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江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上学期期末考试 数学


淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三第二次调研


一、填空题

学Ⅰ

2016.1

1.已知集合 A ? {0, a} , B ? {0,1,3} ,若 A ? B ? {0,1,2,3} ,则实数 a 的值为 2.已知复数 z 满足 z ? ?4 ,若 z 的虚部大于 0,则 z ?
2





3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在 50 ? 90 km / h 的汽车中抽取 150 辆 进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在 70 km / h 以下的汽车有 4.运行如图所示的伪代码,则输出的结果 S 为
频率 组距

辆.


y A 2

S ?1 I ?1 W h i l eI ? 5 S ?S?2 I ? I ?1 E n d Wh i l e P ri n t S

0.04 0.03 0.02 0.01 50 60 70 80 90
速度(km/h)

O

x

-2

B

5.函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图像如图所示,若 AB ? 5 ,则 ? 的值为



6.若随机安排甲乙丙三人在 3 天节日中值班,每人值班 1 天,则甲与丙都不在第一天的概率的概率 的概率为
2



7.抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线

x2 y 2 ? ? 1 渐近线的距离为 16 9



8.已知矩形 ABCD 的边 AB ? 4 , BC ? 3 若沿对角线 AC 折叠,使得平面 DAC ? 平面 BAC ,则 三棱柱 D ? ABC 的体积为 .

9.若公比不为 1 的等比数列 {an } 满足 log2 (a1a2 ?a13 ) ? 13,等差数列 {bn } 满足 b7 ? a7 ,则

b1 ? b2 ? ? ? b13 的值为



10.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 ( x ? 2) ? (a ? 1) x ? b( a ,b 为常数) , 若 f (2) ? ?1 ,则 f (?6) 的值为 .
·1·

11.已知 | OA |?| OB |? 2 ,且 OA ? OB ? 1 ,若点 C 满足 | OA ? CB |? 1,则 | OC | 的取值范围 是 .

12.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? cos x x ? 0 ? ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? ? 的解集为 ( ?? , ) ,则实数 2 ? x( a ? x) x ? 0


a 的取值范围是

13.已知 A(0,1) , B(1,0) , C (t ,0) ,点 D 是直线 AC 上的动点,若 AD ? 2 BD 恒成立,则最小正 整数 t 的值为 .

14.设 a, b, c 是正实数,满足 b ? c ? a ,则

b c ? 的最小值为 c a?b



二、解答题
15.在锐角三角形 ABC 中,角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,已知 sin A ? (1)求 tan B ; (2)若 b ? 5 ,求 c .

3 1 , tan( A ? B) ? ? , 5 2

P

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知底面 ABCD 为矩形,

PA ? 平面 PDC ,点 E 为棱 PD 的中点,
求证: (1) PB // 平面 EAC ; (2)平面 PAD ? 平面 ABCD .
A

E
D C

O

B

17.如图, OA 是南北方向的一条公路, OB 是北偏东 45 方向的一条公路,某风景区的一段边界为 曲线 C .为方便游客光,拟过曲线 C 上的某点分别修建与公路 OA , OB 垂直的两条道路 PM , PN , 且 PM , PN 的造价分别为 5 万元/百米, 40 万元/百米,建立如图所示的直角坐标系 xoy ,则曲线符

0

合函数 y ? x ?

4 2 (1 ? x ? 9) 模型,设 PM ? x ,修建两条道路 x2

y A M P N O x B

PM , PN 的总造价为 f ( x) 万元,题中所涉及的长度单位均为百米.
·2·

(1)求 f ( x) 解析式; (2)当 x 为多少时,总造价 f ( x) 最低?并求出最低造价.

18.已知各项均为正数的数列 {an } 的首项 a1 ? 1 , Sn 是数列 {an } 的前项和,且满足:

an Sn ?1 ? an ?1Sn ? an ? an ?1 ? ?anan ?1 (? ? 0.n ? N * ) .
(1)若 a1 , a2 , a3 成等比数列,求实数 ? 的值; (2)若 ? ?

1 ,求 Sn . 2

19. 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,左顶 2 2 a b

点为 A(?4,0) ,过点 A 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 D ,交 y 轴于点 E . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q ,对于任意的

y E D P A O M x

k (k ? 0) 都有 OP ? EQ ,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存
在说明理由; (3)若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M ,求

AD ? AE 的最小值. OM

20.已知函数 f ( x) ? e [ x ? 2 x ? (a ? 4) x ? 2a ? 4] ,其中 a ? R , e 为自然对数的底数
x 3 2

1 3

(1)若函数 f ( x) 的图像在 x ? 0 处的切线与直线 x ? y ? 0 垂直,求 a 的值.

