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2015年高三数学(理科)二轮复习课时作业 1-2-5


课时跟踪训练
1 1.(2014 年石家庄模拟)已知函数 f(x)=ln x+ax+2(a∈R)在 x= 时取得极值. 2 (1)求 a 的值; (2)若 F(x)=λx2-3x+2-f(x)(λ>0)有唯一零点,求 λ 的值. 1? 1 解:(1)依题意 f′(x)= +a,f′? ?2?=2+a=0,则 a=-2,经检验,a=-2 满足题意. x (2)由(1)知 f(x)=ln x-2x+2, 则 F(x)=λx2-ln x-x, 2λx2-x-1 1 F′(x)=2λx- -1= . x x 令 t(x)=2λx2-x-1,∵λ>0,∴Δ=1+8λ>0, 方程 2λx2-x-1=0 有两个异号的实根,设 x1<0, x2>0, ∵x>0,∴x1 应舍去. 则 F(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. 且当 x→0 时,F(x)→+∞, 当 x→+∞时,F(x)→+∞, ∴当 x=x2 时,F′(x2)=0,F(x)取得最小值 F(x2). ∵F(x)有唯一零点,∴F(x2)=0,
2 ? ? ?F?x2?=0 ?λx2-ln x2-x2=0 ? ? 则 ,即 , 2 ?F′?x2?=0 ? ? ?2λx2-x2-1=0

x2 1 1 x2 2 得 F(x2)=λx2 -ln x2-x2= + -ln x2-x2= -ln x2- =0. 2 2 2 2 1 x 1 1 又令 p(x)= -ln x- ,则 p′(x)=- - <0(x>0). 2 2 x 2 故 p(x)在(0,+∞)上单调递减,注意到 p(1)=0,故 x2=1,得 λ=1. 2.已知函数 f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R). (1)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; 1 ? (2)若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在? ?e,e?上有两个零点,求实数 m 的取值范围. 2 解:(1)当 a=2 时,f(x)=2ln x-x2+2x,f′(x)= -2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜 x 率为 k=f′(1)=2, ∴切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0 (2)方程 f(x)-ax+m=0 即为 2ln x-x2+m=0

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令 g(x)=2ln x-x2+m, -2?x+1??x-1? 2 则 g′(x)= -2x= , x x 1 ? ∵x∈? ?e,e?,∴g′(x)=0 时,x=1 1 当 <x<1 时,g′(x)>0, e 当 1<x<e 时,g′(x)<0, 故函数 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(1)=m-1, 1? 1 2 又 g? ?e?=m-e2,g(e)=m+2-e , 1? 1 2 g(e)-g? ?e?=4-e +e2<0, 1? 则 g(e)<g? ? e ?, 1 ? 故函数 g(x)在? ? e,e?上的最小值是 g(e) g?1?=m-1>0 ? ? 1 ? ? , e 方程 f(x)-ax+m=0 在? e ?上有两个不相等的实数根,则? ?1? 1 ,解得 ? ?g?e?=m-2-e2 1 1<m≤2+ 2, e 1 1,2+ 2?. 故实数 m 的取值范围是? e? ? a 1 3.已知函数 f(x)=x-(a+1)ln x- (a∈R),g(x)= x2+ex-xex. x 2 (1)当 x∈[1,e]时,求 f(x)的最小值; (2)当 a<1 时,若存在 x1∈[e,e2],使得对任意的 x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求 a 的取值范围. ?x-1??x-a? 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= . x2 ①当 a≤1 时,x∈[1,e]时,f′(x)≥0, f(x)在[1,e]上为增函数,f(x)min=f(1)=1-a. ②当 1<a<e 时, x∈[1,a]时,f′(x)≤0,f(x)为减函数; x=a 时,f′(x)=0; x∈[a,e]时,f′(x)≥0,f(x)为增函数. 所以 f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1. ③当 a≥e 时,x∈[1,e]时,f′(x)≤0,f(x)在[1,e]上为减函数.
2

