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浙江省嘉兴一中2015届高三第一次模拟试卷数学(理)


浙江省嘉兴市 2015 年高三第一次模拟考试 数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、 设全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? , 集合 ? ? ?0,1,2? , 集合 ? ? ?2,3? , 则 ??U ?? ?? ( A. ? B. ?1,2,3,4? C

. ?2,3,4? D. ?0,1,2,3,4? )
0 D.



2、已知直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 1 ? 0 互相垂直,则 a ? (
1 或 ?1 A. 1 B.
?1 C.

3、已知向量 a ? ?3cos? ,2? 与向量 b ? ? 3, 4sin ? ? 平行,则锐角 ? 等于( A.



? 4

B.

? 6

C.

? 3

D.

5? 12

4、三条不重合的直线 a , b , c 及三个不重合的平面 ? , ? , ? ,下列命题正确 的是( ) A.若 a //? , a //? ,则 ? //? B.若 ?

? ? a , ? ? ? , ? ? ? ,则 a ? ?

C.若 a ? ? , b ? ? , c ? ? , c ? a , c ? b ,则 ? ? ? D.若 ?

? ? a , c ? ? , c //? , c //? ,则 a //?

5、已知条件 p : x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,条件 q : x 2 ? 6 x ? 9 ? m2 ? 0 .若 p 是 q 的充分不必 要条件,则 m 的取值范围是( A. ??1,1? 6 、 已 知 B. ? ?4, 4? 直 线
l:

) C. ? ??, ?4?

?4, ???

D. ? ??, ?1? (

?4, ???
) , 圆 )

x ? cos ? ? y ? sin ? ? 2

? ?R

C : x2 ? y 2 ? 2cos? ? x ? 2sin ? ? y ? 0 (? ? R ) , 则直线 l 与圆 C 的位置关系是 (

A.相交

B.相切

C.相离

D.与 ? , ? 有关

7、如图,已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )上有一点 ? , a 2 b2

它关于原点的对称点为 ? ,点 F 为双曲线的右焦点,且满足

?? ? ? ?F ? ?F , ? ? F ? ?, 设? 且? ? ? , ? , 则该双曲线离心率 e 的 2 6 ? ?1
取值范围为(
? A.? ? 3, 2 ? 3 ?


? B.? ? 2, 3 ? 1? ? C.? ? 2, 2 ? 3 ? ? D.? ? 3, 3 ? 1?

x ? ?e ? 2 ? x ? 0 ? 8、已知函数 f ? x ? ? ? ,则下列关于函数 y ? f ? ? f ? kx ? ? 1? ? ? 1( k ? 0 ) ln x x ? 0 ? ? ? ?

的零点个数的判断正确的是(



A.当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 4 个零点 B.当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 3 个零点 C.无论 k 为何值,均有 3 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9~12 题每题 6 分,第 13~15 题每题 4 分,共 36 分. )
?2 x ? y ? 2 ? 9、若实数 x , y 满足不等式组 ? ax ? y ? 4 ,目标函数 z ? x ? 2 y .若 a ? 1 ,则 z 的 ? y ? ?1 ?

最大值为

;若 z 存在最大值,则 a 的取值范围为



10、一个几何体的三视图如图,其中正视图和侧视图是 相同的等腰三角形,俯视图由半圆和一等腰三角形组 成.则这个几何体可以看成是由 和 组成的,若它的体积是 .

? ?2
6

,则

a?

11、在 ???C 中,若 ?? ? 120 , ?? ? 1 , ?C ? 13 ,
?D ? 1 DC ,则 ?C ? 2

; ?D ?

. ;

12、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a4 ? a9 ? 24 ,则 S9 ?
S8 S10 ? 的最大值为 8 10



13、 ? 是抛物线 y 2 ? 4x 上一点, F 是焦点,且 ? F ? 4 .过点 ? 作准线 l 的垂线, 垂足为 ? ,则三角形 ? F? 的面积为 .

14、设 x , y , z ? 0 ,满足 xyz ? y 2 ? z 2 ? 8 ,则 log4 x ? log2 y ? log2 z 的最大值 是 .

15、 正四面体 ??? C , 其棱长为 1 . 若 ?? ? x?? ? y?? ? z?C ( 0 ? x ,y ,z ? 1 ) , 且满足 x ? y ? z ? 1 ,则动点 ? 的轨迹所形成的空间区域的体积为 .

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分)

已知函数 f ( x ) ? 1 ? 2 sin( x ?

?
8

)[sin( x ?

?
8

) ? cos(x ?

?
8

)] .

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [?

? ?
2 12 ,

] ,求函数 f ( x ?

