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4等差数列等比数列知识点与训练题(含答案)


4.等差数列与等比数列

1.等差、等比数列: 等差数列 定义 通项 公式
{ a n }为 A ? P ? a n ? 1 ? a n ? d ( 常数) ? 2 a n ? a n ?1 ? a n ? 1 an

等比数列
{ a n }为 G ? P ?
2

a n ?1 an

? q ( 常数)

? a n ? a n ?1 ? a n ? 1

= a 1 +(n-1)d;
Sn ?

an=ak+(n-k)d
;
d 2 n ( n ? 1) 2
2

an=a1qn-1; an=akqn-k
? na 1 ? ? ? a 1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q
2

n ( a1 ? a n )

( q ? 1) ( q ? 1)

求和 公式

S n ? n a1 ?

sn

Sn ? An ? Bn .

中项 公式 1 2

A=

a?b 2

推广:2 a n = a n ? m ? a n ? m

G

2

? ab . 推广: a n

? a n?m ? a n?m

若 m+n=p+q 则 a m ? a n ? a p ? a q 若 { k n } 成 A.P (其中 k n ? N ) { a k } 则
n

若 m+n=p+q,则 a m a n ? a p a q 。 若 { k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) , 则 { a k } 成等比数列。
n

性 质

也为 A.P。
s n , s 2 n ? s n , s 3 n ? s 2 n 成等差数列。
d ? a n ? a1 n ?1 ? am ? an m ?n (m ? n)

3 4

s n , s 2 n ? s n , s 3 n ? s 2 n 成等比数列。
q
n ?1

?

an a1

, q

n?m

?

an am

(m ? n)

2.判断{an}等差数列有以下三种方法: ① a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2 , d 为常数 ) ②2 a n ? a n ? 1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). 3.判断{an}等比数列有以下四种方法: ① 2 ① a n ? a n ?1 q ( n ? 2 , q 为常数 , 且 ? 0 ) ② a n ? a n ? 1 ? a n ?1 ( n ? 2 , a n a n ? 1 a n ?1 ? 0 ) 4.数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?
? s 1 ? a 1 ( n ? 1) ? s n ? s n ?1 ( n ? 2 )

注:非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) ....
1

一.选择题 1.已知等差数列 { a n } 中, a 7 ? a 9 ? 16 , a 4 ? 1, 则 a 12 的值是 A 15 B 30 C 31 又 2 a 8 ? a 4 ? a 12 ,? a 12 ? 15

( D 64

)

A [解析]:已知等差数列 { a n } 中, a 7 ? a 9 ? 16 , 又 a 7 ? a 9 ? 2 a 8 ,? a 8 ? 8 2.在各项都为正数的等比数列 n} {a 中, 首项 a1=3 , 前三项和为 21, a3+ a4+ a5=( 则 A 33 B 72 C 84 D 189 C [解析]:在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21 故 3+3q+3q2 =21,解得 q=2, 因此 a3+ a4+ a5=21 ? 2 =84
2

)

3.已知等差数列 ?a n ? 的公差为 2,若 a 1 , a 3 , a 4 成等比数列, 则 a 2 = A –4 B –6 C –8 D –10 B [解析]:已知等差数列 ?a n ? 的公差为 2,若 a 1 , a 3 , a 4 成等比数列, 则 ( a 2 ? 2 ) ? ( a 2 ? 2 )( a 2 ? 4 ), ? a 2 ? ? 6
2

(

)

4.如果数列 { a n } 是等差数列,则 A. a 1 ? a 8 ? a 4 ? a 5 B. a 1 ? a 8 ? a 4 ? a 5 B [解析]: ∵ a 1 ? a 8 ? a 4 ? a 5 ? 2 a 1 ? 7 d ∴故选 B

(

)

