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高中数学竞赛讲义(14)极限与导数


高中数学竞赛讲义(十四) ──极限与导数 一、基础知识 1.极限定义:(1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总 存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|<ε 成立(A 为常数), 则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为 另外 类似地 ,

=A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为

A, 称右极限。 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。 f(x)=a, g(x)=b,那么 [f(x)

2.极限的四则运算:如果 ±g(x)]=a±b,

[f(x)?g(x)]=ab, f(x)存在, 并且

3.连续: 如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义, 且 f(x)=f(x0),则称 f(x)在 x=x0 处连续。

4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数, 那么 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得 一个增量Δ x 时(Δ x 充分小),因变量 y 也随之取得增量Δ y(Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)).若 存在, 则称 f(x)在 x0 处可导, 此极限值

称为 f(x)在点 x0 处的导数 (或变化率) 记作 , 即

(x0)或





。由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可

导的必要条件。若 f(x)在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则称
1

它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点 x0 处导数 于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。 6.几个常用函数的导数: (1) ( (4) (8) a 为 任 意 常 数 ) ;(6) =0(c 为常数); (2) ; ( 3 )

(x0)等

;(5)

;(7)



7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 (1) (3) ;(2) (c 为常数);(4) 。 8.复合函数求导法:设函数 y=f(u),u= (x),已知 (x)在 x 处 可导,f(u)在对应的点 u(u= (x))处可导,则复合函数 y=f[ (x)] 在点 x 处可导,且(f[ (x)] = . ; ;(5)

9.导数与函数的性质:(1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上连续;(2)若对一切 x∈(a,b)有 递增; (3)若对一切 x∈(a,b)有 ,则 f(x)在(a,b)单调 ,则 f(x)在(a,b)单调递减。

10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极 值,则 11.极值的第一充分条件:设 f(x)在 x0 处连续,在 x0 邻域(x0δ ,x0+δ )内可导,(1)若当 x∈(x-δ ,x0)时 ,当 x∈(x0,x0+
2

δ )时 x0)时 值。

,则 f(x)在 x0 处取得极小值;(2)若当 x∈(x0-δ , ,当 x∈(x0,x0+δ )时 ,则 f(x)在 x0 处取得极大

12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ ,x0+δ )内 一阶可导, x=x0 处二阶可导, 在 且 则 f(x)在 x0 处取得极小值;(2)若 极大值。 13. 罗尔中值定理: 若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导, 且 f(a)=f(b),则存在ξ ∈(a,b),使 [证明] 若当 x∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任意 x∈(a,b), ( 若 。1) ,

,则 f(x)在 x0 处取得

.若当 x∈(a,b)时,f(x)≠f(a),因为 f(x)在[a,b]上连续, 所以 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于 f(a),不妨 设最大值 m>f(a)且 f(c)=m,则 c∈(a,b),且 f(c)为最大值,故 ,综上得证。 14. Lagrange 中值定理: f(x)在[a,b]上连续, 若 在(a,b)上可导, 则存在ξ ∈(a,b),使 [证明] 令 F(x)=f(x),则 F(x)在[a,b]上连续, =0,

在(a,b)上可导, F(a)=F(b), 且 所以由 13 知存在ξ ∈(a,b)使 即

15.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导 数, (1)如果对任意 x∈I, ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的;
3

(2)如果对任意 x∈I,

,则 y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称

上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。 16.琴生不等式:设α 1,α 2,…,α n∈R+,α 1+α 2+…+α n=1。(1) 若 f(x)是[a,b]上的凸函数,则 x1,x2,…,xn∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+… +anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn). 二、方法与例题 1.极限的求法。 例1 求下列极限: (1) ; (2) ;

(3) [解](1) =

;(4) ;

(2)当 a>1 时,

当 0<a<1 时, 当 a=1 时, (3)因为



所以
4

(4) 例2 (2) [解] = (2) = (3) = (1) 求下列极限: 1) (1+x)(1+x2)(1+ ( ;(3) (1+x)(1+x2)(1+ )…(1+ )…(1+ 。 ) )(|x|<1);

2.连续性的讨论。 例 3 设 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且恒满足 f(x+1)=2f(x), 又当 x∈[0,1)时,f(x)=x(1-x)2,试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。 [解] 当 x∈[0,1)时,有 f(x)=x(1-x)2,在 f(x+1)=2f(x)中令

x+1=t , 则 x=t-1 , 当 x ∈ [1,2) 时 , 利 用 f(x+1)=2f(x) 有 f(t)=2f(t-1) , 因 为 t-1 ∈ [0,1), 再 由 f(x)=x(1-x)2 得 f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而 t∈[1,2)时,有 f(t)=2(t-1)?(2-t)2;同

5

理 , 当 x ∈ [1,2) 时 , 令 x+1=t , 则 当 t ∈ [2,3) 时 , 有

f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而 f(x)= 所以 所以 f(x)= f(x)=f(2)=0,所以 f(x)在 x=2 处连续。 ,

