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从高考试题谈 高一数学教学


从高考试题谈

__________

高一数学教学
江苏省运河中学 侯培勇

0d58b4b8 溜达啦小说网 www.68la.com 儒道至圣 www.68la.com/read/1/1266/ 爆头巫师 www.68la.com/read/1/1251/ 大明望族 www.68la.com/read/1

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11 年 试 卷 总 体 情 况
必做题:均分 90.82;难度 0.57
填空题 四个层次:
1~4易,5~8较易
均分 17.84 0.9 → 16 → 0.8 →

均分 46.06,难度 0.66
9~11中等,12~14难
10.02 → 2.02 0.2

难度

0.89 → 0.8




0.68
0.6

→ 0.135


低于 08 年的均分 48.35,难度 0.69

解答题:均分 44.76;难度 0.497
15(三角) 均分: 11.01(满14分),难度: 0.79.
16(立几) 均分: 11.15(满14分),难度: 0.80.

17(函数、导数应用)
均分: 9.20 (满14分),难度:0.66. 18(解几) 均分: 7.39 (满16分),难度:0.46 19(数列) 均分:3.18 (满16分),难度:0.20 20(函数) 均分:2.83 (满16分),难度:0.18

附加题:均分 25.99;难度 0.65
? 21(选,平几) ? 21(选,矩阵) 均分:2.60,难度: 0.26 均分:8.90,难度:0.89

? 21(选,参数方程) 均分:9.04,难度:0.90 ? 21(选,不等式) 均分:6.45,难度:0.65

? 22(必,空间向量) 均分:5.84,难度:0.58
? 23(必,计数原理 ) 均分:2.21,难度:0.22

说明 :以上各题数据均是未除零

高考命题与阅卷的指导思想
高考命题的指导思想: 以人为本,考查学生学会了什么,而不是考查 学生不会什么. 要让基础扎实,勤奋学习的学生在高考中取 得理想的成绩,从高考中获取人生成功的体验,而 不是失败的挫折. 为高校、为国家、为社会选拔不同层次的人才 大样本, 小区分. 以能力立意, 以知识为载体 高考阅卷的指导思想: 公平公正, 科学严谨. 科学、高效. 力求科学性和可操作性的完美统一 算理正确,逻辑严谨, 论证充分.关键步骤不可缺失

2 3 k ?2 6k ? 4 ; 12 种 xB ? ; xB ? ? k 2 ? 2 方法 2 ? k 2 1 ? 2k 2 1 ? 1 ? 2 k ? ? 2? ? 2 2 4k 2 2 x y xB ? ? ; x ? 0 0 ? x0 2 2 2 B 2 2 ? 2 ? k ? 1 ? 2k 1 ? 2k 2 x0 ? y0

2

?

?

2 2 3x0 y0 ? 2 x03 8 x0 ? x0 y0 xB ? ; xB ? ; 2 2 2 2 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0

xB

8? y ? x ? ?
2 0

0

2 2 4 x0 y0 4 x0 y0 ? 4 x0 2 ? 3x03 xB ? ? x0 ? ; 2 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4 2 2 2 8 ? k x0 3 k ? 2 x ? ? 2k x0 0 xB ? ; xB ? ? x ? ; 2 0 ? 2 ? k ? x0 2 ? k2 2 ? k2 4 tan? sin ? 6 sin 2 ? cos? ? 8 cos2 ? 6 cos? ? 2 cos3 ? xB ? ? 2 cos? ? ? 2 . 2 2 2 2 4 ? tan ? sin ? ? 4 cos ? sin ? ? 4 cos ?

2 x0 ? y
2

2 0

;

16. 如图, 在四棱锥 P – ABC 中,平面 PAB ⊥ 平 面 ABCD , AB = AD, ∠BAD = 600, E , F 分别是 P AP, AD 的中点. 求证: (1) 直线 EF// 平面 PCD; E (2)平面 BEF ⊥ 平面 PAD . F D (1)∵ E , F 分别是 AP, AD A 的中点, ∴ EF // PD . … … 3 分 … …C 3分 B ? EF ? 面PCD, PD ? 面PCD, ∴ EF// 平面 PCD (2)∵ AB = AD, ∠BAD = 600, ∴ AB = BD , ( 或△ABD是正三角形) 又 F 是 AD 的中点, ∴ BF⊥AD . … … 3 分 BF ? 面ABCD, . ∵平面 PAB ⊥ 平面 ABCD , ? BF ? 面PAD … … 3 分 ∵ AD是交线 ,

