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3-幂级数展开 (1)


第三章 幂级数展开
函数有精确表示和近似表示:
? 精确表示(解析表示)

表示为初等函数通过四则运算;
? 近似表示:

逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算;
级数表示 -表示为一个函数级数。
1

函数级数表示的意义:
?利用级数计算函数的近似值;

r />
?级数法求解微分方程;
?以级数作为函数的定义; ?奇点附近函数的性态。

2

§3.1 复数项级数
(一)复数项级数的概念
级数是无穷项的和, 复无穷级数

?w
k ?0

?

k

? w1 ? w2 ? ? ? wk ? ?

wk ? uk ? ivk
? ? k ?0 k ?0

原级数成为

? w ? ? ?u
k ?0 k k ?0
? k ?0 k

?

?

k

? ivk ? ? ? uk ? i ? vk
?
?

这样复级数 ? w 归结为两个实级数 ? u k 与 ? vk , k ?0 k ?0 实级数的一些性质可移用于复级数。
3

(二)收敛性问题
1、收敛定义:
前n+1项和
S n ? ? wk , 当n → ∞,有确定的极限,便称
k ?0 n

级数收敛, S ? lim S n S称为级数和;若极限不存在,
n??

则称级数发散。 2、柯西收敛判据 (级数收敛的充分必要条件): 对于任给的小正数 ε 必有N 存在,使得 n>N 时,
n? p

k ?n ?1

?w

k

? ?,
4

式中 p 为任意正整数。

3、绝对收敛级数

2 2 | wk | ? ? uk ? vk 收敛,则 ? k ?0 k ?1 ? ?

? w 绝对收敛.
k ?0 k

?

?绝对收敛级数改变先后次序,和不变. ?两个绝对收敛级数逐项相乘,其和收敛,为两级数和之

积.

?p
k ?0

?

k

? A,
?

?q
k ?0

?

k

? B,
?

? p ? ? q ? ?? p q ? ? c
k ?0 k k ?0 k k ? 0 l ?0 k l n ?0

?

?

?

n

? AB

cn ? ? pk qn ?k
k ?0
5

n

(三) 复变项级数

? w ( z) ? w ( z) ? w ( z) ? ? ? w ( z) ? ?
k ?0 k 1 2 k

?

的每一项都是复变函数。实际上,对于 z 的一个
确定值,复变项级数变成一个复数项级数。 复变项级数有一个定义域 B 。它的收敛的概念应 当是相对于这个定义域而言的。 收敛-复变项级数在其定义域 B 中每一点都收敛,

则称在 B 中收敛。
6

柯西收敛判据 (复变项级数收敛的充分必要条件): 对B内每点 z,任给小正数 ε>0,必有 N(ε,z) 存在,
使得当 n>N(ε,z) 时,
n? p

k ?n ?1

? w ( z) ? ? ,
k

式中 p 为任意正整数。N一般随 z不同而不同。 但如果对任给小正数 ε>0,存在与 z无关的 N(ε) , 使得 n>N(ε)时,上式成立,便说 ? wk ( z ) 在B内
k ?1 ?

一致收敛。
7

(四)一致收敛级数的性质
记级数和为w (z)。 在B内一致收敛的级数,如果级数的每一项 wk(z) 都是B内的连续函数,则级数的和w (z)也是B内 的连续函数。 逐项求积分 —在曲线 l 上一致收敛的级数,如果 级数的每一项 wk(z)都是l上的连续函数,则级数的 和w (z)也是l上的连续函数,而且级数可沿 l 逐项 求积分。

? w( z)dz ? ? ? w ( z) dz ? ? ? w ( z)dz
l l k ?0 k k ?0 l k

?

?

8

逐项求导数—设级数 ? w ( z ) 在 B 中一致收敛,
k ?0 k

?

wk(z) (k=0,1,2 ,… )在 B 中单值解析,则级数的和

w (z)也是 B 中的单值解析函数, w (z) 的各阶导数
可由 ? wk ( z ) 逐项求导数得到,即:
k ?0 ?

( w( n ) ( z ) ? ? wkn ) ( z ) k ?0

?

且最后的级数 ? wk( n) ( z ) 在 B 内的任意一个闭区域
k ?0

?

中一致收敛。
9

(五)级数一致收敛的外氏(Weierstrass) 判别法
如果对于某个区域 B (或曲线 l )上所有各点 z, 复 变项级数

? w ( z ) 各项的模 | wk ( z) |? mk , ( mk
k ?0 k

?