·3·

(2)关于 x 的不等式 f ( x) ? ? e 在 (??,2) 上恒成立,求 a 的取值范围.
x

4 3

(3)讨论 f ( x) 极值点的个数.

附加题部分
21. 【选做题】 A.[选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图, ?PAQ 是直角,圆 O 与射线 AP 相切于点 T ,与射线 AQ 相交于两点

B, C .求证: BT 平分 ?OBA .

B.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

?1 ? ?1

2? ,求矩阵 A 的特征值和特征向量. 4? ?

C.[选修 4—4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 8? sin(? ? ) ? 13 ? 0 ,已知 A(1,

?

3

3? 3? ), B(3, ) , P 为圆 C 2 2

上一点,求 ?PAB 面积的最小值.

D.[选修 4—5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设 x, y 均为正数,且 x ? y ,求证: 2 x ?

1 ? 2y ? 3 . x 2 ? 2 xy ? y 2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区 ...... 域 内作答,解答时应写 . 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面 ?ABC 是直角三角形,
·4·

AB ? AC ? 1 ,点 P 是棱 BB1 上一点,满足 BP ? ? BB1 (0 ? ? ? 1) .

??? ?

????

(1)若 ? ?

1 ,求直线 PC 与平面 A1 BC 所成角的正弦值; 3 2 ,求 ? 的值. 3

(2)若二面角 P ? A1C ? B 的正弦值为

23.(本小题满分 10 分) 已知数列 {an } 满足 an ? 3n ? 2, f (n) ?

1 1 1 ? ? ? ? , g (n) ? f (n 2 ) ? f (n ? 1) , n ? N * . a1 a2 an

(1)求证: g (2) ? ;(2)求证:当 n ? 3 时, g (n) ? .

1 3

1 3

数学 I 参考答案及评分标准
一、填空题 1. 2; 7. 2. 2i ; 8. 3.75; 9.26; 13.4; 4.9; 10. 4; 14. 5.

? ; 3

6. ;

1 3

3 ; 5

24 ; 5

11. [ 6 - 1, 6+1] ;

12. ?2 ? , +? ; 二、解答题

?

?

1 2? . 2

15. (1)在锐角三角形 ABC 中,由 sin A ? 所以 tan A ?

4 3 ,得 cos A ? 1 ? sin 2 A ? , …………2 分 5 5

sin A 3 ? .……………………………………………………………4 分 cos A 4 tan A ? tan B 1 由 tan( A ? B) ? ………………7 分 ? ? ,得 tan B ? 2 . 1 ? tan A ? tan B 2 2 5 5 (2)在锐角三角形 ABC 中,由 tan B ? 2 ,得 sin B ? , cos B ? ,……9 分 5 5 11 5 所以 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ,…………………11 分 25 b c b sin C 11 由正弦定理 ,得 c ? ………………14 分 ? ? . sin B sin C sin B 2
16.(1) 连接 BD 与 AC 相交于点 O,连结 OE.………2 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 中点.
·5· A P

E
D C

O

B

因为 E 为棱 PD 中点,所以 PB∥OE.………4 分 因为 PB ? 平面 EAC,OE? 平面 EAC, 所以直线 PB∥平面 EAC.……………………6 分 (2) 因为 PA⊥平面 PDC,CD? 平面 PDC,所以 PA⊥CD. …………………8 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AD⊥CD.…………………………………10 分 因为 PA∩AD=A,PA,AD? 平面 PAD,所以 CD⊥平面 PAD.…………12 分 因为 CD? 平面 ABCD,所以 平面 PAD⊥平面 ABCD. 17. (1)在如图所示的直角坐标系中,因为曲线 C 的方程为 y =x + 所以点 P 坐标为 ? x, x ? …………………14 分

4 2 ?1 ≤ x ≤ 9 ? , PM ? x x2

? ? ?

4 2? ?, x2 ? ?

