 与 y=x2-2x(x>0)的图象,由图可知两个函数图象有两个交点, 所以此时函数 f(x)有两个零点.
-3-

综上,函数 f(x)的零点有三个.故选 D. 答案 D

9.偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π), f(-3)的大小关系是 A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 解析 ∵偶函数 f(x)的定义域为 R,在[0,+∞)上单调递增,∴在区间(-∞, ( )

0]上,f(x)是减函数,f(-π)=f(π),∴f(π)>f(-3)>f(-2). 答案 A 1? = 2? ? ( )

? 10.已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f?lg ? A.-1 C.1 解析 B.0 D.2

设 F(x)=f(x)-1=ln( 1+9x2-3x),该函数的定义域为 R.

而 F(-x)=f(-x)-1=ln( 1+9x2+3x), 所 以 F(x) + F( - x) = ln( 1+9x2 - 3x) + ln( 1+9x2 + 3x) = ln[( 1+9x2 - 3x)( 1+9x2+3x)]=ln 1=0,所以函数 F(x)为奇函数. 1 又 lg 2=-lg 2, ? 所以 F(lg 2)+F?lg ? 1? =F(lg 2)+F(-lg 2)=0, 2? ?

? ? 1? ? 即[f(lg 2)-1]+?f?lg 2?-1?=0, ?? ? ? ? 整理,得 f(lg 2)+f?lg ? 答案 D ( ) 1? =2.故选 D. 2? ?

2 1 11.方程x +ln =0 的解为 x0,则 x0 所在的大致区间是 x-1 A.(1,2) C.(3,4) B.(2,3) D.(1,2)与(2,3)
-4-

解析

2 1 2 设 f(x)= x +ln =x-ln(x-1),函数 f(x)的定义域为(1,+∞). x-1

2 当 1<x<2 时,ln(x-1)<0,x>0,所以 f(x)>0,故函数在(1,2)内没有零点.因 2-3ln 2 2 2 为 f(2)=2-ln 1=1>0,f(3)=3-ln 2= ,又 8=2 2≈2.828,所以 8 3 >e, 故 ln e<ln 1 3 2 8, 即 1<2ln 8=2ln 2, 所以 2<3ln 2, 即 f(3)<0.又 f(4)=4-

1 ln 3=2-ln 3<0, 根据零点存在性定理,可知函数 f(x)在(2,3)上必存在一个零点 x0, 2 1 即方程 x+ln =0 的解 x0∈(2,3).故选 B. x-1 答案 B

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)+f(x)=0,且函数 f(x)为奇函数.给出下列 结论: ①函数 f(x)的最小正周期为 4; ②函数 f(x)的图象关于点(0,0)对称; ③函数 f(x)的图象关于 x=2 对称; ④函数 f(x)的最大值为 f(2). 其中一定正确的命题序号是 A.①② C.③④ 解析 B.②③ D.①④ ( )

由 f(x+2)+f(x)=0, 可得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴其最小正周期是 4;

由函数 f(x)为奇函数,可知函数 f(x)的图象关于点(0,0)对称;函数的轴对称性、 最值无法作出判断. 答案 A

二、填空题 13.设函数 f(x)=x2+(a-2)x-1 在区间(-∞,2]上是减函数,则实数 a 的最大值 为________. 解析 a-2 函数 f(x)图象的对称轴 x=- 2 ,

-5-

a-2? ? ? a-2 ? ?上单调递减,在区间?- ?上单调递增, 则函数 f(x)在?-∞,- 2 ? 2 ,+∞? ? ? a-2 所以 2≤- 2 ,解得 a≤-2. 答案 -2

14. 已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数, 且 x>0 时, f(x)=1, 则不等式 f(x2-x)<f(0) 的解集为________. 解析 ∵y=f(x)是 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=1,

∴f(0)=0,当 x<0 时,f(x)=-1. 当 x2-x>0 时,可得 f(x2-x)=1>f(0)=0,不满足条件; 当 x2-x=0 时,可得 f(x2-x)=f(0),不满足条件; 当 x2-x<0,即 0<x<1 时,f(x2-x)=-1<f(0)=0,满足条件.综上,可得 0 <x<1. 答案 (0,1)

15.如图,定义在[-1,+∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组 成,则 f(x)的解析式为________.

解析

当-1≤x≤0 时,设解析式为 y=kx+b,

?-k+b=0, ?k=1, 由图象得? 解得? ∴y=x+1. ?b=1, ?b=1, 当 x>0 时,设解析式为 y=a(x-2)2-1, ∵图象过点(4,0), 1 ∴0=a(4-2)2-1,解得 a=4. 综上,函数 f(x)在[-1,+∞)上的解析式为 x+1,-1≤x≤0, ? ? f(x)=?1 ?x-2?2-1,x>0. ? ?4

-6-

答案

x+1,-1≤x≤0 ? ? f(x)=?1 ?x-2?2-1,x>0 ? ?4

16.已知 a>0 且 a≠1,若函数 f(x)=loga(ax2-x)在[3,4]上是增函数,则 a 的取值 范围是________. 解析 当 a>1 时, 要使 y=ax2-x 在[3,4]上单调递增, 且 y=ax2-x>0 恒成立,

a>1, ? ?1 则?2a≤3, ? ?9a-3>0,

解得 a>1.

当 0<a<1 时,要使 y=ax2-x 在[3,4]上单调递减,且 y=ax2-x>0 恒成立, 0<a<1, ? ?1 则?2a≥4, ? ?16a-4>0,

此时无解.

综上可知,a 的取值范围是(1,+∞). 答案 (1,+∞)

17.已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n 满足 m<n,且 f(m)=f(n),若 f(x)在区间 [m2,n]上的最大值为 2,则 m=________,n=________. 解析 1 由题意得-log2m=log2n,m=n,0<m<1,n>1.

∵函数 f(x)=|log2x|在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数,0< m2<1,n>1,∴f(x)在区间[m2,n]上的最大值在端点处取得,∴|log2m2|=2 或 log2n=2. 1 1 1 当|log2m2|=2 时,m2=4,结合 n=m,解得 n=2,m=2,满足条件; 1? 1 ? 当 log2n=2 时, n=4, 则 m=4, 此时, f(x)在区间[m2, n]上的最大值为?log2 16? ? ? 1 =4,不满足条件.综上,m=2,n=2. 答案 1 2 2

-7-


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