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数列综合题(以递推数列为主)


数列综合题
1、下表给出一个“等差数阵” : 4 7 ( ( ??
a
i1

7 12 )( )( ??
a i2

( ( )( )( ??
a i3

)( )( )( )( ??
a i4

)( )( )( )( ??
a i5

) ) ) )

?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

a a a a

1 j

?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

2 j

3 j

4 j

??
a
ij

??

??

??

??

??

??

a 其中每行、 每列都是等差数列, i j 表示位于第 i 行第 j 列的数.1) ( 写出 a 4 5 的值; (2)

写出 a i j 的计算公式; (3)证明:正整数 N 在该等差数列阵中的充要条件是 2N+1 可以分解 成两个不是 1 的正整数

2、已知 { a n } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a 3 a 6 ? 55 , a 2 ? a 7 ? 16 . (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式: ( Ⅱ ) 等 比 数 列 { b n } 满 足 : b1 ? a 1 , b 2 ? a 2 ? 1 , 若 数 列 c n ? a n ? b n , 求 数 列 { c n } 的前 n 项和 S n
.

3、 已知各项均不相等的等差数列 { a n } 的前四项和为 14, a 1 , a3 , a 恰为等比数列 { b n } 的前 且 7 三项。 (1)分别求数列 { a n } ,{ b n } 的前 n 项和 S n , T n ; (2)记为数列 { a n b n } 的前 n 项和为 K n ,设 c n ?
S nTn Kn

,求证: c n ? 1 ? c n ( n ? N ).

?

4、数列 ?a n ? 中, a 1 =1, a n ? 1 = a n + lg( 1 ? A.1 B. 2

1 n

) ,则 a 10 =(

) D.4

C. 3

5、 (2007 全国卷 1)已知数列 ? a n ? 中 a 1 (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式;

? 2 , a n ? 1 ? ( 2 ? 1)( a n ? 2 )

,n

? 1,,, . 23 …

6、数列{an}满足 a1=0,a2=2,an+2=(1+cos2 (Ⅰ)求 a3,a4,并求数列{an}的通项公式;

nπ nπ )a +4sin2 ,n=1,2,3,?. 2 n 2 2Sk (k∈N*),求使 Wk>1 的 2+Tk

(Ⅱ)设 Sk=a1+a3+?+a2k-1,Tk=a2+a4+?+a2k,Wk= 所有 k 的值,并说明理由.

7、已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1 ,且 a n ? 项公式为( A. a n ?
3
n

1

1 n * a n ? 1 ? ( ) ( n ? 2 ,且 n ? N ) ,则数列 ? a n ? 的通 3 3

) B. a n ?
n?2 3
n

n?2

C. a n ? n ? 2

D. a n ? ( n ? 2 )3

n

8、 (2007 天津文)在数列 ? a n ? 中, a 1 (Ⅰ)证明数列 ? a n
? n?

? 2 , a n ?1 ? 4 a n ? 3 n ? 1 , n ? N

*



是等比数列;

(Ⅱ)求数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明不等式 S n ? 1 ≤
4Sn

,对任意 n ? N * 皆成立.

9、 (2007 天津)在数列 ? a n ? 中, a1
? ?0

? 2, a n ? 1 ? ? a n ? ?

n ?1

? (2 ? ? )2 (n ? N )
n

?

,其中



(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明存在 k ? N ? ,使得
a n ?1 an



a k ?1 ak

对任意 n ? N ? 均成立.

10 、 ( 北 京 市 西 城 区 2008 年 5 月 高 三 抽 样 测 试 ) 在 数 列 ? a n ? 中 ,
a 1 ? ? 3, a n ? 2 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? n ? 2, 且 n ? N ? ?
n

(Ⅰ)求 a 2 , a 3 的值; (Ⅱ)设 b n
? an ? 3 2
n

? n ? N ? ? ,证明: ? b n ? 是等差数列;

(Ⅲ)求数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n 。

11、已知数列 ? a n } 满足, a 1=1’a 2 ? 2 , a n+ 2=

a n ? a n ?1 2

,n? N .
*

? ? ? 令 bn

? a n ? 1 ? a n ,证明: { b n } 是等比数列;(Ⅱ)求 ? a n } 的通项公式。

12、 (2006 福建卷)已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1, a 2 ? 3, a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ( n ? N * ). (I)证明:数列 ? a n ? 1 ? a n ? 是等比数列; (II)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)若数列 ? b n ? 满足 4
b1 ? 1

4

b2 ?1

...4

bn ?1

? ( a n ? 1) n ( n ? N ), 证明 ? b n ? 是等差数列。
b *

13、 (广东省佛山市 2008 年高三教学质量检测一)数列 ? a n ? 满足 a 1 ? (Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式;

1 2

, a n ?1 ?

1 2 ? an



14、 (2006 全国 II) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,?. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式. {a

15、已知数列 ? a n ? 的前 n 项和是 S n ,且 2 S n ? 2 ? a n . (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)记 b n ? a n ? n ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n

16、在数列 ?a n ? 中,a1=1,当 n ? 2 时,其前 n 项和 S n 满足: S n ? a n ? S n ?
2

? ?

1? ?. 2?

(1)求 a n ; (2)令 b n ?
Sn 2n ? 1

,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 T n .

17、对于正项数列 ?a n ? ,定义 H

n

?

n a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? na
n

为 ?a n ? 的“光阴”值,现知

某数列的“光阴”值为 H

n

?

2 n ? 2

,则数列 ?a n ? 的通项公式为

18、数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ?
(n ?
n

2

n ?1

an
n

1 2

( n ? N ? ).

)an ? 2

(1)设 b n ?

2

an

,求数列 ? b n ? 的通项公式 b n ;

(2)设 c n ?

1 n ( n ? 1) a n ? 1

,数列 ? c n ? 的前 n 项和为 S n ,求 S n .


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