是与 z 无关的正常数),而正的常数项级数

?m
k ?0
? k ?0

?

k

收敛,则 ? wk ( z ) 在区域B (或曲线 l )上绝对 且一致收敛。
10

§3.2 幂级数
(一)定义 最简单的解析函数项级数是幂级数,其各项均 为幂函数
ak ( z ? z0 )k ? a0 ? a1 ( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 )2 ? ?, ?
k ?0 ?

(3.2.1)

其中 z0, a0 , a1 , a2 , … 为复常数。这样的级数叫 作以 z0为中心的幂级数。 (二)幂级数敛散性 1、比值判别法(达朗贝尔判别法)
| ak || ( z ? z0 )k | ?| a0 | ? | a1 || ( z ? z0 ) | ? | a2 || ( z ? z0 )2 | ? ?, ?
k ?0 ?

(3.2.2)
11

| ak ?1 || z ? z0 |k ?1 ak ?1 若 lim ? lim | z ? z0 |? 1, k ?? | a || z ? z |k k ?? a k 0 k

则实幂级数 (3.2.2)收敛,复幂级数 (3.2.1)绝对收敛
ak 引入记号 R ? lim k ?? a k ?1

(3.2.3) (3.2.4)



ak | z ? z0 |? lim ?R k ?? a k ?1

则(3.2.1) 绝对收敛. 若 | z ? z0 |? R 则
| ak ?1 || z ? z0 |k ?1 ak ?1 lim ? lim R ? 1, k ?? | a || z ? z |k k ?? a k 0 k
发散
12

故当 当

z ? z0 ? R

,绝对收敛 ,发散 R:收敛半径 CR: 收敛圆
R
收敛

z ? z0 ? R

CR

z0
发散

2、根式判别法: 若 k
k ??

lim | ak || z ? z0 | ? 1
k

(3.2.2)收敛,(3.2.1)

绝 对收敛 。

lim k | ak || z ? z0 |k ? 1
k ??

发散



R ? lim k |1 a
k ??

k|

13

3、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛


CR1 ( R1 ? R) ,在 | z ? z0 |? R1



| ak ( z ? z0 )k |?| ak | R1k
| ak | R1k ?
k ?0 ?

对正的常数项级数 应用比值判别法,有

R R1 收敛

CR1

CR

z0
发散

| ak ?1 | R lim k ?? | a | R k

k ?1 1 k 1

ak ?1 R1 ? lim R1 ? ? 1, k ?? a R k
14

幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛!

(三)例题
例1 求 1 ? t ? t 2 ? ? ? t k ? ? 的收敛圆。t 为复数

解:收敛圆半径

ak 1 R ? lim ? lim ? 1. k ?? a k ?? 1 k ?1

收敛圆内部为
n

| t |? 1,

其实, 对于

1 ? t n?1 tk ? 1 ? t ? t2 ? ?? tn ? , ? 1? t k ?0 1 ? t n?1 1 k lim ? t ? lim ? , n?? n?? 1 ? t 1? t k ?0
n

| t |? 1,
2

1 1? t ? t ??? t ?? ? 1? t
k

(| t |? 1).
15

例 2 求 1 ? z 2 ? z 4 ? z 6 ? ? 的收敛圆,z 为复数。 解: 2

z ?t

1 ? t ? t2 ? t3 ? ?
ak 1 R ? lim ? lim ? 1. k ?? a k ?? 1 k ?1
t 平面收敛圆
2 4

t ?1
6

z 平面收敛圆

| z |? 1

1 1? z ? z ? z ?? ? 2 1? z

(| z |? 1).
16

(四)幂级数在收敛圆内的性质
1、幂级数每一项均是z的解析函数,而且在收敛 圆内任一闭区域中一致收敛,所以级数的和 w(z)是收敛圆内的一个解析函数。 2、幂级数在收敛圆内可逐项积分

? w( z)dz ? ? ? w ( z) dz ? ? ? w ( z)dz
l l k ?0 k k ?0 l k

?

?

3、幂级数在收敛圆内可逐项求导

w ( z) ? ? w ( z)
(n) k ?0 (n) k

?