g '( x) ? 2 x ? b. ? a ? 0,?3x ? a ? 0, ? 2x ? b ? 0

19.已知 a , b 是实数,函数 f (x) = x 3 + a x , g (x) = x 2 + b x , f `(x) 和 g`(x) 分别是f (x) 和g (x) 的 导函数.若 f `(x)g`(x)≥ 0在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和g (x) 在区间 I 上单调性一致。 (1) 设 a > 0 .若f (x) 和g (x) 在区间 [ – 1, +∞)上 单调性一致, 求 b 的取值范围;

f '( x) ? 3x ? a , 2
2

① ② ? b ? ?2 x 在区间 [ – 1, +∞)上恒成立 . ③ ∴ b ≥ 2 , 因此 b 的取值范围是[ 2, +∞).
说明:以上 3 个至少要有一个.

… …

3分

5分 有一个就行

从高考阅卷谈 __________ 高一数学教学
试题难度: ( 填空题 )
1~4易,5~8较易 9~11中等,12~14难 0.68 → 0.135

均分
难度

17.84
0.89

→ 16
→ 0.8

→ 10.02 → 2.02


18(解几) 均分: 7.39 (满16分),难度:0.46 19(数列) 均分:3.18 (满16分),难度:0.20 20(函数) 均分:2.83 (满16分),难度:0.18 主要区分在 11 – 14 、 18 (3) 、 19 、20

?2 x ? a, x ? 1, 11. 已知实数 a ≠ 0 , 函数 f ( x) ? ? ?? x ? 2a, x ? 1. 若 f ( 1 – a ) = f ( 1 + a ), 则 a 的值为 ______ .
此题很多考生的答案是 :

–1

为什么 ?

没看懂题意, 理解为 x = 1 是函数 f (x) 的对称轴 (1) 当 a > 0 时, 1 – a < 1 , 1 + a > 1 . 3 2 (1 – a ) + a = – (1 + a ) – 2 a ? a ? ? . (舍)

2 (2) 当 a < 0 时, 1 – a > 1 , 1 + a < 1 . 3 – (1 – a ) – 2 a = 2 (1 + a ) + a ? a ? ? . 4 阅读理解是关键 !

12. 在平面直角坐标系中, 已知 P 是函数 f ( x ) = e x ( x > 0 ) 的图像上的动点,该图像在点 P 处的 切线 l 交 y 轴于点 M . 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴 于点 N . 设线段 MN 的中点的从坐标为 t , 则 t 的最大值为 _________ . N(0,n) x x e ?n 1 x) x e ?m P( x ,e x f ' ( x) ? e . ?? x. ?e , M(0,m) x e x

t?

x m ? (1 ? x)e , n ? e ? x . e 1
x x

x x g ( x) ? ? 2 ? x ? e ? x ? x ? 0 ? e

2

x ?m ? n ? ? 1 ? ??2 ? x ?e ?

2?

x? x? e ?

g ' ( x) ? (1 ? x) e x ? e? x

? g ( x)max ? g (1)
1 ?1 e?e . 2

?0,1? ?, (1,??) ?

?

?

?

?

?? (10 年 10)设定义在区间 ? 0, ? ? 上的函数 y = 6 cos x 的图像
? 2?

与 y = 5 tan x 的图像交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂 足为 P 1,直线 PP1 与函数 y = sin x 的图像交于点 P2,则线 段 P1P2 的长为 ____________ .

交于点 P 是什么 ? 点 P1是什么 ? 点 P2是什么 ? 线段 P1P2 的长是什么 ?

P P2 ? P1
2

它们有什么联系 ?

问题就转化为 : 还可以如何表示 ? 已知 6 cos x = 5 tan x , 语言表达能力 则 sin x = ________ .

13 . 设 1 = a1 ≤ a2 ≤ … ≤ a7 , 其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a2 , a4 , a6 成公差为 1 的 3 等差数列, 则 q 的最小值是 __________ .

1≤ a1 ≤ a2 ≤ … ≤ a7
a1,
1

3

a2, a 2≥1

a3,
q
3

a4,

a 5,
2

满足条件否 ? a6, a7

1
必 要 不 充 分

1 ≥1

3

a 2+ 1 q ≥2 2 3
3

a 2+ 2
≥3 3
3

q3

9

3

?q ? 1 ? 2 ? ?q ? 2 ?q 3 ? 3 ?

? q ? 3. ? qmin ? 3.

?