a f(x)min=f(e)=e-(a+1)- . e 综上,当 a≤1 时,f(x)min=1-a; 当 1<a<e 时 f(x)min=a-(a+1)ln a-1; a 当 a≥e 时,f(x)min=e-(a+1)- . e (2)由题意知:f(x)(x∈[e,e2])的最小值小于 g(x)(x∈[-2,0])的最小值. 由(1)知 f(x)在[e,e2]上单调递增, a f(x)min=f(e)=e-(a+1)- . e g′(x)=(1-ex)x. a 当 x∈[-2,0]时,g′(x)≤0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,所以 e-(a+1)- <1, e e2-2e 即 a> , e+1 所以 a 的取值范围为?

?e -2e,1?. ? ? e+1 ?

2

1 4.(2014 年沈阳模拟)已知函数 f(x)=ln x,g(x)= ax+b. 2 (1)若 f(x)与 g(x)在 x=1 处相切,试求 g(x)的表达式; m?x-1? (2)若 φ(x)= -f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数 m 的取值范围; x+1 2n 1 1 1 1 n 1 1 1 (3)证明不等式: < + + +…+ < +1+ + +…+ . 2 3 n n+1 ln 2 ln 3 ln 4 ln?n+1? 2 1 1 解:(1)由已知得 f′(x)= ,∴f′(1)=1= a,a=2. x 2 1 又∵g(1)=0= a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1. 2 m?x-1? m?x-1? (2)φ(x)= -f(x)= -ln x 在[1,+∞)上是减函数, x+1 x+1 -x2+?2m-2?x-1 ∴φ′(x)= ≤0 在[1,+∞)上恒成立. x?x+1?2 即 x2-(2m-2)x+1≥0 在[1,+∞)上恒成立, 1 则 2m-2≤x+ ,x∈[1,+∞), x 1 ∵x+ ∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2. x x (3)证明:由(1)可得:当 x≥2 时,ln x<x-1≤ (x-1), 2

3

1 2 1 ∴由 ln x< x(x-1)得 < , 2 x?x-1? ln x 1 1 1 ∴2?x-1-x ?< . ? ? ln x 1 1? 1 ?1 1? 1 ?1 1? 1 当 x=2 时,2? ?1-2?<ln 2,当 x=3 时,2?2-3?<ln 3,当 x=4 时,2?3-4?<ln 4,…, 1 1 当 x=n+1 时,2?n-n+1?<

?

? ln?n+1?,n∈N ,n≥2.

1

*

1 1 1 1 1 2n 1 1 上述不等式相加得:2?1-n+1?< ? ? ln 2+ln 3+ln 4+…+ln?n+1?,即:n+1<ln 2+ln 3 + 1 1 +…+ . ln 4 ln?n+1? 由(2)可得:当 m=2 时,φ(x)= 2?x-1? -ln x 在[1,+∞)上是减函数, x+1

2?x-1? ∴当 x>1 时,φ(x)<φ(1)=0,即 -ln x<0, x+1 2?x-1? 1 1 x+1 ∴ln x> ,从而得到, < · . ln x 2 x-1 x+1 1 1 3 1 1 4 1 1 5 当 x=2 时, < × ,当 x=3 时, < × ,当 x=4 时, < × ,…,当 x= ln 2 2 1 ln 3 2 2 ln 4 2 3 1 1 n+2 n+1 时, < · ,n∈N*,n≥2. ln?n+1? 2 n 上述不等式相加得: n+2? 1 1 1 1 1 3 4 5 + + +…+ < ? + + +…+ ln 2 ln 3 ln 4 n ? ln?n+1? 2?1 2 3

2 2 2 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 n n+ + + +…+ ?= +1+ + +…+ ,即 = ? + + +…+ < 1 2 3 n ? ? 2 2 2 3 n ln 2 ln 3 ln 4 ln?n+1? 2 1 1 1 +1+ + +…+ . 2 3 n 综上: 2n 1 1 1 1 n 1 1 1 < + + +…+ < +1+ + +…+ (n∈N*,n≥2). 2 3 n n+1 ln 2 ln 3 ln 4 ln?n+1? 2

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