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2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概 率 是 (结果用最简分数表示) . 4. 已知 cos 4? ?

1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5



π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3 为邻边的平行四边形的面积为 . 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 .
5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? . 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上, 则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. .

1

12.设 f (x) ? x 2 ?bx ?c ( b, c ?R ) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值 为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值.

13.如图,P 是 ? ABC 内一点.

1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2 1 1 1 证明: (1) ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ? (180? ? ?BAC) ? 90? ? ?BAC 2 2 2
A

P

B

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数.

2


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