? ? m 2 2 2 14 . 设集合 A ? ??x, y ? ? ( x ? 2) ? y ? m , x, y ? R?, 2 ? ? B ? ?? x, y ? 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R?. 若 A ? B ? ?,

则实数 m 的取值范围是 ______ . m<0 集合 A 是 ?
m=0 m<0 m>0 A 点(2,0) d C 圆盘 圆环d ? | 1 ? 2m | , r ? ?m
2

m>0

AC= 1–2 m

集合 B 是 ? 两条平行直 线之间的区域

2 d? ? 2m 1 2 2 2 2 d ? r ? ?m ? 1? ? 2 d ? r ? 2 ? 1? 2 m 2 m ? 0 ? d 2 ? r 2 ? 0.

?

?

>0

19.已知 a , b 是实数,函数 f (x) = x 3 + a x , g (x) = x 2 + b x , f `(x) 和 g`(x) 分别是f (x) 和g (x) 的 导函数.若 f `(x)g`(x)≥ 0在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和g (x) 在区间 I 上单调性一致。 (1) 设 a > 0 .若f (x) 和g (x) 在区间 [ – 1, +∞)上 单调性一致, 求 b 的取值范围; (2) 设 a < 0 且 a≠b.若 f (x) 和 g (x) 在以 a , b为 端点的开区间上单调性一致, 求 | a – b | 的最大 值。 知识层面: 函数的概念、性质及导数等基础知识 能力层面: 考查灵活运用数形结合、分类讨论的 思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力

f '( x) ? 3x ? a,
2

g '( x) ? 2 x ? b.

(1) 设 a > 0 .若f (x) 和g (x) 在区间 [ – 1, +∞)上 单调性一致, 求 b 的取值范围; 画一张图

f

在“a > 0”条件 2下 '( x) ? 3x ? a ? 0,

问题就转化为:

g '( x) ? 2 x ? b ? 0
–1

在区间 [ – 1, +∞)上恒成立

f '( x) ? 3x ? a,
2

g '( x) ? 2 x ? b.
2

f ' ( x) g ' ( x) ? 0 ? ? 3x ? a ? (2 x ? b) ? 0 2 ? a ? 0,?3x ? a ? 0, ? 2x ? b ? 0
? b ? ?2 x 在区间 [ – 1, +∞)上恒成立 .


(1) 设 a > 0 .若f (x) 和g (x) 在区间 [ – 1, +∞)上 单调性一致, 求 b 的取值范围;

3分

∴ b ≥ 2 , 因此 b 的取值范围是[ 2, +∞). … 5 分 说明:以上 3 个至少要有一个. 有一个就行 符号 “ ≥ ” 写成 “ > ”、答案写成 ( 2, +∞) 都不扣分

f '( x) ? 3x ? a,
2

g '( x) ? 2 x ? b.

? a? ? a ? ? ? f ' ( x) ? 0 x ?? ? ? , ? ? ? ? , ?? ? ? ? ? 3 3 ? ? ? ?

(2) 设 a < 0 且 a≠b.若 f (x) 和 g (x) 在以 a , b为 端点的开区间上单调性一致, 求 | a – b | 的最大 值。

? a a? x ?? ? ? , ? ? f '( x ) ? 0 ? ? ? 3 3 ? ? 解:当 b > 0 时, 0 ? ?a, b ?,

当 b > 0 时? 当 b ≤ 0 时?

f ' (0) ? ab ? 0,

f (x) 和 g (x) 在 ( a , b )上单调性不一致, ……… 3 分 ? b ? 0.

f '( x) ? 3x ? a,
2

g '( x) ? 2 x ? b.

(2) 设 a < 0 且 a≠b.若 f (x) 和 g (x) 在以 a , b为 端点的开区间上单调性一致, 求 | a – b | 的最大 a a 值。 ? ? ? 当 b ≤ 0 时, 在 区间 上 , ?,0? 3 3 ??

当 b ≤ 0 时? ? a? … 2 分 x ?? ?? , ? ? ? f '( x ) ? 0 ? f ' ( x ) g ' ( x ) ? 0 . ? ? ? 3 ? ? a a ? ? 1 ? a ? 0. … 3分 由题意得 a ? ? ? 且 b ? ? ? ,

? a ? x ? ? ? ? ,0 ? ? f '( x) ? 0 3 ? ?

g '( x) ? 2 x ? b ? 0.

1 ?? ? b ? 0. 3

3

3

3



2 分 因此 | a – b |

?

