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2015步步高理科数学12.1


§ 12.1

随机事件的概率

1.随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件. (2)在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件. (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. (4)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的

随机事件. (5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母 A,B,C?表示. 2.频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出 nA 现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n (2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某 个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 3.事件的关系与运算 定义 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这 包含关系 时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于 事件 B) 相等关系 并事件(和事件) 若 B?A 且 A?B 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,称此事件为事件 A 与事件 B 的并 A=B A∪B(或 A+B) B?A(或 A?B) 符号表示

事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 交事件(积事件) B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的 交事件(或积事件) 互斥事件 若 A∩B 为不可能事件, 则称事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件, 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A∩B=? A∩B=?P(A∪B)= P(A)+P(B)=1 A∩B(或 AB)

对立事件 4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)=1. (3)不可能事件的概率 P(F)=0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件,则 P(A)=1-P(B).

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的. (2)随机事件和随机试验是一回事. (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生. ( × ( × ( √ ( × ) ) ) ) )

2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( A.至多有一次中靶 C.只有一次中靶 答案 D B.两次都中靶 D.两次都不中靶

3.某射手的一次射击中,射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2、0.3、0.1,则此射手在一 次射击中不超过 8 环的概率为 A.0.5 答案 A 解析 依题意知,此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1-(0.2+0.3)=0.5. 4.下列事件中,随机事件为________,必然事件为________.(填序号) ①冬去春来 ②某班一次数学测试, 及格率低于 75% ③体育彩票某期的特等奖号码 ④ 三角形内角和为 360° ⑤骑车到十字路口遇到交警 B.0.3 C.0.6 D.0.9 ( )

答案 ②③⑤ ① 5.给出下列三个命题,其中正确的命题有________个. ①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是次品;②做 7 次抛 3 硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此正面出现的概率是 ;③随机事件发生的频率就是 7 这个随机事件发生的概率. 答案 0 3 解析 ①错,不一定是 10 件次品;②错, 是频率而非概率;③错,频率不等于概率,这 7 是两个不同的概念.

题型一 随机事件的关系 例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报纸”,事件 B 为“至

少订一种报纸”,事件 C 为“至多订一种报纸”,事件 D 为“不订甲报纸”,事件 E 为 “一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对 立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 C;(4)C 与 E. 思维启迪 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类, 结合互斥事件, 对立事件的定义进 行分析. 解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件 A 与事件 C 有

可能同时发生,故 A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故 B 与 E 是互斥事件.由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生,且事件 E 不发生会导致事 件 B 一定发生,故 B 与 E 还是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订 甲、 乙两种报纸”, 事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能: “一种报纸也不订”、 “只 订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥事件. (4)由(3)的分析,事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能,即事件 C 与事件 E 有 可能同时发生,故 C 与 E 不是互斥事件. 思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生, 而对于对立事件除不能同时发生外, 其并 事件应为必然事件, 这些也可类比集合进行理解, 具体应用时, 可把所有试验结果写出来, 看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给事件的关系. 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设 A={两次都击中飞机},B={两 次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},其中彼此互斥

的事件是________,互为对立事件的是________. 答案 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D B 与 D 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为 A∩B=?,A∩C=?,B∩C =?,B∩D=?. 故 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D 为彼此互斥事件,而 B∩D=?,B∪D=I,故 B 与 D 互为对立事件. 题型二 随机事件的频率与概率 例2 某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门

对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示: 抽取球数 n 优等品数 m m 优等品频率 n 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902

(1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点 后三位) 思维启迪 可以利用公式计算频率,在试验次数很大时,用频率来估计概率. m 解 (1) 依 据 公 式 f = ,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 n 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率 在常数 0.950 的附近摆动,所以质量检查为优等品的概率约为 0.950. 思维升华 频率是个不确定的数, 在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小, 但 无法从根本上刻画事件发生的可能性大小. 但从大量重复试验中发现, 随着试验次数的增 多,事件发生的频率就会稳定于某一固定的值,该值就是概率. 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上 游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10, Y 增 加 5. 已 知 近 20 年 X 的 值 为

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 1 20 110 140 4 20 160 200 220 2 20

(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同, 并将频率视为概率, 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率.