直线 OB 的方程为 x ? y ? 0 , ……………………………………………………2 分

? 4 2? 4 2 x ??x ? 2 ? x x2 4 ? ? 则点 P 到直线 x ? y ? 0 的距离为 ? ? 2 ,………………4 分 x 2 2
又 PM 的造价为 5 万元/百米,PN 的造价为 40 万元/百米. 则两条道路总造价为 f ( x) ? 5 x ? 40 ?

4 32 ? ? ? 5 ? x ? 2 ? ?1 ≤ x ≤ 9 ? . …………8 分 2 x x ? ?

(2) 因为 f ( x) ? 5 x ? 40 ?

4 32 ? ? ? 5? x ? 2 ? , 2 x x ? ?
………………………10 分

3 ? 64 ? 5( x ? 64) 所以 f ?( x)=5 ?1 ? 3 ? ? , x ? x3 ?

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 ,列表如下:

x
f ?( x)
f ( x)

( 1, 4 )

4
0

( 4,9 )

?
单调递增

单调递减

极小值

32 ? ? 所以当 x ? 4 时,函数 f ( x) 有最小值,最小值为 f ? 4 ? ? 5 ? 4 ? 2 ? ? 30 .……13 分 4 ? ?
·6·

32 ? ? 答: (1)两条道路 PM ,PN 总造价 f ( x) 为 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ?1≤ x ≤ 9 ? ; x ? ?
(2)当 x ? 4 时,总造价最低,最低造价为 30 万元. ……………………14 分

32 ? ? ? x x 32 ? (注:利用三次均值不等式 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ? 5 ? ? ? 2 ? ≥ 5 ? 3 3 8 ? 30 , x ? ? ?2 2 x ?

x x 32 ) ? ? ,即 x ? 4 时等号成立,照样给分. 2 2 x2 2 18.(1)令 n ? 1 ,得 a2 ? . 1+ ?
当且仅当 令 n ? 2 ,得 a2 S3 ? a3 S2 + a2 ? a3 ? ? a2 a3 ,所以 a3 ?
2

2? + 4 .…………2 分 ? ? + 1?? 2? + 1?

2? + 4 ? 2 ? 2 由 a2 ,因为 ? ? 0 ,所以 ? ? 1 .………4 分 ? a1a3 ,得 ? ? ? ? 1 + ? ? ? ? + 1?? 2? + 1?
(2)当 ? ? 所以

1 1 时, an Sn?1 ? an?1Sn + an ? an?1 ? an an?1 , 2 2

Sn ?1 Sn S + 1 Sn + 1 1 1 1 1 ? + ? ? ,即 n ?1 ? ? ,………………………6 分 an ?1 an ?1 an ?1 an 2 an ?1 an 2

? S + 1? 1 所以数列 ? n ? 是以 2 为首项,公差为 的等差数列, 2 ? an ?
所以

Sn + 1 1 ? 2 + ? n ? 1? ? , ……………………………………………………8 分 an 2

?n 3? 即 S n + 1 ? ? + ? an ,① ? 2 2? ?n 3? 当 n ≥ 2 时, Sn ?1 + 1 ? ? + ? an ?1 ,② ? 2 2?

n+3 n+2 an ? an?1 ,……………………………………………10 分 2 2 a a 即 ? n + 1? an ? ? n + 2? an?1 ,所以 n ? n?1 ? n ≥ 2? , ………………………12 分 n + 2 n +1
①②得, an ?

1 1 ? a ? 所以 ? n ? 是首项为 是常数列,所以 an ? ? n + 2 ? . 3 3 ?n + 2?
·7·

……………………14 分

n 2 ? 5n ?n 3? 代入①得 S n ? ? + ? an ? 1 ? . 6 ?2 2?
0) ,所以 a ? 4 ,又 e ? 19. (1)因为左顶点为 A(?4,
又因为 b2 ? a 2 ? c 2 ? 12 , 所以椭圆 C 的标准方程为

……………………16 分

1 ,所以 c ? 2 .…………………2 分 2
………………………………………4 分

x2 y2 ? ? 1. 16 12

? x2 y 2 x 2 [ k ( x ? 4)]2 ?1 , ? ? ? ? 1. (2)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,由 ?16 12 消元得, 16 12 ? y ? k ( x ? 4), ?
化简得, ( x ? 4)[(4k 2 ? 3) x ? 16k 2 ? 12)] ? 0 ,

?16k 2 ? 12 . ……………………………………………………6 分 4k 2 ? 3 ?16k 2 ? 12 ?16k 2 ? 12 24k y ? k ( ? 4) ? 2 当x? 时, , 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?16k 2 ? 12 24k ?16k 2 12k , ) ( , ), 所以 D( . 因为点 为 的中点,所以 的坐标为 P AD P 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 3 则 kOP ? ? (k ? 0) .…………………………………………………………………………8 分 4k
所以 x1 ? ?4 , x2 ? 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,令 x ? 0 ,得 E 点坐标为 (0, 4k ) , 假设存在定点 Q(m, n)(m ? 0) ,使得 OP ? EQ , 则 kOP kEQ ? ?1 ,即 ?