?
8

) 的值域.

17.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,?ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120? ,点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 . (I)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

P

N
A M B
(第 17 题)

D
C

18.(本题满分 15 分) 已知直线 l : y ? kx ? 1( k ? 0) 与椭圆 3 x 2 ? y 2 ? a 相交于 A、B 两个不同的点, 记l 与 y 轴的交点为 C. (Ⅰ)若 k ? 1 ,且 | AB |?
10 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ)若 AC ? 2CB ,求 ?AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

19.(本题满分 15 分) 设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a, b ? R) 满足条件:① 当 x ? R 时, f ( x ) 的最大值为 0, 且 f ( x ? 1) ? f ( 3 ? x ) 成立;②二次函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? ?2 交于 A 、 B 两点,且
| AB |? 4 .

(Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ ) 求最小的实数 n( n ? ?1) , 使得存在实数 t , 只要当 x ? [n,?1] 时, 就有 f ( x ? t ) ? 2 x 成 立.

20.(本题满分 15 分) 在数列 {a n } 中, a1 ? 3, a n ? a n?1 ? 2 , bn ? a n ? 2 , n ? 2,3, ? . (Ⅰ )求 a 2 , a 3 ,判断数列 {a n } 的单调性并证明; (Ⅱ )求证: | a n ? 2 |?

1 | a n?1 ? 2 | (n ? 2,3, ?) ; 4

(III)是否存在常数 M ,对任意 n ? 2 ,有 b2 b3 ? bn ? M ?若存在,求出 M 的值;若 不存在,请说明理由.

参考答案
一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.C; 2.D; 3.A; 4.B; 5.C; 6.D; 7.B; 8.C.

7. 【解析】 Rt ?ABF 中, OF ? c ,? AB ? 2c ,? AF ? 2c sin? , BF ? 2c cos ?
?| BF ? AF |? 2c | cos ? ? sin? |? 2a ,? e ?

c 1 ? ? a | cos ? ? sin? |

1 2 | cos(? ?

?
4

)|

?

?
12

?? ?
?
4 )?[

?
6

,?

?
3

?? ?

?
4

?

5? , 12

? cos(? ?

6? 2 1 ? 3 ?1 2 , ], 2 | cos(? ? ) |? [ , ] ? e ? [ 2 , 3 ? 1]. 4 2 4 2 2

1 1 .则有 f ( kx) ? ?1 或 ? 1 . e e 1 1 (1) 当 k ? 0 时, ①若 x ? 0 , 则 kx ? 0 ,e kx ? 2 ? ?1 或 e kx ? 2 ? ? 1 ,kx ? 0 或 ln(1 ? ) , e e
8. 【解析】令 f ( x ) ? ?1 ,则得 x ? 0 或 x ?

1 ln(1 ? ) 1 1 e (舍) 解得 x ? 0 或 x ? ;②若 x ? 0 ,则 kx ? 0 , ln( kx) ? ?1 或 ? 1 ,解得 kx ? k e e
1 ( ?1) 或e e ,

x?

1 或 ke

e

1 ( ?1) e

k

,均满足.

所以,当 k ? 0 时,零点有 3 个;同理讨论可得, k ? 0 时,零点有 3 个. 所以,无论 k 为何值,均有 3 个零点. 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9.6, ( 0,10) 13. 4 3 14.【解析】 10.一个三棱锥,半个圆锥,1 14. 11.3,
5 2 12

7 3

12.72,64

3 2

15.

log4 x ? log2 y ? log2 z ? log4 xy 2 z 2 , xy 2 z 2 ? yz[8 ? ( y 2 ? z 2 )] ? yz(8 ? 2 yz ) ? 2 ? yz(4 ? yz ),
又 yz(4 ? yz ) ? (

yz ? 4 ? yz 2 3 ) ? 4 ,所以 xy 2 z 2 ? 8 , log4 x ? log2 y ? log2 z ? .当且仅当 2 2

y ? z ? 2 , x ? 2 时,等号成立.
15.【解析】点 P 的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去 正四面体 OABC 的部分.易得其体积为
5 2 . 12
C

B
O

(第15题) A

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ? 2 sin( x ?

?
8

)[sin( x ?

?
8

) ? cos(x ?

?
8

)] .

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [?

? ?
2 12 ,

] ,求函数 f ( x ?

?
8

) 的值域.

16.【解析】(I) f ( x ) ? 1 ? 2 sin( x ?

?
8

)[sin( x ?

?
8

) ? cos(x ?

?
8

)]

? 1 ? 2 sin2 ( x ? ? cos(2 x ?

?
8

) ? 2 sin( x ?