(1)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米

的有 3 个.故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 1 20 110 3 20 140 4 20 160 7 20 200 3 20 220 2 20

频率 X (2)由已知可得 Y= +425, 2

故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”) =P(Y<490 或 Y>530)=P(X<130 或 X>210) =P(X=70)+P(X=110)+P(X=220) 1 3 2 3 = + + = . 20 20 20 10 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为 3 . 10 题型三 互斥事件、对立事件的概率 例3 某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖

单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等 奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 思维启迪 明确事件的特征、 分析事件间的关系, 根据互斥事件或对立事件概率公式求解. 1 10 1 解 (1)P(A)= ,P(B)= = , 1 000 1 000 100 50 1 P(C)= = . 1 000 20 1 1 1 故事件 A,B,C 的概率分别为 , , . 1 000 100 20 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M,则 M=A∪B∪C. ∵A、B、C 两两互斥, ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) 1+10+50 61 = = . 1 000 1 000 61 故 1 张奖券的中奖概率为 . 1 000 (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N, 则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或 中一等奖”为对立事件, 1 1 ? 989 ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-? ?1 000+100?=1 000.

989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000 思维升华 (1)解决此类问题,首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥

事件或对立事件,再选择概率公式进行计算. (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解 为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接求法,先求 此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P( A )计算. 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球 1 5 5 的概率是 ,黑球或黄球的概率是 ,绿球或黄球的概率也是 .求从中任取一球,得到黑 3 12 12 球、黄球和绿球的概率分别是多少? 解 从袋中任取一球, 记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别 5 为 A,B,C,D,则事件 A,B,C,D 彼此互斥,所以有 P(B+C)=P(B)+P(C)= ,P(D 12 5 1 2 +C)=P(D)+P(C)= ,P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1- = , 12 3 3 1 1 1 解得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 4 6 4 1 1 1 故从中任取一球,得到黑球、黄球和绿球的概率分别是 , , . 4 6 4

用正难则反思想求互斥事件的概率

典例:(12 分)(2012· 湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机 收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/ 人) 1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 17 件及以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率) 思维启迪 若某一事件包含的基本事件多,而它的对立事件包含的基本事件少,则可用

“正难则反”思想求解. 规范解答 解 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,

所以 x=15,y=20.[2 分] 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一次购物的结算

时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时间的平均值可 用样本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟).[6 分] 100 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”, A1, A2 分别表示事件“该 顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”,将频 20 1 10 1 率视为概率得 P(A1)= = ,P(A2)= = .[9 分] 100 5 100 10 1 1 7 P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1- - = .[11 分] 5 10 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .[12 分] 10 温馨提醒 (1)要准确理解题意,善于从图表信息中提炼数据关系,明确数字特征的含义. (2)正确判定事件间的关系,善于将 A 转化为互斥事件的和或对立事件,切忌盲目代入概 率加法公式. 易错提示: (1)对统计表的信息不理解,错求 x,y 难以用样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或转化为 B+C 的对立事件,导致计算 错误.

方法与技巧 1. 对于给定的随机事件 A, 由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A), 因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A). 2.从集合角度理解互斥和对立事件 从集合的角度看, 几个事件彼此互斥, 是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集 为空集,事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所含的结果组 成的集合的补集. 失误与防范 1.正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互 斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 2.需准确理解题意,特别留心“至多??”,“至少??”,“不少于??”等语句的含 义 .

A 组 专项基础训练

一、选择题 1.从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事件是 ( A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 答案 D 2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事件 B={抽到二等品},事件 C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等 品”的概率为 A.0.7 答案 C 解析 事件“抽到的不是一等品”与事件 A 是对立事件,由于 P(A)=0.65, 所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为 P=1-P(A)=1-0.65= 0.35. 3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和 丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽验一只是正品(甲级)的概率为 A.0.95 答案 C 解析 记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件 C,这三个 事件彼此互斥,因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%- 3%=92%=0.92,故选 C. 4. 在 5 张电话卡中, 有 3 张移动卡和 2 张联通卡, 从中任取 2 张, 若事件“2 张全是移动卡” 3 7 的概率是 ,那么概率是 的事件是 ( ) 10 10 A.至多有一张移动卡 C.都不是移动卡 答案 A 解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事 B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡 B.0.97 C.0.92 D.0.08 ( ) B.0.65 C.0.35 D.0.3 ( ) )

件,它是“2 张全是移动卡”的对立事件,故选 A. 1 1 5.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则乙不输的概率是 ( 2 3 5 2 1 1 A. B. C. D. 6 3 2 3 答案 A 1 1 5 解析 乙不输包含两种情况:一是两人和棋,二是乙获胜,故所求概率为 + = . 2 3 6

)