3 n ? 4k ? ? ?1 恒成立, 4k m

?4m ? 12 ? 0, ?m ? ?3, 所以 (4m ? 12)k ? 3n ? 0 恒成立,所以 ? 即? ??3n ? 0, ?n ? 0,
因此定点 Q 的坐标为 (?3,0) . (3)因为 OM ? l ,所以 OM 的方程可设为 y ? kx , …………………………………………10 分

? x2 y 2 ?1 , 4 3 ? ? 由 ? 16 12 得 M 点的横坐标为 x ? ? ,………………………………………12 分 4k 2 ? 3 ? y ? kx ?
由 OM ? l ,得

AD ? AE xD ? xA ? xE ? xA xD ? 2 xA ? ? OM xM xM

·8·

?16k 2 ? 12 ?8 2 1 4k 2 ? 9 ? 4k ? 3 ? ? 4 3 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
? 1 3 ( 4k 2 ? 3 ? 6 4k 2 ? 3 6 4k ? 3
2

…………………………………………………14 分

)≥ 2 2 ,

当且仅当 4k 2 ? 3 ?

即k ? ?

3 时取等号, 2

3 AD ? AE 时, 的最小值为 2 2 . …………………………16 分 2 OM ?1 ? 20. (1) 由题意, f ?( x) ? e x ? x3 ? x 2 ? ax ? a ? , …………………………………………2 分 ?3 ? 因为 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线与直线 x ? y ? 0 垂直, 所以 f ?(0)=1,解得 a ? ?1 . ……………………………4 分
所以当 k ? ?

4 4 ?1 ? (2) 法一:由 f ( x) ? ? e x ,得 e x ? x3 ? 2 x 2 ? (a ? 4) x ? 2a ? 4 ? ? ? e x , 3 3 ?3 ? 3 2 2) 恒成立,……………………………6 分 即 x ? 6 x ? (3a ? 12) x ? 6a ? 8 ? 0 对任意 x ? (??,
2) 恒成立, 即 ? 6 ? 3x ? a ? x3 ? 6x2 ? 12x ? 8 对任意 x ? (??,
因为 x ? 2 ,所以 a ? 记 g ( x) ? ?

x3 ? 6 x 2 ? 12 x ? 8 1 2 ? ? ? x ? 2 ? , ……………………………8 分 ?3? x ? 2 ? 3

1 2 2) 上单调递增,且 g (2) ? 0 , ? x ? 2? ,因为 g ? x ? 在 (??, 3 ? ?) . ………………………………………10 分 所以 a ≥ 0 ,即 a 的取值范围是 [0,

4 4 ?1 ? 法二:由 f ( x) ? ? e x ,得 e x ? x3 ? 2 x 2 ? (a ? 4) x ? 2a ? 4 ? ? ? e x , 3 3 ?3 ? 3 2 2) 上恒成立,……………………………6 分 即 x ? 6 x ? (3a ? 12) x ? 6a ? 8 ? 0 在 (??,
因为 x3 ? 6 x2 ? (3a ? 12) x ? 6a ? 8 ? 0 等价于 ( x ? 2)( x2 ? 4 x ? 3a ? 4) ? 0 , ①当 a ≥ 0 时, x2 ? 4x ? 3a ? 4 ? ( x ? 2)2 ? 3a ≥ 0 恒成立, 2) ,满足题意. …………………………………………8 分 所以原不等式的解集为 (??, ②当 a ? 0 时,记 g ( x) ? x2 ? 4 x ? 3a ? 4 ,有 g (2) ? 3a ? 0 , 所以方程 x 2 ? 4 x ? 3a ? 4 ? 0 必有两个根 x1 , x2 ,且 x1 ? 2 ? x2 , 原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ,解集为 (??,x1 ) ? (2,x2 ) ,与题设矛盾, 所以 a ? 0 不符合题意. ? ?) .…………………………………………10 分 综合①②可知,所求 a 的取值范围是 [0,