且幂级数逐项求导或积分后收敛半径不变。

17

本节作业:第37页

第3题(1,3,4)。

18

§3.3 泰勒(Taylor)级数展开
(一)泰勒定理:设 f(z) 在以 z0 为圆心的圆
f ( z ) ? ? ak ( z ? z0 ) ,
k ?0

CR 内 解析,则 对圆内的任意 z 点, f(z) 可展为幂 ? 级数, k
其中展开系数为 f ( k ) ( z0 ) 1 f (? ) ak ? ?C (? ? z0 )k ?1 d? ? k! 2?i
R1

CR1 为圆CR 内包含z且与CR 同心的圆。

ζ为 CR 上的点, z0称为该级数的展开中心。
1

19

证明:作 CR1 ( R1 ? R) ,因为f(z)在单闭区域 z ? z0 ? R1 上

解析,由柯西公式
1 f (? ) f ( z) ? ?CR1 ? ? z d? , 2?i

(3.3.1) )

展开(注意 ? ? z0 ? z ? z0

1 1 1 1 ? ? ? ? ? z (? ? z0 ) ? ( z ? z0 ) ? ? z0 1 ? z ? z0 ? ? z0
z ? z0 ? z ? z0 ? 1 ? 1? ?? 其中 ? ? ? z ? ?? ? z ? z0 ? ? z0 ? 0 ? 1? ? ? z0
2

? z ? z0 ? ? ? ? ? ? z ? 1?. 0 ? ?
20

? z ? z0 ? ? ? z ? z0 ? 1 1 ? ?? ? ? ? z ? ? z0 k ?0 ?? ? z0 ?k k ?0 ?? ? z0 ?k ?1 (3.3.3)
? k ? k

将(3.3.3)代入(3.3.1)逐项积分

1 f (? ) f ( z ) ? ? ( z ? z0 ) ? ?CR1 ?? ? z0 ?k ?1 d? . 2?i k ?0
? k



f ( z) ? ?
k ?0

?

f ( k ) ( z0 ) ( z ? z0 )k k!

(| z ? z0 |? R).

——以 z0 为中心的泰勒级数。 泰勒级数的收敛半径R等于展开中心 z0至被展开函数的 最近奇点b的距离,即 R ? b ? z0 可以证明(p39),以 z0 为中心的泰勒级数是唯一的。

21

(二)将解析函数展成泰勒级数的方法
1、直接求导计算——最普通的办法
例 在 z0=0的邻域上将 ez 展开。 解 因为
(k )

f

( z) ? e , f
z

(k )

( z0 ) ? f

(k )

(0) ? 1

? z z2 zk zk ez ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 故 1! 2! k! k ?0 k!

收敛半径

ak ( k ? 1)! R ? lim ? lim ?? k ?? a k ?? k! k ?1
22

例 在 z0=1的邻域上将ez 展开。 解 因为

(e )


z (n)

|z ?1 ? e

? ( z ? 1) ( z ? 1)2 ? ( z ? 1)k z e ? e?1 ? ? ??? ? ?? ? ? 1! 2! k! ? ?

收敛半径
ak ( k ? 1)! R ? lim ? lim ?? k ?? a k ?? k! k ?1
23

例 在 z0=0 邻域的上将 f1 ( z) ? sin z 和 f2 ( z) ? cosz 展开。 解 f1 ( z ) ? sin z , f1 (0) ? 0, f1 ' ( z ) ? cos z , f1 ' (0) ? 1, f1 ' ' ( z ) ? ? sin z , f1 ' ' (0) ? 0,
f1( 3) ( z ) ? ? cos z , f1( 4 ) ( z ) ? sin z , ??
( 2k ?1)

f1( 3) ( z ) ? ?1, f1( 4 ) ( z ) ? 0, ??

(sin z)

|z?0 ? (?1) ; (sin z)
k

( 2k )

|z?0 ? 0

? z z3 z5 z 2 k ?1 ( ?1)k 2 k ?1 sin z ? ? ? ? ? ? ( ?1)k ?? ? ? z . 1! 3! 5! (2k ? 1)! k ?0 ( 2k ? 1)!

ak (2k ? 3)! ? lim ?? 收敛半径 R ? lim k ?? a k ?? ( 2k ? 1)! k ?1

类似

z2 z4 z 2k cos z ? 1 ? ? ? ? ? ( ?1)k ?? 2! 4! (2k )! ( ?1)k 2 k ?? z k ?0 ( 2k )!
?