1

验证

方法 2 : a < 0,

f '( x) ? 3x ? a, g '( x) ? 2 x ? b.
2

在以 a , b为端点的开区间上单调性一致 (1) 当 b > 0 时, 为 ( a , b ) a 此时 b > 0 > a , 0 ? ?a, b ?, ? ?
a ? 3

f ' (0) ? ab ? 0,

3

??x ? (b, a), f '( x) ? 3x ? a ? 0
2

f (x) 和 g (x) 在 ( a , b )上单 调性不一致, ? b ? 0. … 3 分 (2) 当 b ≤ 0 时,开区间为 ( a , b ) ? ( b , a ) ? ① 当 b < a < 0 时, ?x ? (b, a) ? g ' ( x) ? 2 x ? b ? 0
2 2 ?3b . 即 a ≤ – 3 x 2 在 ( b , a ) 内恒成立. ? a ? 1 1 ? ? ② |a –当 b |= =a a< –b b≤ ≤0 –时 3 b 2 – b ? ?3? b ? ? ? 6 ? 12 ?

1 1 ? b ? ? 时, | a ? b |max ? . … … … 2 分 6 12 ② 当 a < b ≤ 0 时, 开区间为 ( a , b )
a ? ?. ∴3 x 2+ a ≤ 0在 ( b , a ) 内恒成立 3
2

??x ? (a, b), g '( x) ? 0

1 ? 3a ? a ? 0 ? ? ? a ? 0 … 3 分 3 1 1 ?? ? a ? b ? 0 ?| a ? b |? … 2 分 3 3 1 2 且当 a ? ? , b ? 0 时, f '( x) ? 3x ? a, 3 f ' ( x) g ' ( x) ? 0 g '( x) ? 2 x ? b.
? a ? b max 1 ? . 3
………

a ? 3

1分

20 . 设 M 为部分正整数组成的集合,数列 { an } 的首项 a1 = 1 , 前 n 项和为 sn . 已知对任意的 k ∈M , 当 n > k 时, sn+k + sn–k = 2 ( sn + sk ) 都成 立. (1) 设 M = { 1 } ,a2 = 2 , 求 a5 的值; (2) 设M = { 3 , 4 } , 求数列 { an }的通项公式. 第(1) (2)小题是道什么问题 ? (1) 数列 { an }的首项 a1 = 1 , a2 = 2 ,前 n 项和 为 sn , 当 n > 1 时, sn+1 + sn–1 = 2 ( sn + s1 ) 都 成立.求 a5 的值. an+1 – an = 2 解 : 当 n≥ 2 时 , ? a ? 2 , 2 sn+1 + sn–1 = 2 ( sn + s1 ) ? a ? 2 ? 3 ? 2 ? 8 . 5 Sn+1 – sn = sn – sn–1 + 2 … …… 4 分

(2) 数列 { an }的首项 a1 = 1 , 前 n 项和为 sn , 当 n > 3 时, sn+3 + sn–3 = 2 ( sn + s3 ) 都成立,当 n > 4 时, sn+4 + sn–4 = 2 ( sn + s4 ) 都成立,求数列 { an } 的通项公式 . 当 n > 3 时, sn+3 + sn–3 = 2 ( sn + s3 ) ① n ? 1 ? n sn+4 + sn–2 = 2 ( sn+1 + s3 ) ③ 当 n > 4 时, sn+4 + sn–4 = 2 ( sn + s4 ) ② n ? 1 ? n sn+5 + sn–3 = 2 ( sn+1 + s4 ) ④ ② – ① 得 an+4 – an–3 = 2 a4 , n ? 5 得到 ? 隔 7 项成等差数列 ③ – ① 得 an+4 – an+1 = an+1 – an–2 , ④ – ② 得 an+5 – an+1 = an+1 – an–3 ,

?

?

以上 6 道试题考察了学生的生么能力 ?
数学阅读、语言转化、语言表达能力; 运算求解、空间想象、推理论证能力;

数学建模及解决实际问题的能力; 利用数形结合、分类讨论的思想方法进 行探索、分析与解决问题的综合能力.

学生如何才能获得这些能力?

发展以学生为主体的课堂教学
所有教学都归结为两个字:主动.学生主动 学习是最终的目标.学生是自己活动中的主体, 他们必须通过自主活动来认识事物、掌握知识,

使自己的身心获得发展 . 教师必须为学生主动
学习提供空间 , 教师就是为学生设计一个主动

思维的舞台,创设主动建构的情境,而不只是提
供主动获取知识的机会 .. 知识不是目标 , 而是

通过知识的获得过程 , 使学生形成科学的思维
方式.使学生获得研究方法.

