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【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版):第十三章 系列4选讲 13-2 Word版含解析


基础达标检测 一、选择题 π 2π 8π 1.若 P(-2,-3)是极坐标系中的一点,则 Q(2, 3 )、R(2, 3 )、 5π 4π M(-2, 3 )、N(2,2kπ- 3 )(k∈Z)四点中与 P 重合的点有____________ 个( ) A.1 C.3 [答案] D π 2π π [解析] (-2,-3)的统一形式(2,2kπ+ 3 )或(-2,2kπ-3)(k∈

Z), π 故四个点都与 P(-2,-3)重合. 2.(2013· 安徽理,7)在极坐标系中,圆 ρ=2cosθ 的垂直于极轴的 两条切线方程分别为( ) B.2 D.4

A.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=2 π B.θ=2(ρ∈R)和 ρcosθ=2 π C.θ=2(ρ∈R)和 ρcosθ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=1 [答案] B [解析] 本题考查了极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.由 ρ =2cosθ 得 x2+y2-2x=0. ∴(x-1)2+y2=1,圆的两条垂直于 x 轴的切线方程为 x=0 和 x=

π 2.故极坐标方程为 θ=2(ρ∈R)和 ρcosθ=2,故选 B. 二、填空题 3.(文)(2013· 广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,以 极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数 方程为________.
? ?x=1+cosφ [答案] ? (φ 为参数) ?y=sinφ ?

[解析] 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化. 将方程化为
? ?x=1+cosφ 直角坐标方程为(x-1) +y =1,则曲线 C 的参数方程为? ? ?y=sinφ
2 2

(φ 为参数).
? ?x= 2cost (理)(2013· 广东高考)已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参 ?y= 2sint ?

数),C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为________. π [答案] ρsin(θ+4)= 2
? ?x= 2cost, [解析] 将? 消去参数 t 可得,x2+y2=2. ?y= 2sint, ?

设 A(1,1),则 kOA=1, ∴C 在点 A 处切线斜率 k=-1, 故切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0. 将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入得 ρcosθ+ρsinθ-2=0. π 整理得 ρsin(θ+4)= 2. 4.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴

为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. [答案] x2+y2-4x-2y=0 [解析] 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化. 因为 ρ=2sinθ+4cosθ,所以 ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ, 即 x2+y2=2y+4x,即 x2+y2-4x-2y=0.
? ?x=t+1, 5.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (t 为参数)与 ? ?y=1-2t ? ?x=asinθ, 曲线 C2:? (θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a ?y=3cosθ ?

=________. 3 [答案] 2 [解析] 本题考查参数方程与普通方程互化. x2 y2 由题意知,曲线 C1:y=-2x+3,C2:a2+ 9 =1,又知有一个公 3 共点在 x 轴上,∴(a,0)在 y=-2x+3,得 a=2. 6.(2014· 深圳一模)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴
? ?x= t, 的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C1 的参数方程为? (t 为参 ? ?y=t+1

数),曲线 C2 的极坐标方程为 ρsinθ-ρcosθ=3,则 C1 与 C2 交点在直角 坐标系中的坐标为________. [答案] (2,5) [解析] 将曲线 C1 的参数方程和曲线 C2 的极坐标方程分别转化为 直角坐标方程 C1:y=x2+1,C2:y-x=3,
2 ? ? ? ?y=x +1 ?x=2, ?x=-1 由? 解得? 或 ? (舍去). ?y-x=3, ? ? ? ?y=5, ?y=2

故交点坐标为(2,5). 三、解答题
? ?x=2cost, 7.(2013· 新课标Ⅱ)已知动点 P,Q 都在曲线 C? (t 为参 ?y=2sint ?

数)上,对应参数 t=α 与 t=2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数, 并判断 M 的轨迹是 否过坐标原点. [解析] (1)依题意有 P(2cosα,2sinα),Q (2cos2α,2sin2α), 因此 M(cosα+cos2α,sinα+sin2α),
? ?x=cosα+cos2α, M 的轨迹的参数方程为? (α 为参数,0<α<2π). ?y=sinα+sin2α, ?

(2)M 点到坐标原点的距离 d= x2+y2= 2+2cosα(0<α<2π), 当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 8.(2013· 辽宁理,23)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系,圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ= π 4sinθ,ρcos(θ-4)=2 2. (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. 已知直线 PQ

?x=t +a, 的参数方程为? b 3 ?y=2t +1

3

(t∈R 为参数),求 a,b 的值.

[解析] (1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4. 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.

2 2 ? ? ?x +?y-2? =4, ?x1=0, ? 解 得? ?x+y-4=0 ? ? ?y1=4,

? ?x2=2, ? ?y2=2. ?