收敛半径

ak (2k ? 2)! R ? lim ? lim ?? k ?? a k ?? (2k )! k ?1
25

f ( z ) ? ln z, f (1) ? ln 1 ? n2?i, 支在支点 0, ∞ 相连。但 z0=1 1 f ' ( z) ? , f ' (1) ? ?1, 不是支点,在其 z ? z0 ? 1 z 的邻域各分支相互独立。多 1! f ' ' ( z) ? ? 2 , f ' ' (1) ? ?1, 值函数在确定了单值分支后, z 2! ( 3) 可象单值函数那样在各单值 f ( z) ? 3 , f (3) ( z ) ? ?2!, z 分支上作泰勒展开。 3! f ( 4) ( z ) ? ? 4 , f ( 4 ) ( z ) ? ?3!, z ?? ??
Z=1

例 在 z0=1 邻域的上将 f ( z) ? ln z 展开。 解 lnz 是多值函数,各分

(k ? 1)! f ( z ) ? (?1) , k z f ( k ) (1) ? (?1) k ?1 (k ? 1)!,
(k ) k ?1

26

(?1) ln z ? i 2n? ? ? k k ?1
?

k ?1

( z ? 1) k

(| z ? 1 |? 1)

收敛半径 R=1。n=0的那一支为主值分支。

例 在 z0=0邻域的上将 解 f ( z ) ? (1 ? z ) m ,
f ' ( z ) ? m(1 ? z ) m ?1 ,

f ( z) ? (1 ? z)m

展开(m不是整数).

f (0) ? 1m , f ' (0) ? m1m , f ' ' (0) ? m(m ? 1)1m , f ( 3) (0) ? m(m ? 1)(m ? 2)1m ,

f ' ' ( z ) ? m(m ? 1)(1 ? z ) m ? 2 , f ( 3) ( z ) ? m(m ? 1)(m ? 2)(1 ? z ) m ?3 , ?? ??

f ( k ) ( z ) ? m(m ? 1)(m ? 2) ? (m ? k ? 1)(1 ? z ) m ? k , f ( k ) (0) ? m(m ? 1)(m ? 2) ? (m ? k ? 1)1m ,
27

于是

m1m m(m ? 1)1m 2 f ( z ) ? 1m ? z? z ?? 1! 2! m(m ? 1) ? (m ? k ? 1)1m k ? z ?? k! m m(m ? 1) 2 m? ? 1 ?1 ? z ? z ?? 2! ? 1! m(m ? 1) ? (m ? k ? 1) k ? ? z ? ?? k! ?
? ?m? k m! ? 1m ? ? ? z ? 1m zk ? ? k ?0 ? k ? k ?0 k!( m ? k )!
?

m 为整数

m ? k, ?m? k ? ? ? Cm ?k ?

?

收敛半径 R=1。式中

1m ? (ei 2n? )m ? ei 2mn?

(n ? 0,1,2, ) ?
28

n=0为主值分支。非整数二项式定理。

2*、无穷远点邻域内的泰勒展开
若存在R, 使f(z)在以 z=0为圆心,R为半径的圆外(包

括 ∞ )解析, 作变换

1 z? , t

?1? f ? ? ? ? (t ), ?t?
2



? (t ) ? a0 ? a1t ? a2t ? ?,
a1 a2 f ( z ) ? a0 ? ? 2 ? ?, z z
29

3、利用初等函数的泰勒级数进行展开
★基本公式
? z2 zk zk ez ? 1? z ? ??? ?? ? ? , 2! k! k ?0 k!
? 1 ? 1? z ? z2 ??? zn ?? ? ? zk , 1? z k ?0

z ??
z ?1

e iz ? e ?iz z3 z5 z 2 k ?1 k sin z ? ? z? ? ? ? ? (?1) ?? 2i 3! 5! (2k ? 1)! z 2 k ?1 ? ? (?1) k , (2k ? 1)! k ?0
?

z ??

★对于其他 函数,总是 尽量利用这 些基本公式

e iz ? e ? iz z2 z4 z 2k cos z ? ? 1? ? ? ? ? (?1) k ?? 2 2! 4! (2k )! z 2k ? ? (?1) k , (2k )! k ?0
?

z ??

例(1)

? ? 1 1 ? ? ? (-z2 ) k ? ? (-1) k z 2 k 1 ? z 2 1 ? (? z 2 ) k ?0 k ?0

(| z |? 1).

1 例(2) 以z=0为中心,将有理函数 展开 1 ? 3z ? 2 z 2

解: 有理函数先化为部分分式后再利用公式
? ? 1 1 2 k k ?? ? ? ?? z ? 2? ?2 z ? 1 ? 3z ? 2 z 2 1? z 1? 2z k ?0 k ?0

? ? 2k ?1 ? 1 z k ,
k ?0

?

?

?

z?