课堂教学内容组织的主要形式
问题情境 →学生活动 →意义建构
提出问题 体验数学
感知数学

→数学理论 →数学运用 →回顾反思
建立数学 应用数学 理解数学

每册教科书中的开篇都有完全相同的说明

问题情境: 提出问题 包括实例、情景、问题、叙述等. 学生活动: 体验数学 包括观察、操作、归纳、猜想、验证、 推理、建立模型、提出方法等个体活动,也 包括讨论、合作、交流、互动等小组活动. 意义建构: 感知数学 包括经历过程、感受意义、形成表象、 自我表征等. 数学理论: 包括概念定义、定理叙述、 模型描述、算法程序等. 建立数学

数学运用 :包括辨别、解释、解决简单问题、 解决复杂问题等. 运用数学
回顾反思 :包括回顾、总结、联系、整合、 拓广、创新、凝缩 (由过程到对象 ) 等.

理解数学 使学生“学会学习” 教师要给学生提供的是学习资源、 学习方法和学习氛围, 帮助学生搭建知识 的“脚手架” ,让学生主动、积极地攀向 知识的高峰,真正成为学习的主人!

自得知识、自觅规律、自悟原理.

目前课堂教学中普遍存在的几个现实: 1. 高一教学高三化,知识教学习题化 很多教师在课堂教学中轻概念、轻过 程,重习题、重综合,高一教学高三化,知 识教学习题化.师生深陷在题海中,苦不 堪言。结果是: 学生概念不会表述,题意不 能理解,解题没有思路,答题不知对错。 2. 重知识、重解题,学法指导跟不上 我们的课堂教学, 备课组、教研组的 教研活动都是在围绕教学方法与解题方法 的研究,缺失对学生学法指导的研究,忽 视了提升成绩的关键是“学生要学会学

3. 立足课本是空,以学生为主体是假 我们天天喊着要立足课本,立足以学 生为主体的教学观.事实上,学生对课本中 的概念都不能准确表述,更不用说深刻理 解,大多数学生教材中很多习题从未做过, 教师在课堂教学中对教材中的例题一带而 过或束之高阁,总想选择能过瘾的“好 题”.以学生为主体,大多体现在问答式教 学上,学生的思维一旦出现错误或与教师 的思维不对路,就终止其思维展示,课堂上 师生的地位不平等,不能充分暴露学生的 思维过程和运算过程,何谈以学生为主体?

4 . 都说时间不够,都怨学生太差

新教材使用 5 年来听到最多的是时间 紧,新课标要求必修 1 – 5 每册书为36个学 时,高一每周 4 学时, 9 周一册书, 时间正好, 我们每周至少开6课时, 为何时间不够用? 对新教材中对知识理解的循序渐进, 教学目 标的螺旋上升理解不透, 学生还没学会走,我 们就领着他去跑, 甚至逼着他去跨栏,跑不动、 跨不过, 就说学生差, 到底是谁差?如此教 下去学生又怎能不差?

必须对新课程标准下的数学教材对课 堂教学的要求有深刻认识 1. 对新课程标准和考纲、考题的学习、研 究与把握 新课程标准的理念是“使学生 通过高中阶段的数学学习,能获得适应现 代生活和未来发展所必须的数学素养,满 足他们个人发展与社会进步的需要”,其 核心就是学生要学会学习。 考纲中 C 级考点和 B 级考点是教材 中统领各个模块整体贯通的主线知识,是 最核心的概念与原理。

研究考题,我们才能准确把握高考需 要学生的哪些能力,要在高考中获得满意 的数学成绩,学生必须准确理解每一个概 念,熟知教材中每一道习题的解法,要有 很好的阅读能力、语言表达能力、语言转 化能力、运算能力、分类讨论能力、探究 拓展能力、数形结合能力。我们的教学才 能做到目标明确,有的放矢。

2. 加强对新教材编写意图的研究, 确立建 构主义教学观 新教材在课程标准的引领下,力图使 学生在丰富的、现实的、与他们经验紧密 联系的背景中去感受数学、建立数学、运 用数学,做到“入口浅,寓意深”。通过 创设恰当的问题情境,促进学生进行观察、 操作、探究和运用等活动去感悟并获得数 学知识与思想方法。在知识的发生、发展 与运用过程中,培养学生的思维能力、创 新意识、应用意识。

