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辽宁省新民市第一高级中学2014届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教B版


辽宁省新民市第一高级中学 2014 届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教 B 版
考试时间:120 分钟 考试分数:150 分 试卷说明:试卷共三部分:第一部分:选择题型(1-12 题 60 分)第二部分:填空题型(13 -16 题 20 分)第三部分:解答题型(17-22 题 70 分). 第Ⅰ卷(客观题 共 60 分) 一、选择题(每小题只有一个正确答案) 1.

已知集合 A={1,3, m },B={1,m} ,A ? B=A , 则 m=( A .0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3
x



D.1 或 3 )

2.如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭复数的点是( A. A C. C B. B D. D
A B O C
y

D

3.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1) , (1,1,0) , (0, 1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图 可以为( )

4.右图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, ) P 表示估计结果,则图中空白框内应填入(

N 1000 4N B. P ? 1000 M C. P ? 1000 4M D. P ? 1000
A. P ?

? ? ? ? a b 5.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? |a| |b|
成立的充分条件是( ) B. a // b

? ? A. a ? ?b

? ?

C. a ? 2b

?

?

D. a // b 且 | a |?| b |
- 1 -

? ?

?

?

6.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P, 则点 P 恰好取自阴影部分的概率为( A. ) D.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

1 7
S S1 S 2 , ,? , 15 中最大的是 a1 a 2 a15
D.

7.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则



)A.

S1 a1

B.

S7 a7

C.

S8 a8

S9 a9

8.总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字,则选出 来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 9.下列说法:①命题“ ”的否定是“ ” ;

②若一个命题的逆命题为真,则它的否命题也一定为真; ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题; ④“x≠3”是|x|≠3 成立的充分条件.其中错误的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D .4

10. 设 {an } 是等比数列, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 , S n 为 {an } 的前 n 项和, Qn 为数列 {bn } 的 前n 项和,若 ( 2 ? 1 ? x) ? b1 ? b2 x ? b3 x ? ? ? bn ?1 x .记 Tn ?
n 1 2 n

17 S n ? S 2 n , n ? N * ,设 Tn0 Qn ?1

为 数列{ Tn }的最大项,则 n 0 ? ( A.3 B.4 ) C.5 D.6

11.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?? )( A ? 0 , ? ? 0 )的图像在 [? 的 最大值是( A. ) B.

7? 3? ,? ] 上单调递增,则 ? 4 4 2 3


1 2

3 4

C. 1

D.

12.函数 f ( x) ? 1 ? x ? A.0

x2 x3 x4 x 2013 ? ? ??? ,则 f ( x) 的零点个数是( 2 3 4 2013
C.2 D.3

B.1

- 2 -

第Ⅱ卷(主观题 共 90 分) 二、填空题 13.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ?

a2 ? 7 ,若 x

f ( x) ? a ? 1对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为

.

14. 一 个 球 与 正 四 面 体 的 六 条 棱 都 相 切 , 若 正 四 面 体 的 棱 长 为 1 , 则 这 个 球 的 体 积 是 . 15.如右图,迎面从左至右悬挂 3 串气球,分别有两串绑两只,一串绑 3 只,现在用枪射击气 球,假设每枪均能命中一只气球,要求每次射击只能射击每串最下方的气球,则用 7 枪击爆 这 7 只气球不同的次序有多少种 . 16. [ x] 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ( x) ? 零点, 则 a 的取值范围为 三、解答题 17.(本小题满分12分)

[ x] ? a ,当 x ? 0 时, f ( x) 有且仅有 3 个 x

.

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°. 1 (Ⅰ)若 PB= ,求 PA; 2 (Ⅱ)若∠APB=150°,求 tan∠PBA.

18.(本小题满分12分) 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ⊥底面 ABCD ,PD ? DC ,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明 PA //平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 B ? DE ? C 的平面角的余弦值.

