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高三数学模拟试题二(理科)


高三数学模拟试题二(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 A = {x | x < 3}, B = {x | ?1 < x < 5}, 则C AU B ( A I B ) 等于 A. {x | x ≤ ?1或3 ≤ x<5} C. {x | x < ?1或x ≥ 3} 2.设复数 z = ( )

B. {x | x ≤ ?1或x ≥ 3} D. {x | x ≤ ?1或3 ≤ x ≤ 5}

3 1 1 + i, 那么 等于 2 2 z
B.





A.

1 3 + i 2 2
1 x

3 1 + i 2 2

C.

3 1 ? i 2 2

D. (

1 3 ? i 2 2


3.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 A. y = ? B. y = ? log 2 x C. y = 3x

D. y = x 3 + x

4.已知 cos α = ? A. ?

5 π , α 为第二象限角,则 tan(α + ) = 5 4
B.





1 3

1 3

C.3

D.—3

5 . 在 △ ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 , 设 向 量

m = (b ? c, c ? a ), n = (b, c + a ) ,若 m ⊥ n ,则角 A 的大小为
A.

( D.



π
6

B.

π
3

C.

π
2

2π 3

? 6.工人月工资 y(元)与劳动生产率 x(千元)变化的回归直线方程为 y = 80 x + 50 ,则
下列判断正确的是 ①劳动生产率为 1 千元时,工资约为 130 元; ②劳动生产率每提高 1 千元时,工资平均提高 80 元; ③劳动生产率每提高 1 千元时,工资平均提高 130 元; ④当月工资为 210 元时,劳动生产率约为 2 千元. A.①③ B.②④ C.①②④ ( )

D.①②③④

7.定义在 R 上的函数 f ( x)在[3, +∞) 上单调递减,且 f ( x + 3) 是偶函数,则下列不等式中 正确的是 ( ) A. f (3) > f (4) > f (1) C. f (3) > f (1) > f (4) B. f (1) > f (3) > f (4) D. f (4) > f (3) > f (1)
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8 .已知函数 f ( x) = 4 ? a ? 2 + a ? 3 , 则函数 f ( x ) 有 两个 相异零点的 充要条件 是
x x 2



) B. 3 ≤ a ≤ 2 D. 3 < a < 2 )

A. ?2 < a < 2 C. 3 < a ≤ 2 9.设 (2 x ? 1)
10

= a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a10 x10 , 则a1 + a3 + a5 + a7 + a9 的值( 1 ? 310 B. 2
D.—

1 + 310 A. 2
C.

310 ? 1 2

1 + 310 2


10.程序框图如图所示,其输出结果是( A. 3 B.— 3

C.0

D.

3 2

11.双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 e,过 F2 的直 a2 b2

线与双曲线的右支交于 A、B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, ) 则 e2 的值是( A. 1 + 2 2 B. 3 + 2 2 C. 4 ? 2 2 D. 5 ? 2 2

12.棱长为 2 3 的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小 球,则这些球的最大半径为 A. 2 B. ( )

2 2

C.

2 4

D.

2 6

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.如图所示是一个几何体的三视图(单位:cm), cm2. 则这个几何体的表面积

14.设坐标原点为 O,抛物线 y 2 = 2 x 上两点 A、B 在该抛物线的准线上的射影分别是 A′、B′, 已知|AB|=|AA′|+|BB′|,则 OA ? OB =

uuu uuu r r



15.如图所示,函数 y = 2sin(ω x + ? )(? > 0,| ? |< π ) 的图象过点 (

8π , 0)和(0, ? 3) ,则 ? 的值是 9



16.对于函数 f ( x ) = ( x 2 ? 2 x )e x 有以下 4 个命题: ① f ( x ) 有最大值,但无最小值; ② f ( x ) 有最小值,但无最大值; ③ f ( x ) )既有极大值,也有极小值; ④ f ( x ) 既无最大值,也无最小值. 则真命题的序号是____. (把所有真命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{

an }是等比数列,且 a2 = 18, a5 = 1215. n

(I)求数列{ an }的通项 an ; (Ⅱ)求数列{ an }的前 n 项和 Sn。

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18. (本小题满分 12 分) 上海世博会深圳馆 1 号作品 《大芬丽莎》 是由大芬村 507 名画师集体创作的 999 幅油画 组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》 ,因其诞生于大芬村,因此被命名为《大芬丽莎》 .某 部门从参加创作的 507 名画师中随机抽出 100 名画师,测得画师年龄情况如下表所示,

(I)在频率分布表中的①、②位置分别应填数据为 、 ;在答题卡的图中补 全频率分布直方图; (Ⅱ) 根据频率分布直方图估计这 507 名画师中年龄在[30, 岁的人数 35) (结果取整数) ; (Ⅲ) 在抽出的 100 名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加上海世博会深圳馆 志愿者活动,其中选取 2 名画师担任解说员工作,记这 2 名画师中“年龄低于 30 岁” 的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.

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19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P—ABC 中,PB⊥平面 ABC,△ABC 是直角三角形,∠ABC,= 90°, AB=BC=2,∠PAB=45°,点 D、E、F 分别为 AC、AB、BC 的中点. (I)求证:EF⊥PD; (Ⅱ)求三棱锥 D—PEF 的体积; (Ⅲ)求二面角 E—PF—B 的正切值.

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20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) ,F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,P 为椭圆 C a 2 b2
uuur uuur uuuu r uuur 1 9 6 a ). 9

上一点 (不是顶点) △PF1F2 内一点 G 满足 3PG = PF1 + PF2 , 其中OG = ( a, , (I)求椭圆 C 的离心率;

(II)若椭圆 C 短轴长为 2 6 ,过焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左右顶点) ,求△F1AB 面积的最大值。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

1 ? k + ln x , k ∈ R. x

(I)求 f ( x ) 的极值; (II)若 ?x1 ∈ (0, +∞ ), ?x2 ∈ [1, 2] 使 ln x1 > x1 x2 ? ax1 x2 成立,求 a 的取值范围;
2

(III)已知 x1 > 0, x2 > 0, 且x1 + x2 < e, 求证 : ( x1 + x2 ) 1

x x2

> ( x1 x2 ) x1 + x2 .

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请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点,过 A 点作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (I)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x = a cos ? (1 < a < 6, ? 为参 ? y = sin ?

数) .在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C:的极坐标方程为 P 一 6coscp.射线 Z 的极坐标方程为 θ = α , l 与 C1 的交点为 A,l 与 C2 除极点外一个交 点为 B.当 a=0 时,|AB|=4. (Ⅰ)求 C1,C2 直角坐标方程; (Ⅱ)设 C1 与 y 轴正半轴交点为 D,当 α =

π
4

时,求直线 BD 的参数方程。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知对于任意非零实数 m,不等式 | 4m ? 1 | + | 1 ? m |≥| m | (| 2 x ? 3 | ? | x ? 1 |) 恒 成立,求实数 x 的取值范围.

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