教材编写以每章的主背景引领本章内 容,作为本章知识的生长点,每节在章的 背景下给出节的分支背景,在入口较浅的 实例中提出问题,引领学生通过对问题的 研究,从体验数学 → 感知数学 → 建立数 学 → 运用数学 → 理解数学,从问题开始 到问题的成功解决和知识的运用。每册书 开篇都有完全相同的说明,把教学流程写 的非常清楚,一定要反复学习认真领会这 一说明。

说明中的方法就是以学生为主体, 在教师引导下通过学生自学质疑,互动探 究,交流反馈去感知、建立数学知识,在 通过对获得知识的运用去加深理解数学的 教学方法。课堂教学一定要重知识、重过 程,只有让学生自主感受数学、建立数学 和运用数学,才能使学生真正领悟数学的 本质,培养学生的理解能力、运用能力和 探究能力。

自得知识、自觅规律、自悟原理.

3. 对课堂目标、节目标、章目标和总体目 标的了解与细化 课堂教学要有准确的教学目标,教学 要紧盯高考,但是,高考中考题要求的能 力一定不能作为你的课堂目标。对知识的 理解和能力的提升,是一个循序渐进的过 程,要明确细化知识点的课堂目标、节目 标、章目标和高中数学的整体目标,急功 近利一定会事与愿违,一堂课解决不了所 有问题,教学是一门科学,是一门艺术, “教之道在于度”,只有确立准确的课堂 目标和阶段目标,才能较好的把握这个

例如函数部分整体目标是通过函数、 三角函数、数列、导数等很多模块逐步达 到的,函数单调性和最值的问题,只要能 理解定义,会解决一些简单问题就足够了, 困难的问题有导数来解决,在高一刚开始 就把各类难题都拿给学生,只能起到淡化 学生对概念本质的理解,使学生畏惧数学, 厌倦数学,丧失信心,没有兴趣,快速把 他们逼到数学差生的行列。

师生都要从题海中解放出来!

对高一数学课堂教学的建议
1. 要了解初中教学内容,研究学生的原 有认知 要了解我们的教学对象会什么和不会 什么,对学生的“元认知”不了解,如何 确立课堂目标?首先是知识的不衔接,初 中教材对因式分解只要求“提取公式法” 和“公式法”没学十字相乘法,一元二次 方程的根与系数关系,立方和与立方差公 式,三元一次方程组,二元一次方程和二 元二次方程组成的方程组等知识初中都不

这些知识高中教材没讲,但是多处使 用,高考是要考的,要在恰当的时机给以 补充。 初高中数学在学习方法上的差异更需 要我们去关注和研究,初中数学教学是慢 节奏、小容量、多反复,高中数学是时间 紧、快节奏、大容量;初中数学重模仿, 高中数学重创新;初中数学为定量的计算, 高中数学是变量的运算。由于初高中学习 方法的差异,学生的思维习惯和自学能力 也不适应高中数学的学习。

高一年级数学教学,一定要低起点、 小坡度,精讲精练,绝对不能使用题海战 术。初中生未接触过含有字母的问题,分 类讨论又是高考中重点考查的思想方法, 一定要补,但是应该怎么补?必须有一个 很好的规划,一定要由浅入深,循序渐进。 例如求解关于 x 的方程 a x + b = 0 , 高一新生几乎没人会做,二次含参问题就 更不用说了,一开始一定要在例题中出现 从最简单问题开始,讲明为什么要讨论和 怎样讨论。

初中学生对数学概念仅达到感知的层 面,没有建立数学理论,更谈不上对数学 本质的理解,学生没有表述概念的习惯和 能力,高一教学要把数学语言的形成作为 重点工程,使学生从感知数学到会建立数 学理论、运用数学、理解数学的本质。

一起步就大容量、高难度,一步到位。

学生苦不堪言!

2. 形成准确的数学语言,深刻理解每一 个概念 到高三一轮复习时,没有几个学生能 准确表述数学概念,责任不在学生,是教 师的教学出了问题,形不成准确的数学语 言,哪来的语言等价转换、阅读理解与审 题能力? 高考区分学生的第一关不是在探究能 力上,而是阅读理解能力。

教材中每一个数学概念、定义、公理、 定理、公式的形成,都是通过章背景或节 的分支背景,提出问题要求学生通过观察、 操作、归纳、猜想、验证、推理等方法, 在感知数学中,通过生生互动和师生互动 去构建数学理论,教学中一定不可忽视这 一环节,学生对数学概念的记忆、表述、 理解一定要严格要求,要求学生准确理解、 领会、表述每一个概念,掌握没一个概念 的文字语言、符号语言、图形语言。