?
8

) ? cos( x ?

?
8

)

?
4

) ? sin(2 x ?

?
4

)

? 2 sin(2 x ?

?
4

?

?
4

) ? 2 sin(2 x ?

?
2

) ? 2 cos 2 x ……5 分

所以, f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)由(I)可知 f ( x ?

2? ? ? .……7 分 2

?
8

) ? 2 cos 2( x ?

?
8

) ? 2 cos(2 x ?

?
4

) .……9 分

? x ? [?

? ?
2 12 ,

] ,? 2 x ?

?
4

? [?

3? 5? , ] ,……11 分 4 12

? cos(2 x ?

?
4

) ? [?

2 ,1] , 2

? f (x ?

?
8

) ? [?1, 2 ] .

所以, f ( x ?

?
8

) 的值域为 [?1, 2 ].……14 分

17.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,?ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120? ,点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 . (I)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

P

N
17. 【解析】 (Ⅰ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC , 所以 AD ? CD , ?CDA ? 120? ,所以 DM ? 所以 BM : MD ? 3 : 1 ……4 分 在等腰直角三角形 PAB中, PA ? AB ? 4, PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 : 1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD . 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN // 平面 PDC .……7 分 (Ⅱ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD ,分别以 AB , AD , AP 为 x 轴, 以 B(4,0,0), C ( 2,2 3 ,0), D(0, 由(Ⅰ)可知, DB ? (4,?
4 3 ,0), P (0,0,4) . 3

A M
(第 17 题)

D
C

B 2 3 , 3

y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系,所

4 3 ,0) 为平面 PAC 的法向量……10 分 3

P N A M D C

PC ? (2,2 3 ,?4), PB ? (4,0,?4) ,
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , B x

y

? ? ? n ? PC ? 0 ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 则? ,即 ? , ? ? ?4 x ? 4 z ? 0 ? n ? PB ? 0

令 z ? 3 ,则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3 ,3) ……13 分 设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 则 cos? ?

n ? DB | n | ? | DB |

?

7 , 7

所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为 18.(本题满分 15 分)

7 .……15 分 7

已知直线 l : y ? kx ? 1( k ? 0) 与椭圆 3 x 2 ? y 2 ? a 相交于 A、B 两个不同的点, 记l 与 y 轴的交点为 C. (Ⅰ)若 k ? 1 ,且 | AB |?
10 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ)若 AC ? 2CB ,求 ?AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程. 18. 【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) .

?y ? x ? 1 1 1? a (Ⅰ) ? 2 , ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? 2 2 4 ?3 x ? y ? a
| AB |? 2 | x 1 ? x 2 |? 2 ? a ? 3 10 ? ? a ? 2 .……5 分 4 2

? y ? kx ? 1 (Ⅱ) ? 2 ? ( 3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? a ? 0 , 2 ?3 x ? y ? a
? x1 ? x 2 ? ? 2k 1? a , x1 x 2 ? ,……7 分 2 3? k 3 ? k2

由 AC ? 2CB ? (? x1 ,1 ? y1 ) ? 2( x 2 , y 2 ? 1) ? x1 ? ?2 x 2 ,代入上式得:
x1 ? x 2 ? ? x 2 ? ? 2k 3?k
2

? x2 ?

2k 3 ? k2

,……9 分

S ?AOB ?

3|k | 1 3 3 3 3 | OC | | x 1 ? x 2 |? | x 2 |? ? ? ? ,……12 分 2 3 2 2 2 3?k ?|k| 2 3 |k|

当且仅当 k 2 ? 3 时取等号,此时 x 2 ?

2k 3?k
2

, x1 x 2 ? ?2 x 2 ? ?2

2

4k 2 (3 ? k )
2 2

??

2 . 3

又 x1 x 2 ?

1? a 3?k
2

?

1? a 1? a 2 ,因此 ?? ?a?5. 6 6 3

所以, ?AOB 面积的最大值为 19.(本题满分 15 分)

3 ,此时椭圆的方程为 3 x 2 ? y 2 ? 5 .……15 分 2

设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a, b ? R) 满足条件:① 当 x ? R 时, f ( x ) 的最大值为 0, 且 f ( x ? 1) ? f ( 3 ? x ) 成立;②二次函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? ?2 交于 A 、 B 两点,且
| AB |? 4 .

(Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ ) 求最小的实数 n( n ? ?1) , 使得存在实数 t , 只要当 x ? [n,?1] 时, 就有 f ( x ? t ) ? 2 x 成立. 19.【解析】 (Ⅰ)由 f ( x ? 1) ? f ( 3 ? x ) 可知函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? 1 ,……2 分 由 f ( x ) 的最大值为 0,可假设 f ( x) ? a( x ? 1) 2 (a ? 0) . 令 a( x ? 1) 2 ? ?2 , x ? 1 ?
?2 ?2 1 ? 4,a ? ? . ,则易知 2 a a 2

1 所以, f ( x ) ? ? ( x ? 1) 2 .……6 分 2
(Ⅱ)由 f ( x ? t ) ? 2 x 可得, ?

1 ( x ? 1 ? t ) 2 ? 2 x ,即 x 2 ? 2(t ? 1) x ? (t ? 1) 2 ? 0 , 2

解得 ? t ? 1 ? 2 t ? x ? ?t ? 1 ? 2 t .……8 分 又 f ( x ? t ) ? 2 x 在 x ? [n,?1] 时恒成立,可得

? ?? t ? 1 ? 2 t ? n ? ? ? ? t ? 1 ? 2 t ? ?1

(1) ( 2)



由(2)得 0 ? t ? 4 .……10 分 令 g(t ) ? ?t ? 1 ? 2 t ,易知 g(t ) ? ?t ? 1 ? 2 t 单调递减,所以, g(t ) ? g(4) ? ?9 , 由于只需存在实数 t ,故 n ? ?9 ,则 n 能取到的最小实数为 ? 9 . 此时,存在实数 t ? 4 ,只要当 x ? [n,?1] 时,就有 f ( x ? t ) ? 2 x 成立.……15 分 20.(本题满分 15 分) 在数列 {a n } 中, a1 ? 3, a n ? a n?1 ? 2 , bn ? a n ? 2 , n ? 2,3, ? . (Ⅰ )求 a 2 , a 3 ,判断数列 {a n } 的单调性并证明;

(Ⅱ )求证: | a n ? 2 |?

1 | a n?1 ? 2 | (n ? 2,3, ?) ; 4

(III)是否存在常数 M ,对任意 n ? 2 ,有 b2 b3 ? bn ? M ?若存在,求出 M 的值;若 不存在,请说明理由. 20.【解析】 (Ⅰ)由 a1 ? 3, a n ? a n?1 ? 2 易知, a 2 ? 5 , a 3 ? 由 a1 ? 3, a n ? a n?1 ? 2 易知 a n ? 0 . 由 an ? an?1 ? 2 得, a n 2 ? a n?1 ? 2 (1) ,则有 a n?1 2 ? a n ? 2 (2) ,由(2)-(1)得
2 2 a n?1 ? a n ? a n ? a n?1 , (a n?1 ? a n )(a n?1 ? a n ) ? a n ? a n?1 , ? a n ? 0 ,所以 a n?1 ? a n 与

5 ? 2 .……2 分

a n ? a n?1 同号.由 a 2 ? a1 ? 5 ? 3 ? 0 易知, a n ? a n?1 ? 0 ,即 a n ? a n?1 ,可知数列 {a n } 单

调递减. ……5 分
2 2 (Ⅱ)由 a n ? a n?1 ? 2 可得, a n ? 4 ? a n?1 ? 2 , (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n?1 ? 2 ,

所以, | a n ? 2 |?

| a n ?1 ? 2 | .……7 分 an ? 2

由 (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n?1 ? 2 易知, a n ? 2 与 a n?1 ? 2 同号,由于 a1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 0 可知,
? an ? 2 ? 0 , ?an ? 2 ? 4 , 即 an ? 2 , 1 1 1 ? , 所以 | a n ? 2 |? | a n?1 ? 2 | , 得证. ……10 an ? 2 4 4
a n ?1 ? 2 a ?2 ,即 b n ? n ?1 , an ? 2 an ? 2

分 (III)? (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n?1 ? 2 , a n ? 2 ? 则 b2 b3 ? bn ? 由 | a n ? 2 |?

a ? 2 a1 ? 2 a1 ? 2 a 2 ? 2 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? .……13 分 a2 ? 2 a3 ? 2 an ? 2 an ? 2 an ? 2

1 | a n?1 ? 2 | 可知, 4 1 1 1 1 1 | a n ? 2 |? | a n ?1 ? 2 |? 2 | a n ? 2 ? 2 |? 3 | a n ? 3 ? 2 |? ? ? n ?1 | a 1 ? 2 |? n ?1 , 4 4 4 4 4 1 1 ? 4 n ?1 ,因为 a n ? 2 ,所以 ? 4 n ?1 .当 n ? ? 时, 4 n ?1 ? ? ,故 所以, | an ? 2 | an ? 2

不存在常数 M ,对任意 n ? 2 ,有 b2 b3 ? bn ? M 成立. ……15 分


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