?1 ? (3) 因为由题意,可得 f' ( x) ? e x ? x3 ? x 2 ? ax ? a ? , ?3 ? 所以 f ( x) 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11 分
·9·

令 g ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? a , ①若 f ( x) 有且只有一个极值点,所以函数 g ( x) 的图象必穿过 x 轴且只穿过一次, 即 g ( x) 为单调递增函数或者 g ( x) 极值同号. ⅰ)当 g ( x) 为单调递增函数时, g' ( x) ? x2 ? 2 x ? a ≥ 0 在 R 上恒成立,得 a ≥ 1 …12 分 ⅱ)当 g ( x) 极值同号时,设 x1 , x2 为极值点,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ 0 , 由 g' ( x) ? x2 ? 2 x ? a ? 0 有解,得 a ? 1 ,且 x12 ? 2 x 1 ?a ? 0, x22 ? 2x 2 ?a ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? a ,

1 3

1 3 1 1 2 ? ? (2 x1 ? a) ? ax1 ? ax1 ? a ? ?(a ? 1) x1 ? a? , 3 3 3 2 同理, g ( x2 ) ? ?(a ? 1) x2 ? a? , 3 2 2 所以 g ? x1 ? g ? x2 ? ? ?(a ? 1) x1 ? a? ? ?(a ? 1) x2 ? a? ≥ 0 , 3 3 2 化简得 (a ? 1) x1 x2 ? a(a ? 1)( x1 ? x2 ) ? a 2 ≥ 0 ,
所以 g ( x1 ) ? x13 ? x12 ? ax1 ? a ? x1 (2 x1 ? a) ? x12 ? ax1 ? a 所以 (a ? 1)2 a ? 2a(a ? 1) ? a2 ≥ 0 ,即 a ≥ 0 , 所以 0 ≤ a ? 1 . 所以,当 a ≥ 0 时, f ( x) 有且仅有一个极值点; …………………14 分 ②若 f ( x) 有三个极值点,所以函数 g ( x) 的图象必穿过 x 轴且穿过三次,同理可得 a ? 0 ; 综上,当 a ≥ 0 时, f ( x) 有且仅有一个极值点, 当 a ? 0 时, f ( x) 有三个极值点. …………………16 分

1 3

数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题 ,并在相应的答题区域内作答 , ........ ............ 若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21A.连结 OT . 因为 AT 是切线,所以 OT ? AP .………………………2 分 又因为 ?PAQ 是直角,即 AQ ? AP , 所以 AB ? OT , 所以 ?TBA ? ?BTO . ………………………………… 5 分 又 OT ? OB ,所以 ?OTB ? OBT , 所以 ?OBT ? ?TBA , 即 BT 平分 ?OBA . …………………………………10 分 …………………8 分

21B.矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? ?

? ?1
1

?2 ? ? 2 ? 5? + 6 , ……………2 分 ? ?4
·10·

由 f ? ? ? ? 0 ,解得 ?1 ? 2 , ?2 ? 3 .. …………………………………………4 分

? x ? 2 y ? 0, 当 ?1 ? 2 时,特征方程组为 ? ? x ? 2 y ? 0, ? 2? 故属于特征值 ?1 ? 2 的一个特征向量 ?1 ? ? ? ;………………………………7 分 ?1 ? ?2 x ? 2 y ? 0, 当 ?2 ? 3 时,特征方程组为 ? ? x ? y ? 0, ?1? 故属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量 ? 2 ? ? ? . …………………………10 分 ?1?
21C.圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 3x ? 4 y ? 13 ? 0 , 即 ( x ? 2 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 3 . ………………………………………………4 分

又 A(0, ?1), B(0, ?3) ,所以 AB ? 2 .……………………………………………6 分

P 到直线 AB 距离的最小值为 2 3 ? 3 ? 3 ,………………………………8 分
所以 ?PAB 面积的最小值为 ? 2 ? 3= 3 .…………………………………10 分 21D.因为 x>0,y>0,x-y>0, 1 1 2x ? 2 ? 2 y ? 2( x ? y ) ? ,…………………………………4 分 2 x ? 2 xy ? y ( x ? y)2 = ( x ? y) ? ( x ? y) ? 所以 2 x ?
1 1 ≥ 3 3 ( x ? y)2 ? 3 , ……………………8 分 2 ( x ? y) ( x ? y )2