习题配置要以加深理解数学概念为首 选目标,在 “看概念,演习题,演习题, 悟概念” 的良性循环中去领悟数学的本质。 3. 确立“以学生为主体”的教学观和学习 观 数学知识是不可以传递的,教师只能传 递数学信息, 数学知识是学生“顿悟”的 产物。学生对知识的记忆、理解、领会; 数学思想和方法的融会贯通;数学语言、 阅读理解、空间想像、抽象概括、推理论 证、运算求解、数据处理等基本能力的提 升都不是教师讲出来的,是靠学生自己领 悟来的,必须立足以学生为主体的教学观

教材编写中内容的组织形式为: 问题情境 → 学生活动 → 意义建构 → 数学理论 → 数学运用 → 回顾反思 从提出问题 →体验数学 → 感知数学 → 建 立数学 → 运用数学 → 理解数学.非常适合 课堂教学操作。课堂教学要在知识的发生、 发展过程上留给学生足够的时间,通过问题 设置、学生体验、互动探究去获取数学知识, 领悟数学的本质,增长数学能力。

4. 立足课本,以学好教材为第一教学目标

课堂教学要充分使用好教材中的每一 道例题,最好将例题和教材中重要习题编 写到导学案中,解题回顾时要分析习题对 概念的加深理解作用,要和例题比较解答 的书写是否规范,规范答题是学生在高考 中取得高分的必备环节,课后作业要确保 覆盖教材中每一道习题,要求学生独立完 成教材中每一道应用题。

高考命题的主要来源是课本,课本以 外的难题学生能否打开思路的关键也是对 教材中基本题型求解方法是否做到融会贯 通和对数学概念的深刻理解,应用题是区 分学生考分最关键的试题,应用题大多由 教材中问题改编而得,培养学生求解应用 题的最好手段就是做好教材中的每一道应 用题,从高一抓起,从各章节抓起。

要充分挖掘教材中习题的功效

5. 低起点、严要求、抓规范 高一、高二的教学要紧紧盯住高考试 卷的前100分,起点一定要低,教学和测 试的重点要落在概念的掌握,最基本题型 的解题思路要清晰,数学的规范性要严格 要求,问题论证要紧扣概念,形成严谨的 数学语言。例题和习题的选择坚决遵循以 悟透概念,理解解题的通性通法为首要目 的,严格控制难题数量和试题难度。

6. 严格按照课程标准和考纲进行教学,杜 绝补充超纲内容 课标和考纲中没有的内容坚决不补充 (初中缺失的部分知识必须补充),考纲 以外的知识一定不会考,补充进来只能起 到增加学生的负担,增加解题时打开思路 的难度,在高考中百害而无一利。 7. 加强对学生学习方法的指导,细化对学 生学习的管理

数学教学的主体是学生,学生的学习能力是 提升教学绩效的关键,要对学生如何提前复习课 本,如何进行回顾反思,如何提升运算能力等各 方面及时进行学法指导,加大对学法指导的研究, 上好学法指导课。加大对学生学习的调查、研究 和管理,细化作业布置,认真实施作业检查和批 改。众所周知,教学是三分教七分管,作业布置 要细化到自学的知识,课后必须完成的习题,需 要订正的试卷,作业坚持一课一布置,有布置, 有检查,有批改,有讲评,用管理促效益,向管 理要成绩。

附教学案例 - - - 余弦定理

1.2 余弦定理
江苏省运河中学 侯培勇

问题 1 : 三角形可以由哪些条件确定 ? 1 . 两角和两角的夹边 已知两角和两角的夹边 如何求其它的边和角 ? B 2 . 两边和两边的夹角 c 已知两边和两边的夹角

如何求其它的边和角 ? 3 . 三条边 已知三条边如何 求三个角 ?

A c a

b b

C

问题 2 : 在△ABC 中, 如 B 何用 b , c , A 表示 a ? c 即: 已知 b , c , A 如何求 a ? A

b

C

请从特殊情形去试验、探索、猜想 ?

A ? 90
C b A a c

?

b ? c, A ? 60 b ? c, A ? 120
?
C b a
b C a

B

A

c

B

A

c

B

a2

=

b2

+

c2

a=b=c

a2 = 3b2 = 3c2

A ? 90
C b A a c

?

b ? c, A ? 60 b ? c, A ? 120
?
C b a
C

b = cb
B
A

a

B

A

c

c

B

2 = 3b2 = 3c2 a a = b = c = + a2 = b2 = c2 a2 = b2 + c2 + ? = b2 + c2 + ? = b2 + c2 + ?

a2

b2

c2

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

思考 : 能否概括出一个用 b , c , A 表示 a 的式子同时满足以上三个特例 ?