π π 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为(4,2),(2 2,4). 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. b ab 由参数方程可得 y=2x- 2 +1. b ? ?2=1, 所以? ab ? - ? 2 +1=2,
? ?a=-1, 解得? ? ?b=2.

能力强化训练 一、选择题 π? ? 1.在极坐标系中点?2,3?到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为(
? ?

)

A.2 C. π2 1+ 9

B. D. 3

π2 4+ 9

[答案] D [解析] 本题主要考查极坐标的知识以及极坐标与直角坐标的互
? ?

π? ? 化 , 考 查 两 点 间 的 距 离 公 式 , 极 坐 标 ?2,3? 化 为 直 角 坐 标 为 π π? ? ?2cos ,2sin ?, 圆的极坐标方程 ρ=2cosθ 可化为 ρ2=2ρcosθ, 3 3? 即(1, 3), ? 化为直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,所以圆心坐标 为(1,0),则由两点间距离公式 d= ?1-1?2+? 3-0?2= 3,故选 D.

2.抛物线 x2-2y-6xsinθ-9cos2θ+8cosθ+9=0 的顶点的轨迹是 (其中 θ∈R)( A.圆 C.抛物线 [答案] B 1 [解析] 原方程变形为: y=2(x-3sinθ)2+4cosθ.设抛物线的顶点为
? ?x=3sinθ x2 y2 (x,y),则? ,消去参数 θ 得轨迹方程为 9 +16=1.它是椭圆. ?y=4cosθ ?

) B.椭圆 D.双曲线

二、填空题 3.曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. [答案] ρ=2cosθ [解析] 本题考查了圆的极坐标方程与圆的一般方程与极坐标方

程互化,∵x2+y2-2x=0,∴x2+y2=2x,将 ρ2=x2+y2,x=ρcosθ 代 入得,ρ=2cosθ. 4.(2013· 陕西高考)如图,以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数,则 圆 x2+y2-x=0 的参数方程为________.

[答案]

2 ? ?x=cos θ ? (θ 为参数) ? ?y=sinθcosθ

1 1 [解析] 将 x2+y2-x=0 配方得(x-2)2+y2=4, ∴圆的直径为 1,设 P(x,y),则 x=|OP|cosθ=1×cosθ×cosθ=cos2θ, y=|OP|sinθ=1×cosθ×sinθ=sinθcosθ,
2 ? ?x=cos θ ∴圆 x +y -x=0 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=sinθcosθ ? 2 2

5.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴
?x=t+1, ? π 建立极坐标系.已知射线 θ=4与曲线? 2 (t 为参数)相交于 A, ? ?y=?t-1?

B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为________. 5 5 [答案] (2,2) [解析] 本题考查极坐标与参数方程.
? ?x=t+1, 由? 化为普通方程 y=(x-2)2① 2 ?y=?t-1? , ?

π 由 θ=4化为直角坐标方程 y=x② 联立①②,∴(x-2)2=x,即 x2-5x+4=0, 5 5 ∴x1+x2=5,∴中点坐标为(2,2). 6.(2013· 重庆高考)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ρcosθ=4 的直线与曲
2 ? ?x=t , 线? (t 为参数)相交于 A、B 两点,则|AB|=________. 3 ?y=t ?

[答案] 16 [解析] 本题考查极坐标方程与参数方程的有关计算问题.

2 ? ?x=t 3 直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 x=4,又? 3 ,∴x = ?y=t ?

y2(x≥0)
?x=4 ?x=4 ?x=4 ? ? ? 由? 3 2 ,得? 或? ? ? ? ?x =y ?y=8 ?y=-8.

∴|AB|= ?4-4?2+?8+8?2=16. 三、解答题 7.(2013· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程
? ?x=t+1, 为? (t 为参数),曲线 C 的参数方程为 ?y=2t ?
2 ? ?x=2tan θ, ? (θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求 ? ?y=2tanθ

出它们的公共点的坐标.
?x=t+1, ? [解析] 因为直线 l 的参数方程为? (t 为参数),由 x=t ? ?y=2t

+1 得 t=x-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x.
? ?y=2?x-1?, 1 联立方程组? 2 解得公共点的坐标为(2,2),(2,-1). ?y =2x, ?

8.(2013· 新课标Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为
? ?x=4+5cost, ? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ?y=5+5sint, ?

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

[解析]

? ?x=4-5cost, (1)将? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+ ?y=5+5sint, ?

(y-5)2=25, 即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
? ?x=ρcosθ 将? ,代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得, ? ?y=ρsinθ

ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.
2 2 ? ? ? ?x +y -8x-10y+16=0, ?x=1, ?x=0, 由? 2 2 解得? 或? ?x +y -2y=0, ? ? ? ?y=1, ?y=2.

π π 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为( 2,4),(2,2).


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