1 2

例(3) 以z=0为中心,将函数 e?z cos z 泰勒展开
1 iz ?iz 1 (? ?i ) z (? ?i ) z 1 ? 1 e?z cos z ? e?z (e ? e ) ? [e ?e ] ? ? [(? ? i) k ? (? ? i) k ]z k 2 2 2 k ?0 k!
31

4、在收敛圆内逐项求导或逐项积分
例(4) 以z=0为中心,将函数
1 (1 ? z ) 2

展开

1 d 1 d ? k ? k ?1 ? 解: ? ? ? z ? ? kz ? ? (k ? 1) z k , (1 ? z ) 2 dz 1 ? z dz k ?0 k ?1 k ?0
例(5) 以z=1为中心,将函数
?

z ?1

z ?1 在区域 z ? 1 ? 1 展开 2 z

解: 级数的形式为 ? ak ( z ? 1) k ,先将f(z)化成宗量为(z-1)的函数
k ?0

z ?1 d 1 d 1 d ? k ? ( z ? 1) (? ) ? ?( z ? 1) ? ?( z ? 1) ? ?? ( z ? 1)? z2 dz z dz 1 ? ( z ? 1) dz k ?0 ? ( z ? 1)? (?1)
k ?0 ? k ?1

k ( z ? 1)

k ?1

? ? (?1) k ?1 k ( z ? 1) k ,
k ?0

?

z ? 1 ? 1.
32

例(6) 在z=0的邻域上将多值函数 ln(1+z) 展开
解: 设 f(z)=ln(1+z) ,则 f ' ( z ) ?
z

1 1? z
z

,因此在区域 z ? 1
z

ln(1 ? z ) ? ln(1 ? z ) z ?0 ? ln(1 ? z ) ? ln 1

? ? 1 dz ? ? ? (? z ) k dz ? ? (?1) k ? z k dz ?? 1? z k ?0 0 0 k ?0 0 k ? z k ?1 k ?1 z ? ? (?1) ? ? (?1) k ? 1 k ?1 k k ?0 ? k

? (?1) k ?1 k (?1) k ?1 k ln(1 ? z ) ? ln1 ? ? z ? i 2?n ? ? z k k k ?1 k ?1 ?

( z ? 1)

n=0为主值分支,在主值分支 ln1=0。

33

另解:设 t=1+z,则 z=t-1,利用公式(3.3.10)
(?1) k ?1 ln z ? i 2n? ? ? ( z ? 1) k k k ?1
?

(| z ? 1 |? 1)

(3.3.10)

(?1) k ?1 ln t ? i 2n? ? ? (t ? 1) k k k ?1
?

(| t ? 1 |? 1) 将 t=1+z 代人, (| z |? 1)



(?1) k ?1 k ln?1 ? z ? ? i 2n? ? ? z k k ?1
?

本节作业:第52页

(1)利用

1 1? z2

级数逐项积分,取主值arctg0=0;

(2)利用(3.3.11)展开; (8)利用 cos z 或 sin z 级数展开。
34

§ 3.4 解析延拓
1 ?t ? 1? t , k ?0
k ?

t ?1

(1) (2)

1 ? (?1) z ? 1 ? z 2 , k ?0
k 2k

?

z ?1

(1)(2)两式两边在收敛圆内是相同的,但在收敛圆外等式不

一定成立。等式的左边仅在收敛圆内有意义,而等式的右
边除 t =1 (1式)或 z= ±1(2式) ,在整个复平面上解析。因此, 问:已知
tk , ?
k ?0 ?

t ?1

,求 在 t ? 1 之外的 F(t)。
1 F (t ) ? ,t ? 1 1? t
35

这个答案是已知的

已知 f(z) 在 b 中解析,若 F(z) 在 B (b ∈B) 中解析 ,且在 b 中F(z)=f(z) 。称F(z) 为 f(z) 在 (B-b)中的解析延拓。采用解析 延拓的办法可以扩大函数的定 义域和解析范围。 解析延拓的方法

B
z0

b

在 b 中取点 z0,又取 z0 的一个邻域,将 f(z) 展开为泰勒级 数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b 进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法,可以 逐渐将函数解析延拓。 可以证明,无论采用何种方法,函数 f(z) 的解析延拓是唯 一的。这样,可以采 用某些最方便的方法来进行解析延拓。
36

§3.5 洛朗(Laurent)级数展开
(一)双边幂级数
?? a?2 ( z ? z0 )?2 ? a?1( z ? z0 )?1 ? a0 ? a1( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 )2 ? ?
正幂部分有收敛半径,R1 ,引入新变量 分成为
? ?
1 , z ? z0

负幂部

a?1? ? a?2? 2 ? a?3? 3 ? ?

