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第3章 第7节 正弦定理和余弦定理


人教 A 版数学 2016 届复习资料



名:

沈金鹏 数学学院 数学与应用数学

院 、 系: 专 业:

2015 年 12 月 10 日

1

2010~2014 年高考真题备选题库 第 3 章 三角函数、解三角形 第 7

节 正弦定理和余弦定理
1.(2014· 课标Ⅰ,16,5 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,a =2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 解析:由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c-b)c,即(a+b)· (a-b)=(c-b)c,即 b2+c2-a2 b2+c2-a2 1 π =bc,所以 cos A= = ,又 A∈(0,π),所以 A= ,又 b2+c2-a2=bc≥2bc-4, 2bc 2 3 1 1 3 即 bc≤4,故 S△ABC= bcsin A≤ ×4× = 3,当且仅当 b=c=2 时,等号成立,则△ABC 2 2 2 面积的最大值为 3. 答案: 3 2.(2014· 福建,12,4 分)在△ABC 中,A=60° ,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等 于________. 解析:法一:在△ABC 中,根据正弦定理,得 AC BC 4 2 3 = ,所以 = ,解得 sin B sin A sin B sin 60°

sin B=1,因为 B∈(0° ,120° ),所以 B=90° ,所以 C=30° ,所以△ABC 的面积 S△ABC= 1 · AC· BC· sin C=2 3. 2 法二:在△ABC 中,根据正弦定理,得 AC BC 4 2 3 = ,所以 = ,解得 sin B=1, sin B sin A sin B sin 60°

因为 B∈(0° ,120° ),所以 B=90° ,所以 AB= 42-?2 3?2=2,所以△ABC 的面积 S△ABC= 1 · AB· BC=2 3. 2 答案:2 3 3.(2014· 天津,12,5)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c 1 = a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________. 4 1 解析:由已知及正弦定理,得 2b=3c,因为 b-c= a,不妨设 b=3,c=2,所以 a=4, 4 b2+c2-a2 1 所以 cos A= =- . 2bc 4 1 答案:- 4 4.(2014· 江苏,14,5 分)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小

2

值是________. a2+b2-c2 解析: 由正弦定理可得 a + 2 b = 2c ,又 cos C = = 2ab 1 a2+b2- ?a+ 2b?2 4 = 2ab

3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab 6- 2 ≥ = ,当且仅当 3a= 2b 时取等号,所以 cos C 的 8ab 8ab 4 最小值是 6- 2 . 4 6- 2 4

答案:

5.(2014· 辽宁,17,12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.

? ??? ? ??? 1 已知 BA · BC =2,cos B=3,b=3.求:
(1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值.

? ??? ? ??? 1 解:(1)由 BA · acos B=2,又 cos B= ,所以 ac=6. BC =2 得 c· 3
由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B. 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13.
? ?ac=6 解? 2 2 ,得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. ?a +c =13 ?

因 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 1?2 2 2 1-? ?3? = 3 ,

c 22 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= · = . b 3 3 9 因 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 1-sin2C= 4 2?2 7 1-? = . ? 9 ? 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= · + · = . 39 3 9 27 6.(2014· 湖南,18,12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7

(1)求 cos∠CAD 的值; (2)若 cos∠BAD=- 7 21 ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

3

AC2+AD2-CD2 解析:(1)如题图,在△ADC 中,由余弦定理,得 cos∠CAD= . 2AC· AD 7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = . 7 2 7 (2)如题图,设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 于是 sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD = = 3 21 2 7 ? 21 7 × - - ?× 14 7 7 ? 14 ? 3 . 2 BC AC = . sin α sin∠CBA 21 2 7?2 1-? = , 7 ? 7 ?

1-?-

?

7?2 3 21 = . 14 14 ?

在△ABC 中,由正弦定理, 7× 21 6

AC· sin α 故 BC= = sin∠CBA

3 2 =3.

1 7.(2014· 课标Ⅱ,4,5 分)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 C.2 B. 5 D.1

)

1 1 2 解析:选 B 由题意可得 AB· BC· sin B= ,又 AB=1,BC= 2,所以 sin B= ,所 2 2 2 以 B=45° 或 B=135° . 当 B=45° 时,由余弦定理可得 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos B=1, 此时 AC=AB=1,BC= 2,易得 A=90° , 与“钝角三角形”条件矛盾,舍去. 所以 B=135° .由余弦定理可得 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos B= 5.