C b 对 A = 90°的直角三角形和顶角为特殊 角的两个等腰三角形我们概括出上述等式,它 C 是否为问题 2 的正确答案呢 ? 仅当 b = c 时是否成立 ? a b a 2 = 2 b 2 ( 1 – cos A ) = 2 b 2 – 2 b 2 cos A A B c A = b 2 + c 2 – 2 b c cos A a ? 2b sin 这时我们有什么样的猜想? 2

a ? b ? c ? 2bc cos A A
2 2 2

问题 2 : 在△ABC 中, 如 何用 b , c , A 表示 a ?

B
c

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

猜想 : 在△ABC 中

B c

对任意△ABC 如何证 A C b 明上一结论 ? 点拨 : 在哪里可以出现对 cos A 的计算 ? 数量积 直角三角形 三角函数定义 B B B c c c b A C

A

b

C A

b

C

请选择恰当的方法独立证明上述结论.

[ 向量证法 ]

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2
B

? ? ?
BC
所以

BC ? AC ? AB 2
2

? AC ? AB
2 2

? AC ? AB ? 2 AC ? AB

? b ? c ? 2bc cos A

? ? ? ?
2 2

?

c
2

A
2

b

C

a ? b ? c ? 2bc cos A
2

余弦定理 :

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

如何用文字语言表述余弦定理 ? 三角形任何一边的平方等于其他两 边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍.

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

[ 坐标证法 ( 解析法 ) ]
A(0,0),C(b,0), B ( c cos A , c sin A ) . c A
2

B C

a 2 = BC 2
2

? ?b ? c cos A? ? ?c sin A? 2 2 2 2 2 ? b ? 2bc cos A ? c cos A ? c sin A
2

b

? b ? c ? 2bc cos A
2

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

[ 构造直角三角形 ]

(1) 当 A = 90°时 , 显然成立 ; c (2) 当 A 为锐角时 , A D b a 2 = BD 2 + CD 2 = BD 2 + ( AC – AD ) 2 = ( c sin A ) 2 + ( b – c cos A ) 2

B

C

(3) 当 A 为钝角时 ,

? b ? c ? 2bc cos A
2 2

已知三条边如何 求三个角 ?

c a

b

余弦定理 :

a ? b ? c ? 2bc cos A. 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B. 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cosC.
2 2 2

余 弦 定 理 :

b ?c ?a cos A ? , 2bc 2 2 2 a ?c ?b cos B ? , 2ac 2 2 2 a ?b ?c cosC ? . 2ab
2 2 2

例 1. 在△ABC 中, (1) 已知 b = 3 , c = 1 , A = 60°,求 a . (2) 已知 a = 4 , b = 5 , c = 6 , 求 A ( 精确 到0.1°) .

(1).a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 ? ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ?1? cos60 ? 7,? a ? 7.
2 2 2

b ?c ?a 5 ?6 ?4 3 ? ? . (2).cos A ? 2?5? 6 4 2bc
2 2 2
2 2 2

? A ? 41.4 .
?

例 2 . A , B 两地之间隔着一个水塘 (如图) , 现选择另一点 C, 测得 CA = 182 m , CB = 126 m , ∠ACB = 63°,求 A , B 两地之间的 距离 ( 精确到 1m ) . A 2 2 2 解 AB = CA + CB B – 2 CA×CB cos 63°
≈28178.18, 所以 AB ≈168 .
C

答 A , B 两地之间的距离约为 168 m .

例 3 . 用余弦定理证明: 在△ABC 中,当 ∠C 为锐角时, a 2 + b 2 > c 2 , 当∠C 为 钝角时, a 2 + b 2 < c 2 .

c ? a ? b ? 2ab cosC.
2 2 2

当∠C 为锐角时, c2<a2 当∠C 为钝角时, c2>a2

cos C > 0 , +b2 cos C < 0 , +b2

课堂回顾 : 1. 本节课我们学习了哪些知识 ? 2. 从余弦定理的发现和证明过程, 我们有 哪些收获 ? 3. 由余弦定理可以解决哪些问题 ? 作业 1. 整理用三角函数定义、构造直角三角 形、使用平面向量数量积证明余弦定理。 2. 书面作业 P 17 T 3 , 5 , 6 , 7 3. 思考 P 17 T 9 , 10 ,11 ,12

谢谢大家!


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