1 1 , 其在 | ? |? | z ? z0 |? R2 有收敛半径,R2 R2 内部收敛,即在

的外部收敛。若 R2 < R1 , 级数在 R2 ?| z ? z0 |? R1 内绝对 且一致收敛,其和为一解析函数,级数可逐项求导。
R2 ?| z ? z0 |? R1

称为级数的收敛环。若 R2 >R1 级数发散。

(二)定理
设f(z)在环形区域 R2 ?| z ? z0 |? R1 的

内部单值解析,则对环域上任一点 z,
f(z)可展为幂级数
C'R2

C

C'R1
R1
R2

CR1

z0?
CR2

f ( z) ?

k ? ??

ak ( z ? z0 )k ?

??

z?

其中

1 f (? ) ak ? ?C (? ? z0 )k ?1 d? 2?i

路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭
合曲线。
38

证:作 C 'R1 , C'R2 , f(z)在闭环形区域 R2 ' ?| z ? z0 |? R1 ' 上 解析,应用复连通区域上的柯西公式
1 f (? ) 1 f (? ) f ( z) ? ?C 'R1 ? ? z d? ? 2?i ?C 'R2 ? ? z d? 2?i
C
C'R1
R1
R2

CR1

沿 C 'R1 ,

? z ? z0 ? 1 ?? k ?1 ? ? z k ?0 ?? ? z0 ?
? k

C'R2

z0?
CR2

z?

沿 C 'R2 ,

1 1 1 1 ? ?? ? ? ? z (? ? z0 ) ? ( z ? z0 ) z ? z0 1 ? ? ? z0 z ? z0 1 ?? z ? z0
? (? ? z0 )l (? ? z0 )l ? ( z ? z )l ? ?? ( z ? z )l ?1 l ?0 l ?0 0 0 ?
39

代入积分

1 f (? ) f ( z ) ? ? ( z ? z0 ) ? ?C 'R1 (? ? z0 )k ?1 d? 2?i k ?0
?? k

? ? ( z ? z0 )
l ?0

??

?( l ?1)

1 f (? ) ? ?C 'R 2 (? ? z0 )?l d? 2?i

第二项中,令 k= -(l+1),l= -(k+1),则成为 顺时针
逆时针

1 f (? ) ? ? ( z ? z0 ) ? ?C 'R2 (? ? z0 ) k ?1 d? 2?i l ?0
?? k

1 f (? ) ? ? ( z ? z0 ) ? ?C 'R2 (? ? z0 ) k ?1 d? 2?i l ?0
?? k

顺时针

C'R2 ? C'R1

1 f (? ) ? ? ( z ? z0 ) ? ?C 'R1 (? ? z0 ) k ?1 d? 2?i k ? ?1
?? k

40

把两部分合并起来有

f ( z) ?
其中

k ? ??

?a (z ? z )
k 0

??

k



R2 ' ?| z ? z0 |? R1 '

R2 ?| z ? z0 |? R1

洛朗级数

1 f (? ) 1 f (? ) ak ? ?C 'R1 (? ? z0 )k ?1 d? ? 2?i ?C (? ? z0 )k ?1 d? 2?i
C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一 闭合曲线。
41

关于洛朗级数展开的特别说明(p45) (1)尽管上式中含有 (z-z0) 的负幂次项,而这些项 在z=z0 点是奇异的,但 z0点可以是也可以不是 函数 f(z) 的奇点; (2)尽管求展开系数ak 的公式与 Taylor 展开系数 的积分公式形式一样,但ak ≠ f(k)(z0)/k! ,不论z0 是否 f(z)的奇点.若z0 为f(z)的奇点,则f(k)(z0) 根 本不存在;若 z0 不是f(z)的奇点,则f(k)(z0) 存在, f (? ) 但仍是ak ≠ f(k)(z0)/k! 。因为 f ( k ) ( z0 ) ? k! ?C (? ? z0 )k ?1 d? 2?i 成立的条件是在以C为边界的区域上 f(z) 解析, 而现在区域上有 f(z)的奇点(若无奇点就无需 考虑洛朗 展开了)
42

(3)如果只有环心 z0 是 f(z)的奇点,则内圆半 径可以无限小, z 可以无限接近 z0 ,这时称 (3.5.3)为f(z)在它的孤立奇点 z0 邻域上的 洛朗 展开式。下节用以研究函数在其孤立 奇点附近的性质。 洛朗 级数 展开也是唯一的。 因此可用各种方法求一个函数的洛朗展开。

43

例1 在z0=0 的邻域上将 f(z) =sinz/z展开
z z3 z5 z7 sin z ? ? ? ? ? ? 1! 3! 5! 7! (| z |? ?)

z0=0时 f(z)无定义,但 lim f ( z ) ? 1. z ?0 在挖去原点的环域中 sin z 1 z 2 z 4 z 6 ? ? ? ? ?? z 1! 3! 5! 7!
重新定义
? sin z ? z ? f ( z) ? ? ?lim sin z ? 1 ? z ?0 z ?