8.(2014· 江西,4,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a

4

π -b)2+6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 3 3 C. 2

) 9 3 B. 2 D.3 3

π 解析:选 C 由 c2=(a-b)2+6 可得 a2+b2-c2=2ab-6 ①.由余弦定理及 C= 可得 3 a2+b2-c2=ab ②. 所以由①②得 2ab-6=ab,即 ab=6. 1 π 1 3 3 3 所以 S△ABC= absin = ×6× = . 2 3 2 2 2 9.(2014· 重庆,10,5 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C 1 -A-B)+ ,面积满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一 2 定成立的是( ) B.ab(a+b)>16 2 D.12≤abc≤24

A.bc(b+c)>8 C.6≤abc≤12

1 解析:选 A 因为 A+B+C=π,由 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ 得 sin 2A 2 1 1 +sin 2B+sin 2C= ,即 sin[(A+B)+(A-B)]+sin [(A+B)-(A-B)]+sin 2C= ,整理得 2sin 2 2 1 1 Ccos(A-B)+2sin Ccos C=2sin C[cos(A-B)-cos(A+B)]= ,整理得 4sin Asin Bsin C= , 2 2 1 1 1 1 1 即 sin Asin Bsin C= .又 S= absin C= bcsin A= casin B,因此 S3= a2b2c2sin Asin Bsin C= 8 2 2 2 8 1 2 2 2 1 a b c .由 1≤S≤2 得 1≤ a2b2c2≤23,即 8≤abc≤16 2,因此选项 C,D 不一定成立.又 64 64 b+c>a>0,因此 bc(b+c)>bc· a≥8,即 bc(b+c)>8,选项 A 一定成立.又 a+b>c>0,因此 ab(a+b)>ab· c≥8,即 ab(a+b)>8,显然不能得出 ab(a+b)>16 2,选项 B 不一定成立.综 上所述,选 A.

? ??? ? ??? π 10.(2014· 山东,12,5 分)在△ABC 中,已知 AB ·AC =tan A,当 A= 时,△ABC 的 6
面积为________.

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? π 解析:根据平面向量数量积的概念得 AB ·AC =| AB |· | AC |cos A,当 A= 时,根据 6 ? 2 ? ??? ? ??? ? ??? 1 ??? π 1 已知可得| AB |· | AC |= ,故△ABC 的面积为 | AB |· | AC |· sin = . 3 2 6 6
1 答案: 6
5

π 11.(2014· 北京,15,13 分)如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 3 BC 边上,且 CD=2, 1 cos∠ADC= . 7 (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 解:(1)在△ADC 中,因为 1 4 3 cos∠ADC= ,所以 sin∠ADC= . 7 7 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B = = 4 3 1 1 3 × - × 7 2 7 2 3 3 14

(2)在△ABD 中,由正弦定理得 3 3 8× 14 AB· sin∠BAD BD= = =3. sin∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos∠B 1 =82+52-2×8×5× 2 =49. 所以 AC=7. 12.(2014· 陕西,16,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 解:(1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cos B= = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2
6

当且仅当 a=c 时等号成立. 1 ∴cos B 的最小值为 . 2 13.(2014· 安徽,16,12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b =3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; π? (2)求 sin? ?A+4?的值. 解:(1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. (2)由余弦定理得 b2+c2-a2 9+1-12 1 cos A= = =- . 2bc 6 3 由于 0<A<π, 所以 sin A= 1-cos2A= 1 2 2 1- = . 9 3

π? π π 故 sin? ?A+4?=sin Acos4+cos Asin4 = 1 2 2 2 2 4- 2 - ?× = × +? . 3 2 ? 3? 2 6

14. (2014· 浙江, 18,14 分)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知 a≠b, c= 3,cos2A-cos2B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sin A= ,求△ABC 的面积. 5 1+cos 2A 1+cos 2B 3 3 解析:(1)由题意得 - = sin 2A- sin 2B, 2 2 2 2 即 3 1 3 1 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B, 2 2 2 2

π π 2A- ?=sin?2B- ?. sin? 6? 6? ? ? π π 由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π),得 2A- +2B- =π, 6 6 2π 即 A+B= , 3 π 所以 C= . 3

