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2013届西南模高三数学知识点总结九立体几何(定稿)


2013 届西南模高三数学知识点总结九:立体几何 一、球面上 A,B 两点的球面距离= ?AOB
1.位于同一纬度线上两点的球面距离

?R

1? 在小圆中求AB的长
⌒ 3? 用弧长公式l ? R?,求 AB 球面

2? 解三角形AOB,求?AOB

例1

已知

,B 两地都位于北纬 ,求

,又分别位于西经 40°和东经 50°处,设

地球半径为

,B 的球面距离.
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

⑴ A,B 两点间纬线的长度;⑵求 A,B 两点的球面距离

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2.位于同一经线上两点的球面距离 例 2 求东经 线上,纬度分别为北纬 球半径为 ) . 和 的两地 ,B 的球面距离. (设地

3.逆用 例 3: (1)半径为 1 的球面上有三点 A、B、C,其中 A 和 B、A 和 C 的球面距离 π π 为 ,B 和 C 的球面距离为 ,求球心 O 到平面 ABC 的距离 . 2 3 (2)设地球半径为 R,地球上 A、B 两点都在北纬 45?的纬线上,A、B 两点的球 ? 面距离是 R,A 在东经 20?,求 B 点的位置________ 3

(3)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积 是 .

二.轴截面与展开图
圆锥的轴截面: 1.轴截面的顶角为 ? ,截面等腰三角形的顶角为 ? , 0 ? ? ? ? ,则截面面积为 当 0 ? ? ? 90 时,面积最大的截面就是轴截面,最大截面面积为:
0

1 2 l sin ? , 2

当 ? ? 90 时,面积最大的截面不是轴截面,而是过顶点且顶角为
0

? 的截面,最大截面面积 2

1 2 l sin ? ; 2

1 为 l2 。 2
2. 圆锥的侧面展开图是扇形:展开图是半圆 ? 轴截面等边三角形 ? l=2r 圆心角: ? ?

C 2 , S侧 ? ?rl ,球: S侧 ? 4π R l

V?

4 3 ?R 3

小题精选 1、若圆锥的侧面展开图是半径为 1cm、圆心角为 180? 的半圆,则这个圆锥的轴截面面 积等 于 .

2.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 R 的半圆,则这个圆锥的底面积是________. 3. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积
0

cm2 .

4.设函数

? 1 ? x 2 , x ? [?1,0) ? ,则将 y ? f (x) 的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的 f ( x) ? ? ? 1 ? x, x ? [0,1] ?

体积为____________.
5.如图:已知各顶点都在半球面上的正三棱锥 S—ABC,若 AB= a ,则该三棱锥的体积为__.

6.用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为 45 ,

0

容器的高为 10cm,制作该容器需要_______ cm 的铁皮
450
10 cm

2

第(6)题

三.相关结论
1、直线与平面所成角的范围是 [0,

?

] ;两异面直线所成角的范围是 (0, ] .二面角 ?0,? ? 2 2

?

[例 1]设 A、B、C、D 分别表示下列角的取值范围: (1)A 是直线倾斜角的取值范围; (2) B 是锐角; (3)C 是直线与平面所成角的取值范围; (4)D 是两异面直线所成角的取值范围. 用“ ? ”把集合 A、B、C、D 连接起来得到__________. [例 2]已知线段 AB 长为 3,A、B 两点到平面 ? 的距离分别为 1 与 2,则 AB 所在直线与 平面 ? 所成角的大小为_________;

2、长方体:对角线长为 l ,则 l ? a ? b ? c .
2 2 2 2

(1)若长方体的对角线与三棱所成角分别为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1; (2)若长方体的对角线与三面所成角分别为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 . [例]长方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 AC1 与过 A 点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? , 若? ? A、

?
4

,? ?

?
3

,则 ? =――――――――――――――――――――――――( B、



? ; 6

? ; 4
2 3 a 12

C、

? 、 3
6 a 4

D、不确定.

3. 注意:正四面体与正三棱锥,正方形与正四棱柱区别 正四面体的高

6 a 3

体积为

外接球的半径为

内切球的半径为

6 a 12

例:已知正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的底面边长为 2, A D ? 13 . 1 1 (1)求该四棱柱的侧面积与体积; (2)若 E 为线段 A1D 的 中点,求 BE 与平面 ABCD 所成角的大小.
D1 C1

A1 E D

B1

C

A

B

4.类比与补体: “墙角”补长方体或正方体,球内接长方体或正方体 (1)我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆,那么凸多边形的面积 S、周长 c 与内切圆半径 r 之间的关系为 S ?