- 3 -

19.(本小题满分12分) 如图,在竖直平面内有一个“游戏滑道”,空白部分表示光滑滑道,黑色正方形表示障碍物, 自上而下第一行有 1 个障碍物,第二行有 2 个障碍物,??,依次类推.一个半径适当的光 滑均匀小球从入口 A 投入滑道,小球将自由下落,已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时, 向左、右两边下落的概率都是

1 .记小球遇到第 n 行第 m 个障碍物(从左至右)上顶点的概 2

率为 P(n, m) . (Ⅰ)求 P(4,1) , P(4,2) 的值,并猜想 P(n, m) 的表达式(不必证明) ;

?4 ? x,1 ? x ? 3 (Ⅱ)已知 f ( x) ? ? ,设小球遇到第 6 行第 m 个障碍物(从左至右)上顶点时, ? x ? 3,3 ? x ? 6
得到的分数为 ? ? f (m) ,试求 ? 的分布列及数学期望.

20.(本题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足: 1 ? a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? nan ? 2 (n ? N ) .
n

*

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 bn ?

2n (n ? N * ) ,试求数列 {tan bn ? tan bn?1} 的前 n 项和 S n . an

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0). x

(Ⅰ)试判断函数 f ( x)在(0,??) 上单调性并证明你的结论; (Ⅱ)若 f ( x) ?

k 对于 ?x ? (0, ??) 恒成立,求正整数 k 的最大值; x ?1

(Ⅲ)求证: (1 ? 1? 2)(1 ? 2 ? 3)(1 ? 3 ? 4) ???

?1 ? n(n ? 1) ? ? e2 n - 3 .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时 请写清题号.

- 4 -

22.(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,PA 切圆 O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60? 到 OD. (Ⅰ)求线段 PD 的长; (Ⅱ)在如图所示的图形中是否有长度为 3 的线段?若有,指出该线段;若没有,说明理由.

23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 sin ? 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? , 1 ? sin 2 ? ?y ? 2 t ? 2 ?
以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (?1, 0) ,直线 l 与曲线 C 交于 A 、B 两点. (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)线段 MA , MB 长度分别记为 | MA | , | MB | ,求 | MA | ? | MB | 的值.

24.(本小题满分 10 分) 选修 4 ? 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | (Ⅰ)若 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若不等式 || a ? b | ? | a ? b ||?| a | f ( x) ( a ? 0 , a ? R , b ? R )恒成立,求实数 x 的 范围.

- 5 -

数学(理)试卷答案及评分标准 一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 C 7 C 8 D 9 C 10 B 11 D 12 B

二.本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. a ? ?

8 7

14.

2 3 4 ? 15.210 16. ( , ] 24 4 5

三.计算题 17. (Ⅰ)由已知,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.

2 1 1 7 (6 分) PA2 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? cos 300 ? . 故 PA ? 2 4 2 4
( Ⅱ ) 设 ?PBA ? ? , 由 已 知 得 PB ? sin ? , 在 ?PBA 中 , 由 正 弦 定 理 得

3 sin ? 3 ? ,化简得 3 cos ? ? 4sin ? ,故 tan ? ? .(12 分) 0 0 sin150 sin(30 ? ? ) 4
18. (Ⅰ)以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系 设 PD=DC=2,则 A(2,0,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1) ,B(2,2,0). ??? ? ???? ??? ? PA ? (2,0, ?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2, 2,0)
? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 BDE 的一个法向量,
1

? ? ?n 则由 ? ? 1 ? ?n 1
1

???? ? ? DE ? 0 ? y ? z ? 0 得? 取y ? ?1, 得n 1 ? (1, ?1,1). ??? ? ? DB ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0

??? ? ? ??? ? ? ∵ PA ? n ? 2 ? 2 ? 0,? PA ? n ,又PA ? 平面BDE,? PA / /平面BDE.
1

或使用线面平行定理证明(6 分) ? (II)由(Ⅰ)知 n ? (1, ?1,1) 是平面 BDE 的一个法向量,
1

??? ? ? 又 n ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量. (8 分)
2

? ? 设二面角 B - DE - C 的平面角为 ? ,由图可知 ? ?? n , n ?
1 2

∴ cos ? ? cos ? n , n ?? ?
1 2

? ?

