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高一数学三角函数的积化和差与和差化积同步练习


3.3 三角函数的积化和差与和差化积 同步练习
1.下列等式错误的是( ) A.sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB B.sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB C.cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB D.cos(A+B)-cos(A-B)=2sinAcosB 解析:选 D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知 A、B、C 正确. 2.sin15° sin75° =( ) 1 1 A. B. 8 4 1 C. D.1 2 解析:选 B.sin15° sin75° = 1 - [cos(15° +75° )-cos(15° -75° )] 2 1 =- (cos90° -cos60° ) 2 1 1 1 =- (0- )= . 2 2 4 3.sin105° +sin15° 等于( ) 3 2 A. B. 2 2 6 6 C. D. 2 4 105° +15° 105° -15° 6 解析:选 C.sin105° +sin15° =2sin cos =2sin60° cos45° = . 2 2 2 4.sin37.5° cos7.5° =________. 1 解析:sin37.5° cos7.5° = [sin(37.5° +7.5° )+sin(37.5° -7.5° )] 2 1 = (sin45° +sin30° ) 2 2+1 1 2 1 = ? + ?= . 2? 2 2? 4 2+1 答案: 4 一、选择题 1.sin70° cos20° -sin10° sin50° 的值为( 3 A. 4 1 C. 2 解析:选 A.sin70° cos20° -sin10° sin50° 1 1 = (sin90° +sin50° )+ (cos60° -cos40° ) 2 2 1 1 1 1 3 = + sin50° + - cos40° = . 2 2 4 2 4 2.cos72° -cos36° 的值为( )

) 3 2 3 D. 4 B.

A.3-2 3 1 C.- 2

1 B. 2 D.3+2 3

72° +36° 72° -36° 解析:选 C.原式=-2sin sin 2 2 =-2sin54° · sin18° =-2cos36° cos72° sin36° cos36° cos72° sin72° cos72° =-2· =- sin36° sin36° sin144° 1 =- =- ,故选 C. 2sin36° 2 C 3.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 ,则△ABC 是( ) 2 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 1 1 解析:选 B.由已知等式得 [cos(A-B)-cos(A+B)]= (1+cosC),又 A+B=π-C.所以 2 2 cos(A-B)-cos(π-C) =1+cosC. 所以 cos(A-B)=1,又-π<A-B<π,所以 A-B=0,所以 A=B,故△ABC 为等腰三角 形.故选 B. π? 4.函数 y=sin? ) ?x-6?cosx 的最大值为( 1 1 A. B. 2 4 2 C.1 D. 2 π x- ?cosx 解析:选 B.y=sin? ? 6? π ?? π 1? = sin?x-6+x?+sin? ?x-6-x?? 2? π 1 1 sin?2x- ?- ? = ? 6 2? 2? π 1 1 2x- ?- . = sin? 6? 4 2 ? 1 1 1 ∴ymax= - = . 2 4 4 1 5.若 cos(α+β)cos(α-β)= ,则 cos2α-sin2β 等于( ) 3 2 1 A.- B.- 3 3 1 2 C. D. 3 3 1 解析:选 C.cos(α+β)cos(α-β)= (cos2α+cos2β) 2 1 = [(2cos2α-1)+(1-2sin2β)] 2 =cos2α-sin2β, 1 ∴cos2α-sin2β= . 3 π π x+ ?-sinx(x∈[0, ])的值域是( 6.函数 y=sin? ) ? 3? 2 1 3 A.[-2,2] B.?- , ? 2 2 ? ?

1 3 D.? , ? 2 2 ? ? π? π? π ? ? 解析:选 B.y=sin?x+3?-sinx=2cos?x+6?sin 6 π =cos(x+ ). 6 π? ∵x∈? ?0,2?, π π 2π ∴ ≤x+ ≤ , 6 6 3 1 3 ∴y∈?- , ?. 2 2 ? ? 二、填空题 7.cos275° +cos215° +cos75° · cos15° 的值等于________. 2 2 解析:y=sin 15° +cos 15° +cos75° · cos15° 1 5 =1+ (cos90° +cos60° )= . 2 4 5 答案: 4 2π 1 8.已知 α-β= ,且 cosα+cosβ= ,则 cos(α+β)等于________. 3 3 α+β α-β α+β 1 π α+β 解析:cosα+cosβ=2cos cos =2cos cos =cos = , 2 2 3 2 2 3 α+β 1 7 ∴cos(α+β)=2cos2 -1=2× -1=- . 2 9 9 7 答案:- 9 π 2π x+ ?cos?x+ ?的最大值是______. 9.函数 y=cos? 3 ? ? ? 3? π?? 1 解析:y= ? cos?2x+π?+cos? ?-3?? 2? π 1 1 1 -cos2x+cos ?= - cos2x, = ? 3? 4 2 2? 3 因为-1≤cos2x≤1,所以 ymax= . 4 3 答案: 4 三、解答题 10.化简下列各式: cosA+cos?120° +B?+cos?120° -B? (1) ; sinB+sin?120° +A?-sin?120° -A? sinA+2sin3A+sin5A (2) . sin3A+2sin5A+sin7A cosA+2cos120° cosB 解:(1)原式= sinB+2cos120° sinA cosA-cosB = sinB-sinA A+B B-A 2sin sin 2 2 A+B = =tan . 2 A+B B-A 2cos sin 2 2 1 ? C.? ?2,1?

?sinA+sin5A?+2sin3A (2)原式= ?sin3A+sin7A?+2sin5A 2sin3Acos2A+2sin3A = 2sin5Acos2A+2sin5A 2sin3A?cos2A+1? sin3A = = . 2sin5A?cos2A+1? sin5A 11. 在△ABC 中,若 B=30° ,求 cosAsinC 的取值范围. 解:由题意得 1 cosAsinC= [sin(A+C)-sin(A-C)] 2 1 = [sin(π-B)-sin(A-C)] 2 1 1 = - sin(A-C). 4 2 ∵-1≤sin(A-C)≤1, 1 1 1 3 ∴- ≤ - sin(A-C)≤ , 4 4 2 4 1 3 - , ?. ∴cosAsinC 的取值范围是? ? 4 4? 5 sin x 2 1 12.已知 f(x)=- + ,x∈(0,π). 2 x 2sin 2 (1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式; (2)求 f(x)的最小值. 5x x sin -sin 2 2 解:(1)f(x)= x 2sin 2 3x 2cos sinx 2 3x x = =2cos cos x 2 2 2sin 2 =cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1. 1 9 (2)∵f(x)=2(cosx+ )2- , 4 8 且-1<cosx<1. 1 9 ∴当 cosx=- 时,f(x)取最小值- . 4 8


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