7

4 a c 8 (2)由 c= 3,sin A= , = ,得 a= . 5 sin A sin C 5 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A= , 5 4+3 3 故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= , 10 8 3+18 1 所以,△ABC 的面积为 S= acsin B= . 2 25 15. (2014· 大纲全国, 17,10 分)△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 3acos 1 C=2ccos A,tan A= ,求 B. 3 解析:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A, 故 3tan Acos C=2sin C. 1 因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C, 3 1 tan C= .(6 分) 2 所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) = tan A+tan C (8 分) tan Atan C-1

=-1, 即 B=135° .(10 分) π 16. (2013 天津, 5 分)在△ABC 中, ∠ABC= , AB= 2, BC=3, 则 sin ∠BAC=( 4 A. 10 10 B. D. 10 5 5 5 )

3 10 C. 10

解析:选 C 本题考查三角形中余弦定理、正弦定理的应用,意在考查考生分析问题的 能力.由余弦定理可得 AC2=9+2-2×3× 2× 2 3× 2 3 10 BC BC· sin B = ,所以 sin A= = = . sin A AC 10 5 17.(2013 湖南,5 分)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3 b,则角 A 等于( π A. 3 ) π B. 4 2 AC =5,所以 AC= 5.再由正弦定理得 2 sin B

8

π C. 6

π D. 12

解析:选 A 本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程,意在考查考生 的转化能力与三角变换能力.由正弦定理可得,2asin B= 3b 可化为 2sin Asin B= 3sin B, 又 sin B≠0,所以 sin A= 3 π ,又△ABC 为锐角三角形,得 A= . 2 3

18.(2013 陕西,5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C +ccos B=a sinA,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) B.直角三角形 D.不确定

解析:选 B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用.依据题设条件的特点,由 正弦定理,得 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,有 sin(B+C)=sin2A,从而 sin(B+C)=sin A= π sin2A,解得 sin A=1,∴A= ,故选 B. 2 19.(2013 安徽,5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c= 2a,3sin A=5sin B,则角 C=________. 解析:本题考查正弦定理和余弦定理的应用.由 3sin A=5sin B 可得 3a=5b,又 b+c a2+b2-c2 ?5t?2+?3t?2-?7t?2 =2a,所以可令 a=5t(t>0),则 b=3t,c=7t,可得 cos C= = = 2ab 2×5t×3t 1 2π - ,故 C= . 2 3 2π 答案: 3 20.(2013 福建,4 分)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, 2 2 AD⊥AC, sin∠BAC= , AB=3 2, AD=3, 则 BD 的长为________. 3 解析:本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运 算求解能力. 2 2 因为 sin∠BAC= ,且 AD⊥AC, 3 π 2 2 ? 2 2 所以 sin? ?2+∠BAD?= 3 ,所以 cos∠BAD= 3 ,在△BAD 中,由余弦定理得, BD= AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD = 2 2 ?3 2?2+32-2×3 2×3× = 3. 3

答案: 3 1 21.(2013 浙江,4 分)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点,若 sin∠BAM= ,则 3
9

sin∠BAC=________. 解析:本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算 BM AB 有关的问题.考查考生灵活利用公式的能力.△ABM 中,由正弦定理 = sin∠BAM sin∠BMA =
2 2 AB 3 c a +4b a2 2 a 6 ,所以 a= ,整理得(3a2-2c2)2=0 , 2 = ,故 sin∠BAC= = . 2 2 b c 3 c 3 cos∠MAC

答案:

6 3

22.(2013 新课标全国Ⅰ,12 分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB = 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° . 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 解:本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识,意在考 查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力. 1 (1)由已知得,∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° .在△PBA 中,由余弦定理得 PA2=3+ - 4 1 7 7 2× 3× cos30° = .故 PA= . 2 4 2 (2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sin α. 3 sin α 在△PBA 中,由正弦定理得 = , sin 150° sin ?30° -α? 化简得 3cos α=4sin α. 所以 tan α= 3 3 ,即 tan∠PBA= . 4 4