二、填空题 6.在 200 件产品中,有 192 件一级品,8 件二级品,则下列事件: ①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是二级品. 其中________是必然事件;________是不可能事件;________是随机事件. 答案 ③ ② ① 7. 口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黑球, 从中摸出 1 个球, 摸出红球的概率为 0.42, 摸出白球的概率为 0.28,若红球有 21 个,则黑球有________个. 答案 15 解析 1-0.42-0.28=0.30,21÷ 0.42=50, 50×0.30=15. 8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次 投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经 随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________. 答案 0.25 5 解析 20 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 191,271,932,812,393, 其频率为 20 =0.25,以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.25. 三、解答题 9.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示: 血型 该血型的人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35

已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血,若小明因病需要输血, 问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少? 解 (1)对任一人,其血型为 A,B,AB,O 型血的事件分别记为 A′,B′,C′,D′,

它们是互斥的. 由已知,有 P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.

因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,故“可以输给 B 型血的人”为事件 B′+D′. 根据互斥事件的加法公式,有 P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64. (2)方法一 由于 A, AB 型血不能输给 B 型血的人, 故“不能输给 B 型血的人”为事件 A′ +C′,且 P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36. 方法二 因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与事件“其血不能输给 B 型血的人”是 对立事件,故由对立事件的概率公式,有 P(A′+C′)=P(B′+D′)=1-P(B′+D′) =1-0.64=0.36. 10.对一批衬衣进行抽样检查,结果如表: 抽取件数 n 次品件数 m m 次品率 n 50 0 100 2 200 12 500 27 600 27 700 35 800 40

(1)求次品出现的频率(次品率); (2)记“任取一件衬衣是次品”为事件 A,求 P(A); (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售 1 000 件衬衣,至少需进货多少件? 解 (1)次品率依次为 0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05. m (2)由(1)知,出现次品的频率 在 0.05 附近摆动, n 故 P(A)=0.05. (3)设进衬衣 x 件, 则 x(1-0.05)≥1 000, 解得 x≥1 053, 故至少需进货 1 053 件. B 组 专项能力提升 1.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件.那么 A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 答案 B 解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件, 对立事件一定是 互斥事件. 2.在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A、B、C、D 的概率分别是 0.2、0.2、0.3、0.3,则 下列说法正确的是 A.A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B.B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 ( ) ( )

C.A+C 与 B+D 是互斥事件,但不是对立事件 D.A 与 B+C+D 是互斥事件,也是对立事件 答案 D 解析 由于 A,B,C,D 彼此互斥,且 A+B+C+D 是一个必然事件, 故其事件的关系可由如图所示的 Venn 图表示,由图可知,任何一个事件 与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其 余两个事件的和事件也是对立事件.故选 D. 3.一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一 7 1 个,取得两个红球的概率为 ,取得两个绿球的概率为 ,则取得两个同颜色的球的概率 15 15 为________;至少取得一个红球的概率为________. 8 14 答案 15 15 解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只 7 1 8 需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为 P= + = . 15 15 15 (2)由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件, 则至少取得 1 14 一个红球的概率为 P(A)=1-P(B)=1- = . 15 15 4. 某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组,3 个小组分别有 39、32、33 个成员, 一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示. 现随机选取一个成员,他属于至少 2 个小组的概率是________,他 属于不超过 2 个小组的概率是________. 3 13 答案 5 15 解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情 况,故他属于至少 2 个小组的概率为 11+10+7+8 3 P= = . 6+7+8+8+10+10+11 5 “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”,其对立事件是“3 个小组”. 故他属于不超过 2 个小组的概率是 8 13 P=1- = . 6+7+8+8+10+10+11 15 5. 如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________. 4 答案 5 1 记其中被污损的数字为 x,依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是 (80×2+ 5 1 90×3+8+9+2+1+0)=90,乙的五次综合测评的平均成绩是 (80×3+90×2+3+3+7 5 解析

1 1 +x+9)= (442+x),令 90> (442+x),解得 x<8,所以 x 的可能取值是 0~7,因此甲的 5 5 8 4 平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 = . 10 5 6.如图,

A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2, 现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查, 调查结果如下: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10~20 6 0 20~30 12 4 30~40 18 16 40~50 12 16 50~60 12 4

(1)试估计 40 分钟内不能 赶到火车站的概率; .. (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许 的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 解 (1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=

44(人), ∴用频率估计相应的概率为 0.44. (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) L1 的频率 L2 的频率 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

(3)设 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;B1,B2 分别表示乙选 择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站.由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1. 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择 L2.


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