1 cr 。类比这个结论,在空间中,如果已知一个凸多面体 2

有内切球,且内切球半径为 R,那么凸多面体的体积 V、表面积 S'与内切球半径 R 之间的 关系是 。 (2)已知长方体的三条棱长分别为 1 ,1 , 2 ,并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面 上,则此球的表面积为____________

5.求角与距离,体积: (回家重点总结)
例 1.如图,△ ABC 中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 30
0 0

, BC ? 3 ,在三角形内挖去一

个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M ,与 BC 交于点 N ) , 将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体。 A (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. M

C

O 第1题

N

B

例 2.如图: ABCD ? A B C1 D 是棱长为 2 的正方体, P 为面对角线 1 1 1 , AD1 上的动点(不包括端点) PM ? 平面 ABCD 交 AD 于点 M , A1

D1

C1

B1

MN ? BD 于 N 。
(1) A ? , PN 长表示为 x 的函数 f ( x ) , 设 P x 将 并求此函数的值域; (2)当 PN 最小时,求异面直线 PN 与 AC1 所成角的大小。 1 A P D N M B C

例 3(理)

如 图 , 已 知 直 角 梯 形 ACDE 所 在 的 平 面 垂 直 于 平 面 ABC , ?BAC ? ?ACD ? 90? , ?EAC ? 60? , AB ? AC ? AE .

( Ⅰ ) 在直 线 BC 上 是 否 存在 一 点 P , 使 得 DP / / 平 面 EAB ?请证明你的结论; (Ⅱ)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

例 2 解: (1)由题知: PM ? MN ,则△ PMN 是直角三角形。

AP ? x ? PM ? AM ?

2 x 2

MD ? 2 ?

2 1 x ? MN ? 2 ? x 2 2

PN ? PM 2 ? MN 2 ?

3 2 x ? 2x ? 2 4
5分

即 f ( x) ?

3 2 x ? 2 x ? 2 (0 ? x ? 2 2) 4
2 3 3 2 3 2 2 2 3 , 2) 。 x ? 2x ? 2 ? (x ? ) ? ,所以 f ( x) ? [ 3 4 4 3 4 2 2 2 3 时, PN min ? 3 3

f ( x) ?

7分

(2)当 x ?

因为 AC1 / / AC , AC ? BD ,则 AC / / MN 。即有 AC1 / / MN ,所以 ?PNM 即为异面 1 1 直线 PN 与 AC1 所成的角。 1 在 直 角 三 角 形 AMN 中 PM ? 10 分

2 2 3 2 3 AP ? , PN ? , sin ?PNM ? ,则 2 3 3 3
14 分

3 3 ?P N M? a r c s i n 。所以直线 PN 与 AC1 所成的角为 arcsin 。 1 3 3
例 3、解(1)连接 OM ,则 OM ? AB

? BC ? 3, ?ABC ? 300 ,? AC ? 1, AB ? 2 ,
解:(Ⅰ)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P . 证明如下: 取 AB 的中点 F 连结 DP、FP、EF ,则

????3 分

E

D

1 FP / / AC , FP ? AC 2 取 AC 的中点 M ,连结 EM 、EC , ? ∵ AE ? AC 且 ?EAC ? 60 , ∴ ?EAC 是正三角形,∴ EM ? AC . ∴四边形 EMCD 为矩形, 1 ED ? MC ? AC ∴ 2
F B

M A P

C

又∵ ED / / AC , ∴ ED / / FP 且 ED ? FP ,四边形 EFPD 是平行四边形. ∴ DP / / EF ,而 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB ,∴ DP / / 平面 EAB . (Ⅱ) (法 1)过 B 作 AC 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 DG ,∵ ED / / AC , ∴ ED / / l , E D l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱. ∵平面 EAC ? 平面 ABC , DC ? AC ,∴ DC ? 平面 ABC , 又∵ l ? 平面 ABC , ? DC ? l ,∴ l ? 平面 DGC ,∴ l ? DG , ∴ ?DGC 是所求二面角的平面角. 设 AB ? AC ? AE ? 2a ,则 CD ? 3a, GC ? 2a , ∴ GD ? GC ? CD ? 7a ,
2 2

M A
F P

C

7 G B ? (法 2)∵ ?BAC ? 90 ,平面 EACD ? 平面 ABC , ∴以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 z 轴在平面 EACD 内(如图) . 设 AB ? AC ? AE ? 2a ,由已知,得 B(2a,0,0), E(0, a, 3a), D(0, 2a, 3a) . ??? ? ??? ? ∴ EB ? (2a, ?a, ? 3a), ED ? (0, a,0) , z ? E 设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ? ??? ? ??? ? ? 则 n ? EB 且 n ? ED , ? ??? ? ?n ? EB ? 0 ?2ax ? ay ? 3az ? 0 ? ? ? ? ? ??? ? ?? ?n ? ED ? 0 ?ay ? 0 ? ? M
A

∴ cos ? ? cos ?DGC ? GC ? 2 7

GD

D

C

y
P

? 3 z ?x ? 2 解之得 ? ?y ? 0 ?
取 z ? 2 ,得平面 EBD 的一个法向量为 n ? ( 3,0, 2) .

F

x

B

?

?? n' ? (0,0,1) . 又∵平面 ABC 的一个法向量为 ? ?? 3 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ?1 2 7 cos ? ? cos ? n, n' ? ? ? 7 ( 3) 2 ? 02 ? 22 ? 02 ? 02 ? 12 .


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