(0 ?| z |? ?)
( z ? 0) ( z ? 0)

1 z2 z4 z6 f ( z) ? ? ? ? ? ? 1! 3! 5! 7!

(| z |? ?) 无负幂次项
44

例2 在1 ?| z |? ? 的环域上将 f(z)=1/(z2-1) 展开



f(z)的奇点不是z=0,而是z =1,-1。还是利 用泰勒展开
1 1 1 1 f ( z) ? 2 ? 2 ? 2 z ?1 z 1 ? 1 z z2 1 1 1 ? 2 ? 4 ? 6 ?? z z z ?1? ?? z2 ? ? k ?0 ?
? k

无限多负幂次项

45

例3 在 z0=1 的邻域将 f(z)=1/(z2-1) 展开 解: 1 1 1 1 1
f ( z) ? ( z ? 1)( z ? 1) ? 2 z ?1 ? 2 z ?1
f(z) 的奇点是 z =1,-1,去心邻域 0 ? z ?1 ? 2 , (z-1) 的幂级数 其中

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 z ? 1 2 ( z ? 1) ? 2 4 1 ? ( z ? 1) / 2 1 ? k ? z ?1? ? ? ( ?1) ? ?. 4 k ?0 ? 2 ?
k

(| z ? 1 |? 2)

于是

? 1 1 (?1) k f ( z) ? ? ? k ? 2 ( z ? 1) k 2 z ? 1 k ?0 2

(0 ?| z ? 1 |? 2)
46

出现-1次幂项

例4 在z0=0 的邻域将 f ( z) ? e1/z 展开

? z z2 zk zk ez ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1! 2! k! k ?0 k!

(| z |? ?)

e

1/ z

11 1 1 1 1 ? 1? ? ? ?? 2 3 1! z 2! z 3! z

?1 ? ? ? ?? ?z ?

e

1/ z

1 k ? ? z k ? ?? ( ?k )!

0

?0 ? z ?
47

无限多负幂次项

(三)求函数洛朗级数展开
(1)直接法:由定义求. 太繁杂,一般不用。 (2)间接法: 借助一些常用函数的级数展开式,以唯一性为依据, 运用幂级数的性质、代数运算、求导和积分等得到解 析函数的洛朗展开式。具体步骤: ?找出函数的奇点; ?以展开中心为圆心,以奇点到展开中心的距离为半 径作圆; ?这些圆把复平面化分为若干个展开区域,将函数在 各个区域上分别展开。

48

例 以 z=0 为中心将 函数 展开 解 在复平面中f(z) 仅有 两个奇点:z=1和z=2,故 在复平面中以z=0为中心, 可以在以下三个区域进行 展开。

f ( z) ?

1 1 1 ? ? ( z ? 1)(z ? 2) z ? 2 z ? 1
y

O

1

2

x

(1) z ? 1

1 1 ? 1 ? z 2(1 ? z ) 2 ? 1 ? z k ? 1 k ? ? z ? ? ( ) ? ? (1 ? k ?1 ) z k 2 k ?0 2 2 k ?0 k ?0 f ( z) ?
49

(2) 1 ? z ? 2
1 1 1 1 ? 1 k ? 1 ? ? ? ? ? ( ) ? ? k ?1 z ? 1 z (1 ? 1 ) z k ?0 z k ?0 z z
? 1 1 1 1 ? z k z ?? ? ? ? ? ? ( ) ? ?? k ?1 z?2 2 (1 ? z ) 2 k ?0 2 k ?0 2 2 k

y

O

1

2

x

? ? 1 1 zk 1 f ( z) ? ? ? ?? k ?1 ? ? k z ? 2 z ?1 k ?0 2 k ?1 z

1 1 1 ? ? z ? 2 z (1 ? 2 ) z 1 ? 2 k ? 2k ? ? ? ( ) ? ? k ?1 z k ?0 z k ?0 z

(3)