C. a 1 ? a 8 ? a 4 ? a 5 D. a 1 a 8 ? a 4 a 5

5.已知由正数组成的等比数列{an}中,公比 q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则 a1·a4·a7·…·a28= ( ) A 25 B 210 C 215 D 220 A [解析]:已知由正数组成的等比数列{an}中,公比 q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则 a2·a5·a8·…·a29= a1·a4·a7·…·a28·210 ; a3·a6·a9·…·a30= a1·a4·a7·…·a28·220 A 667 C [解析]: B ,故 668 a1·a4·a7·…·a28=25 ) C 669 D 670 6. ? a n ? 是首项 a 1 =1,公差为 d =3 的等差数列,如果 a n =2005,则序号 n 等于 (

? a n ? 是首项 a 1 =1,公差为 d =3 的等差数列,如果 a n =2005,

则 1+3(n-1)=2005,故 n=669 7.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-c, 则 c=1 是数列{an}为等比数列的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 C
? ?3 ? c [解析]:数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-c, 则 an= ? ? 2 ? 3 n ?1 ? ( n ? 1) (n ? 2)

由等比数列的定义

可知:c=1 ? 数列{an}为等比数列 8.在等比数列 n} a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 那么公比 q 的取值范围是( {a 中, A q>1 B 0<q<1 C q<0 D q<1 B [解析]:在等比数列{an}中, a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 则 an<anq, 即 an(1-q)<0, 若 q<0,则数列{an}为正负交错数列,上式显然不成立; 若 q>0,则 an<0,故 1 -q>0,因此 0<q<1
2

)

9.等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a 1 =1, a 2 是 a 1 和 a 5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90

B. 100

C. 145
?1

D. 190

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

10.已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数, b 为不等于 1 的常数, 且 g(n)= ?


(n ? 0)

? f [ g ( n ? 1)] ( n ? 1)

, 设

an= g(n)-g(n-1) (n∈N ), 则数列{an}是 ( ) A 等差数列 B 等比数列 C 递增数列 D 递减数列 B [解析]:已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数, b 为不等于 1 的常数, 且 g(n)= ?
?1 (n ? 0) ? f [ g ( n ? 1)] ( n ? 1)

,则 g(1)=b+1,g(2)=b2+b+1,g(3)=b3+ b2+b+1, ┉,g(n)= b +┉+
n

b2+b+1. a1=b,a2= b2,a3= b3, ┉, a n ? b , 故数列{an} 是等比数列
n

二.填空题 11. 在 和
3 8 27 2 8 27 2

之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为____. 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,设插入三个数为 a、b、c,

[解析]:在 和
3

则 b2=ac= ?
3

8

27 2

? 36 , 因此插入的三个数的乘积 为 36 ? 6 ? 216
a 1 (3
n

12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=

? 1)

2

(对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1=_____.
n

[解析]:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= 则 a4=S4-S3
a 1 ( 81 ? 1) 2 ? a 1 ( 27 ? 1) 2

a 1 (3

? 1)

2

(对于所有 n≥1),

? 27 a 1 ,且 a4=54,则 a1 =2

13.等差数列{an}的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为 [解析]:∵{an}等差数列 , ∴ Sm,S2m-Sm , S3m-S2m 也成等差数列 即 2(S2m-Sm)= Sm + (S3m-S2m), ∴S3m=3(S2m-Sm)=210

.

14.设等比数列 { a n } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q= ______ [解析]:设等比数列 { a n } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列, 则2Sn=Sn+1+Sn+2 (*).
n

若 q=1, 则 Sn=na1, (*)式显然不成立,
? a 1 (1 ? q 1? q
n ?1

若 q ? 1,则(*)为 2
n n ?1

a 1 (1 ? q ) 1? q

)

?

a 1 (1 ? q 1? q

n?2

)

?q 故 2q ? q , 即 q2+q-2=0, 因此 q=-2 三.解答题 * 15.已知数列 {log 2 ( a n ? 1)} n ? N ) 为等差数列,且 a 1 ? 3 , a 3 ? 9 . 求
n?2

(1)数列 { a n } 的通项公式; (2) 求数列{an}的前 n 项的和
3

解:设等差数列 {log 2 ( a n ? 1)} 的公差为 d. 由 a 1 ? 3 , a 3 ? 9 得 2 (log
2

2 ? d ) ? log

2
n

2 ? log

2

8 , 即 d=1.