23.(2013 江西,12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C +(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 解:本题主要考查三角变换与解三角形知识,意在考查考生综合运用知识的能力. (1)由已知得-cos(A+B)+cos A cos B- 3 sin Acos B=0, 即有 sin Asin B- 3 sin Acos B=0, 因为 sin A≠0,所以 sin B- 3 cos B=0,又 cos B≠0,所以 tan B= π 所以 B= . 3 (2)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B. 3,又 0<B<π,

10

1?2 1 1 因为 a+c=1,cos B= ,所以 b2=3? ?a-2? +4. 2 1 1 又 0<a<1,于是有 ≤b2<1,即有 ≤b<1. 4 2 24.(2012 天津,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b =5c,C=2B,则 cos C=( 7 A. 25 7 C.± 25 ) 7 B.- 25 24 D. 25

sin C 解析: 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B, 由正弦定理及 8b=5c 得 cos B= = 2 sin B c 4 4 7 = ,所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=2×( )2-1= . 2b 5 5 25 答案:A 25.(2012 新课标全国,12 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解:(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π 1 由于 sin C≠0,所以 sin(A- )= . 6 2 π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 26.(2012 浙江,14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A 2 = ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2 5 解:(1)因为 0<A<π,cos A= ,得 sin A= 1-cos2A= . 3 3

11

又 5cos C=sin B=sin (A+C) =sin Acos C+cos Asin C = 5 2 cos C+ sin C. 3 3

所以 tan C= 5. (2)由 tan C= 5,得 sin C= 于是 sin B= 5cos C= 5 . 6 5 1 ,cos C= . 6 6

a c 由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3. sin A sin C 1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S= acsin B= . 2 2 27.(2011 辽宁,5 分)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB b +bcos2A= 2a,则 =( a A.2 3 C. 3
2

) B.2 2 D. 2

解析:由正弦定理,得 sin AsinB+sinBcos2A= 2sinA,即 sinB· (sin2A+cos2A)= 2sinA, b sinB 所以 sinB= 2sinA.∴ = = 2. a sinA 答案:D 28.(2011 新课标全国,5 分)在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为 ____. AB AC BC AC 3 解析:在△ABC 中,根据 = = ,得 AB= · sinC= sinC=2sinC,同理 sinC sinB sinA sinB 3 2 2 BC=2sinA,因此 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sinC+4sin( π-C)=4sinC+2 3cosC=2 7 3 sin(C+φ)(tanφ= 答案:2 7 π 29.(2011 北京,5 分)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,tanA=2,则 sinA=____; 4 a=____. 解析:因为△ABC 中,tanA=2,所以 A 是锐角,且 sinA =2,sin2A+cos2A=1,联立解 cosA 3 ),因此 AB+2BC 的最大值为 2 7. 2

2 5 a b 得 sinA= ,再由正弦定理得 = ,代入数据解得 a=2 10. 5 sinA sinB
12

2 5 答案: 5

2 10

30.(2010 辽宁,12 分) (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)求 sinB+sinC 的最大值. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. b2+c2-a2 由余弦定理得 cosA= , 2bc 1 故 cosA=- ,A=120° . 2 (2)由(1)得:sinB+sinC=sinB+sin(60° -B) = 3 1 cosB+ sinB 2 2

=sin(60° +B). 故当 B=30° 时,sinB+sinC 取得最大值 1. 31. (2010 湖南, 5 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c.若∠C=120° , c= 2a,则( A.a>b C.a=b ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

解析:法一:由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120° ,b2+ab-a2=0, b b 即( )2+ -1=0, a a b -1+ 5 = <1, a 2 故 b<a. 法二:由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120° , a2 b2+ab-a2=0,b= , a+b 由 a<a+b 得,b<a. 答案:A b a 32.(2010 江苏,5 分)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + = a b tanC tanC 6cosC,则 + 的值是________. tanA tanB 1 解析:取 a=b=1,则 cosC= , 3
13

4 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC= , 3 2 3 ∴c= , 3 在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, 2 2 又 sinC= ,tanC=2 2, 3 ∴ tanC tanC + =4. tanA tanB

a2+b2 a2+b2-c2 b a 3 另解:由 + =6cosC 得, =6· ,即 a2+b2= c2, a b ab 2ab 2 ∴ tanC tanC cosA cosB sin2C 2c2 + =tanC( + )= = 2 2 2=4. tanA tanB sinA sinB cosCsinAsinB a +b -c

答案:4

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