z ?2
? 1 ? 1 k 1 ? ? ? ( ) ? ? k ?1 1 z k ?0 z k ?0 z (1 ? ) z

1 1 ? ? z ?1 z

1

1 1 f ( z) ? ? z ? 2 z ?1 ? 2 k ?1 ? 1 ?? zk k ?1

本节作业:第47页

第3题(3,10,14)。

51

§3.6 孤立奇点的分类
在不同类型的奇点附近,函数具有不同的性质. (一) 孤立奇点的定义 若函数 f(z) 在某点 z0 不可导。而在 z0 的任意小 邻域内除z0 外处处可导,便称 z0 为 f(z) 的孤立 奇点。若在 z0 点的无论多么小的邻域内,总可 以找到除 z0 以外的不可导的点,便称 z0 为 f(z) 的非孤立奇点。
例1 z=0 是 函数 f(z)=[z(z-1)] -1的孤立奇点,因为在以z=0 为圆心, R<1 的圆内,除 z=0 外,无其它不可导点。 例2 z=0 是函数 [sin(1/z)]-1 的非孤立奇点,因为该函数的 奇点为 zn=1/n?, n=0,±1, ±2... ,只要 n 足够大, 1/n? 可以任意接近于 z=0, 即在 z=0 的无论多么小的邻域内, 总可以找到函数的其它奇点。
52

(二)孤立奇点的分类 设z0 是单值函数 f(z) 的孤立奇点,则在 z0 的去心 邻域 0<|z-z0|< R 上, 可展成 洛朗 级数:
f ( z) ?
k ? ??

ak ( z ? b)k ?

??

正幂部分:解析部分,负幂部分:主要部分
? ? ?

若展式不含负幂项:z0为 f(z)的可去奇点 若展式含有限个负幂项: z0 为f(z)的极点 若展式含无限个负幂项: z0 为f(z)的本性奇点

(三)函数在孤立奇点邻域的性质
1、可去奇点

f ( z) ? a0 ? a1( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 ) ? ?,
2
53

有 lim f ( z ) ? a0
z ? z0

定义 g ( z ) ? ? f ( z ) ? ?a0 则

( z ? z0 ) ( z ? z0 )

g( z) ? a0 ? a1( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 )2 ? ?,
为Taylor 展开。例p45(sin z/z),可去奇点今后将不 作为奇点看待.

2、极点 f ( z ) ? a?m ( z ? z0 ) ? m ? a?m ?1 ( z ? z0 ) ? m?1 ? ?
? a0 ? a1 ( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 ) 2 ? ? ?
k ?? m

a k ( z ? z0 ) k ?

?

,
54



lim f ( z ) ? ?,
z ? z0

m:极点的阶,一阶极点称单极点 设 z0 是 f(z) 的极点,则当z0 满足以下三条中任一条时,均 为 f(z) 的m阶极点。 ①
f ( z) ?

? ( z)
( z ? z0 ) m

,其中φ(z) 在 z ? z0 ? ? 中解析, φ(z0) ≠0 ;

② φ(z) =[f(z)]-1以 z=z0 为m阶零点;
若φ(z)在z0点解析,且 φ(z0) =0 ,称z0点为φ(z)的零点;若 φ(z0) = φ’(z0)= … =φ(m-1) (z0)=0 , φm (z0) ≠ 0 , z0点称为φ(z)的 m阶零点。
lim ( z ? z0 ) m f ( z ) ? 非零的有限值。 ③ z?z
0

?

?

55

3、本性奇点
f ( z) ?
k ? ??

ak ( z ? z0 )k ?

?

,

极限 lim f ( z ) 与 z?z0 的方式有关,或称无极限。 z? z
0

例 z=0是函数 e1/z 的本性奇点,在0<|z|<? 的环域内, 其洛朗 级数为

1 1 1 e ? 1? ? ? .... 2 z 2! z
1 z

当 (1) z 沿正实轴?0 时,1/z ? ?, 故 e1/z ? ?; (2) z 沿负实轴?0 时,1/z ? -?, 故 e1/z ? 0; (3) z 沿虚轴,按i/(2?n) ?0 时,e1/z ?1。
56

(四)无穷远点 1、无穷远点为孤立奇点的定义

设f(z) 在∞点的去心邻域
?

R ?| z |? ?

解析,

则∞点为f(z)的孤立奇点。其洛朗 级数为

f ( z) ?

k ? ??

ak z k ?

( R ?| z |? ?)

负幂部分为解析部分,正幂部分为主要部分

57

2、孤立奇点的分类

1)如果洛朗展开不含正幂项,z = ∞ 为 f(z) 的可去奇点;
lim f ( z ) ? a0
z ??

2)如果洛朗展开包含有限个正幂项, z = ∞ 为f(z)的极点;

lim f ( z ) ? ?
z ??

3)如果洛朗展开包含无限个正幂项, z = ∞为 f(z) 的本性奇点。当 z ? ?, f(z)之值不定。
58


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