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高一数学《2.3.3-2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质》


2.3.3-2.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质
云阳中学高一数学组

复习引入
问题:若一条直线与一个平面垂直,则
可得到什么结论?若两条直线与同一个

平面垂直呢?

讲授新课
(1)如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中, 棱AA

'、BB'、CC'、DD'所在直线都垂直 于平面ABCD,它们之间是有什么位置关 系? D' A' D A B B' C C'

讲授新课
(2)如图,已知直线a⊥? 、b⊥?, 那么直线a、b一定平行吗?我们能否 证明这一事实的正确性呢?
a b

?

a⊥平面?,b⊥平面?, 已知:

求证:a∥b.

a

b

?

a⊥平面?,b⊥平面?, 已知:

求证:a∥b.

a

b O

?

a⊥平面?,b⊥平面?, 已知:

求证:a∥b.

a

b

b' O

?

a⊥平面?,b⊥平面?, 已知:

求证:a∥b.

a

b

b' O

?
?

a⊥平面?,b⊥平面?, 已知:

求证:a∥b.

a

b

b'

?

cO

?

a⊥平面?,b⊥平面?, 已知:

求证:a∥b.

a

b

b'

(反证法)

?

cO

?

a⊥平面?,b⊥平面?, 已知:

求证:a∥b.

a

b

b'

(反证法)

?

cO

?
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.

练习1. 两个平面互相垂直,下列命题正确 的是 ( ) A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一 个平面内的任意一条直线 B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一 个平面内的无数条直线 C. 一个平面内的任意一条直线必垂直于 另一个平面 D. 过一个平面内任意点作交线的垂线, 则此垂线必垂直于另一个平面.

练习1. 两个平面互相垂直,下列命题正确 的是 ( ) A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一 个平面内的任意一条直线 B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一 个平面内的无数条直线 C. 一个平面内的任意一条直线必垂直于 另一个平面 D. 过一个平面内任意点作交线的垂线, 则此垂线必垂直于另一个平面. 练习2. 教材P.71练习第1、2题

若在两个平面互相垂直的条件下,又会得 出怎样的结论呢?

例如:如何在黑板面上画一条与地面垂直 的直线?

若在两个平面互相垂直的条件下,又会得 出怎样的结论呢?

例如:如何在黑板面上画一条与地面垂直 的直线?
定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直 于交线的直线与另一个平面垂直.

思考 设平面?⊥平面β,点P在平面?内,
过点P作平面β的垂线a,直线a与平面? 具有什么位置关系?

?
B C D a P

?

例 如图,已知平面?,β,?⊥β,直线a 满足a⊥β, a??,试判断直线a与平面?

的位置关系.

?
b
a

β

练习3. 教材P.73练习第1、2题

练习4.下列命题中,正确的是 ( ) A. 平面外一点,可作无数条直线和这个 平面垂直 B. 过一点有且仅有一个平面和一条定直 线垂直 C. 若异面,过一定可作一个平面与垂直 D. 异面,过不在上的点,一定可以作一 个平面和都垂直.

练习5. 如图,P是△ABC所在平面外一点,

PA=PB,CB⊥平面PAB,M是PC的中点,
N是AB上的点,AN=3NB.

求证:MN⊥AB.
M C N B

P

A

练习5. 如图,P是△ABC所在平面外一点,

PA=PB,CB⊥平面PAB,M是PC的中点,
N是AB上的点,AN=3NB.

求证:MN⊥AB.
M C

P

A Q N B

课堂小结
1. 请归纳一下本节学习了什么性质定理, 其内容各是什么? 2. 类比两个性质定理,你发现它们之间 有何联系? 3. 直线、平面垂直的性质有哪些? 4. 线线、线面、面面之间的关系的转化 是解决空间图形问题的重要思想方法.

课后作业
1. 复习本节课内容,理清脉络;
2. 《习案》第十六课时.


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