所以 log 2 ( a n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1)? ? n , 即 a n ? 2 ? 1 . 16.设数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn=2n2, { b n } 为等比数列,且 a 1 ? b1 , b 2 ( a 2 ? a 1 ) ? b1 . Ⅰ.求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式; Ⅱ.设 c n ? (Ⅰ)当 n ? 1时 , a 1 ? S 1 ? 2 ;
当 n ? 2 时 , a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 n ? 2 ( n ? 1)
2 2

an bn

,求数列 { c n } 的前 n 项和 Tn.

? 4 n ? 2,

故{an}的通项公式为 a n ? 4 n ? 2 , 即{ a n }是 a 1 ? 2 , 公差 d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 q , 则 b1 qd ? b1 , d ? 4 ,? q ?
n ?1 ? 2? 故 b n ? b1 q

1 4

.
2 4
n ?1

1 4
n ?1

, 即 { b n }的通项公式为

bn ?

.

(II)? c n ? a n ? 4 n ? 2 ? ( 2 n ? 1) 4 n ?1 ,
bn 2 4
n ?1

? T n ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ? [1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? ( 2 n ? 1) 4
1 2

n ?1

],

4 T n ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? ( 2 n ? 3 ) 4
2 3

n ?1

? ( 2 n ? 1) 4 ]
n

两式相减得
3T n ? ? 1 ? 2 ( 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4
1 2 3 n ?1

) ? ( 2 n ? 1) 4

n

?

1 3

[( 6 n ? 5 ) 4 ? 5 ]
n

? Tn ?

1 9

[( 6 n ? 5 ) 4 ? 5 ].
n

17.已知等比数列 n} {a 的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前 n 项中, 最大的项为 54, 求 n 的值. 解: 由已知 an>0, 得 q>0, 若 q=1, 则有 Sn=na1=80, S2n=2na1=160 与 S2n=6560 矛盾,
? a 1 (1 ? q n ) ? 80 ? ? 1? q ∵? 2n a (1 ? q ) ? 1 ? 6560 ? 1? q ? (1)

故 q≠1.

, 由(2)÷(1)得 qn=81
(2)

(3).

∴q>1, 此数列为一递增数列, 在前 n 项中, 最大一项是 an, 即 an=54. 又 an=a1qn-1= ∴a1=
54 81

a1 q

qn=54, 且 qn=81,
2 3
4

q. 即 a1=

q.

将 a1= 即
2 3

2 3

q 代入(1)得

2 3

q(1-qn)=80(1-qn),

q(1-81)=80(1-q), 解得 q=3. 又 qn=81, ∴n=4.

18.已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. Ⅰ.求 q 的值; Ⅱ.设{ b n }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n ≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.. 解: (Ⅰ)由题设 2 a 3 ? a 1 ? a 2 , 即 2 a 1 q 2 ? a 1 ? a 1 q ,
? q ? 1或 ? 1 2 .

? a 1 ? 0 ,? 2 q

2

? q ? 1 ? 0.

(Ⅱ)若 q ? 1, 则 S n ? 2 n ? 当 n ? 2时 , S n ? b n ? S n ? 1 ? 若q ? ?
1 2 ,则 S n ? 2n ?

n ( n ? 1)

?1 ?

n ? 3n
2

.

2 ( n ? 1)( n ? 2 )
2

2
? 0.
2

故 S n ? bn .
.

n ( n ? 1) 2

(?

1

)?

? n ? 9n

当 n ? 2时 , S n ? b n ? S n ? 1

2 4 ( n ? 1)( n ? 10 ) ? ? , 4

故对于 n ? N ? , 当 2 ? n ? 9时 , S n ? b n ; 当 n ? 10 时 , S n ? b n ; 当 n ? 11时 , S n ? b n .

5


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