? ? n1 ? n 2 2 3 ? ? ? 3 | n1 | ? | n 2 | 3?2

故二面角 B - DE - C 的余弦值为

3 (12 分) 3
- 6 -

19. (Ⅰ) P(4,1) ? C30 ( ) 3 ?

1 2

1 , (2 分) 8

3 1 1 3 (4 分) P(4,2) ? C3 ( ) ? , 2 8 m ?1 1 n ?1 猜想 P(n, m) ? Cn ; (6 分) ?1 ( ) 2 (Ⅱ) ? ? 3,2,1 1 , 16 5 1 1 5 P(? ? 2) ? P(6,2) ? P(6,5) ? C5 ( ) ? , 2 16 5 P(? ? 1) ? P(6,3) ? P(6,4) ? 8 P(? ? 3) ? P(6,1) ? P(6,6) ?

?
P

3

2

1

1 16

5 16

5 8
(10 分)

E? ? 3 ?

1 5 5 23 . (12 分) ? 2 ? ? 1? ? 16 16 8 16

20.(Ⅰ)当 n ? 2 , a n ?

2 n ?1 (4 分)当 n ? 1, a1 ? 1 (5 分) , n

故当 n ? 1 , a n ?

2 n ?1 (6 分) n
tan bn ?1 ? tan bn ? 1(10 分) tan 2

(Ⅱ) bn ? 2n (7 分) , tan bn ? tan bn ?1 ?

Sn ?

tan(2n ? 2) ? tan 2 ? n (12 分) tan 2

21. (Ⅰ) f ?( x) ?

1 x 1 1 [ ? 1 ? ln( x ? 1)] ? ? 2 [ ? ln( x ? 1)] (2 分) 2 x x ?1 x x ?1 1 ? x ? 0,? x 2 ? 0, ? 0, ln( x ? 1) ? 0,? f ?( x) ? 0. x ?1

? f ( x)在(0, ?) 上是减函数.(3 分)
(Ⅱ) f ( x) ?

k ( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] 恒成立,即h( x) ? ? k恒成立. x ?1 x

即 h( x ) 的最小值大于 k .

- 7 -

故正整数 k 的最大值是 3(7 分)

1 ? ln( x ? 1) 3 ? ( x ? 0) x x ?1 3x 3 3 ∴ ln( x ? 1) ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? (9 分) x ?1 x ?1 x
(III)由(Ⅱ)知 令 x ? n(n ? 1)( n ? N *) ,则 ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 ? ∴ ln(1 ? 1? 2) ? ln(1 ? 2 ? 3) ? ??? ? ln ?1 ? n( n ? 1) ?

3 (10 分) n(n ? 1)

? (1 ? 1? 2)(1 ? 2 ? 3)(1 ? 3 ? 4) ??? ?1 ? n(n ? 1 ) ? ? e2n - 3 (12 分)
22. (Ⅰ)∵PA 切圆 O 于点 A,且 B 为 PO 中点,∴AB=OB=OA. ∴ ?AOB ? 60?,??POD ? 120?
- 8 -

在?POD中, ? PD 2 ? PO 2 ? OD 2 ? 2 PO ? DO cos ?POD ? 7 ? PD ? 7
(II)存在 PA ?

(5 分)

3 (10 分)

23. (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程 ? sin? ? ? cos? ? 1 , (3 分) 曲线 C 普通方程 y ? x 2 (5 分)

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 2 (II)将 ? 代入 y ? x 2 得 t ? 3 2t ? 2 ? 0 , (8 分) ?y ? 2 t ? ? 2
| MA | ? | MB |?| t1t 2 |? 2 (10 分)
24. (Ⅰ) m ? 1 (5 分) (II)由 a ? b ? a ? b ? 2 a , 得 2 | a |? a f ( x) ,由 a ? 0 ,得 2 ? f ( x) , 解得 x ?

1 5 或 x ? (10 分) 2 2

- 9 -


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