1 2

1 ≥ 2 y ? 3 . ……………………………………………10 分 x ? 2 xy ? y 2
2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.以 A 为坐标原点 O ,分别以 AB , AC , AA1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系

O ? xyz .因为 AB =AC ? 1 , AA1 ? 2 ,则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C (0,1,0) , A1 (0,0, 2) ,B1 (1,0, 2) , P(1,0,2? ) .……………………………………………1 分 ???? ???? ? ??? ? 2 1 (1)由 ? ? 得, CP ? (1, ?1, ) , A1B ? (1,0, - 2) , AC ? (0,1, ?2) , 1 3 3

·11·

???? ? ? n1 ? A1 B ? 0, ? x1 ? 2 z1 ? 0, 设平面 A1 BC 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 ? ???? 得? ? ? ? n1 ? A1C ? 0, ? y1 ? 2 z1 ? 0.
不妨取 z1 ? 1 ,则 x1 ? y1 ? 2 , 从而平面 A1 BC 的一个法向量为 n1 ? (2, 2,1) .……………………………………3 分 设直线 PC 与平面 A1 BC 所成的角为 ? ,

??? ? ??? ? CP ? n1 22 ? 则 sin ? ?| cos ? CP, n1 ?|? ??? , ? 33 | CP | ? | n1 |
22 .…………………………5 分 33 ???? (2)设平面 PA1C 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , A1P ? (1,0, 2? - 2) ,
所以直线 PC 与平面 A1 BC 所成的角的正弦值为

???? ? ? n2 ? A1C ? 0, ? y2 ? 2 z2 ? 0, ? 由? 得? ???? ? ? n2 ? A1 P ? 0, ? x2 ? (2? ? 2) z2 ? 0.
不妨取 z2 ? 1 ,则 x2 ? 2 ? 2?,y2 ? 2 , 所以平面 PA1C 的法向量为 n2 ? (2 ? 2? ,2,1) .……………………………………7 分 则 cos ? n1 , n2 ??

9 ? 4? 3 4? 2 ? 8? ? 9

,又因为二面角 P ? A1C ? B 的正弦值为

2 , 3

所以

9 ? 4? 3 4? 2 ? 8? ? 9

=

5 ,………………………………………………………9 分 3

化简得 ? 2 +8? ? 9 ? 0 ,解得 ? ? 1 或 ? ? ?9 (舍去) , 故 ? 的值为 1 . …………………………10 分 1 1 1 1 ? ? ??? 23. (1)由题意知, an ? 3n ? 2 , g (n) ? , …………1 分 an an ?1 an ? 2 an2

1 1 1 1 1 1 69 1 ? ? ? ? ? ? ? . a2 a3 a4 4 7 10 140 3 (2)用数学归纳法加以证明:
当 n ? 2 时, g (2) ? ①当 n ? 3 时, g (3) ?

……………2 分

1 1 1 1 ? ? ??? a3 a4 a5 a9

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ? )?( ? ? ) 7 10 13 16 19 22 25 7 10 13 16 19 22 25
·12·

1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 1 1 ? ?( ? ? )?( ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? , 8 16 16 16 32 32 32 8 16 32 8 16 16 3
所以当 n ? 3 时,结论成立.………………………………………………4 分 ②假设当 n ? k 时,结论成立,即 g (k ) ? 则 n ? k ? 1 时,

1 , 3
1 a( k ?1)2 ? 1 ) ak
…………6 分

g (k ? 1) ? g (k ) ?(

1 ak 2 ?1

?

1 ak 2 ? 2

???

1 (2k ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ??? ? )? ? 2 3 3(k ? 1) ? 2 3k ? 2 3 ak 2 ?1 ak 2 ? 2 a( k ?1)2 ak

1 (2k ? 1)(3k ? 2) ? [3(k ? 1) 2 ? 2] 1 3k 2 ? 7k ? 3 ? ? ? ? , 3 [3(k ? 1)2 ? 2][3k ? 2] 3 [3(k ? 1) 2 ? 2][3k ? 2]
由 k ≥ 3 可知, 3k 2 ? 7k ? 3 ? 0 ,即 g (k ? 1) ? . 所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 综合①②可得,当 n ≥ 3 时, g (n) ? .

1 3

1 3

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·13·


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