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因为点(2,0)不在曲线上, 设切点坐标为(x0,y0), 则 , 所 以 切 线 方 程 为 y-y0= 。 又因为此切线过点 (2,0) 所以 , 所以 x0=1,所以所求的切线方程为 y=-(x-2),即 x+y-2=0. 4.导数的计算。 例5 求下列函数的导数: y=sin(3x+1); (1) (2) ;(5)y=(1-2x)x(x>0 且 3cos(3x+1). ; )。 , ,即 ,

切线的斜率为

(3)y=ecos2x;(4) [解] (2) (1)

(3)
6

(4)

(5)

5.用导数讨论函数的单调性。 例 6 设 a>0,求函数 f(x)= 间。 [解] x2+(2a-4)x+a2>0; ,因为 x>0,a>0,所以 x2+(2a-4)x+a+<0. (x)>0,f(x) -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区

(1) a>1 时, 当 对所有 x>0, x2+(2a-4)x+a2>0, 有 即

在(0,+∞)上单调递增; (2) a=1 时, x≠1,有 x2+(2a-4)x+a2>0, 当 对 即 ,所以 f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内递增,

又 f(x)在 x=1 处连续,因此 f(x)在(0,+∞)内递增;(3)当 0<a<1 时,令 x>2-a+ (2-a+ , 即 x2+(2a-4)x+a2>0 , 解 得 x<2-a, 因 此 , f(x) 在 (0,2-a,+∞)内也单调递增,而当 2-a,所以 f(x)在(2-a或

)内单调递增,在 <x<2-a+ ,2-a+ 时, )

x2+(2a-4)x+a2<0,即 内单调递减。

6.利用导数证明不等式。 例7 设 ,求证:sinx+tanx>2x.
7

[证明]

设 f(x)=sinx+tanx-2x , 则

=cosx+sec2x-2 , 当

时, 所以 =cosx+sec2x-2=cosx+

(因为 0<cosx<1) , .又 f(x)在 上连续,

所以 f(x)在 即 sinx+tanx>2x.

上单调递增,所以当 x∈

时,f(x)>f(0)=0,

7.利用导数讨论极值。 例8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求 a

与 b 的值,并指出这时 f(x)在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。 [解] 因为 f(x)在(0,+∞)上连续,可导,又 f(x)在 x1=1,x2=2 ,又 +2bx+1 , 所 以

处取得极值,所以

解得 所以 所以当 x∈(0,1)时, 当 x∈(1,2)时, 当 x∈(2,+∞)时, . ,所以 f(x)在(0,1]上递减; ,所以 f(x)在[1,2]上递增; ,所以 f(x)在[2,+∞)上递减。

综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值,在 x2=2 处取得极大值。 例 9 设 x ∈ [0, π ],y ∈ [0,1] , 试 求 函 数

f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。
8

[解]

首先,当 x∈[0,π ],y∈[0,1]时,

f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x

=(1-y)2x g(x)= ,

,令

当 当

时,因为 cosx>0,tanx>x,所以

; ;

时,因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以

又因为 g(x)在(0,π )上连续,所以 g(x)在(0,π )上单调递减。 又 因 为 0<(1-y)x<x< π , 所 以 , 又因为 , 所以当 x∈(0,π ),y∈(0,1)时, f(x,y)>0. g[(1-y)x]>g(x) , 即

其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=π 时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y) π ?0. 当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx?0. 综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=π 且 y=1 时,f(x,y)取最小值 0。 三、基础训练题 1. =_________.

2.已知

,则 a-b=_________.
9

3. 4. 5.计算 _________.

_________.

_________. 存在, 则

6. f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, 若 且 _________.

7 . 函 数 f(x) 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上 可 导 , 且 _________.

,则

8.若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 坐标为_________. 9.函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________.

10.函数 11.若曲线 a.

的导数为_________. 在点 处的切线的斜率为 ,求实数

12.求 sin290 的近似值。 13.设 0<b<a< ,求证: 四、高考水平练习题 1.计算 =_________.

10

2.计算

_________.

3.函数 f(x)=2x3-6x2+7 的单调递增区间是_________.。 4.函数 的导数是_________. ,则

5.函数 f(x)在 x0 邻域内可导,a,b 为实常数,若 _________. 6.函数 f(x)= ex(sinx+cosx),x

的值域为_________.

7.过抛物线 x2=2py 上一点(x0,y0)的切线方程为_________. 8.当 x>0 时,比较大小:ln(x+1) _________x. 9.函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________, 最小 值为_________. 10.曲线 y=e-x(x?0)在点 M(t,e-t)处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围 成的三角形面积为 S(t),则 S(t)的最大值为_________. 11.若 x>0,求证:(x2-1)lnx?(x-1)2. 12.函数 y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数 且 是减函数,

>0, 0∈(0,+∞).y=kx+m 是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切 x 表示 m;(2)证

线方程,另设 g(x)=kx+m,(1)用 x0,f(x0),

明:当 x∈(0,+∞)时,g(x)?f(x);(3)若关于 x 的不等式 x2+1? ax+b? 在(0,+∞)上恒成立,其中 a,b 为实数,求 b 的取值范围

及 a,b 所满足的关系。

11

13.设各项为正的无穷数列{xn}满足 lnxn+ ?1(n∈N+). 五、联赛一试水平训练题 1.设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0?

,证明:xn

只取 0 或 1

(i=1,2,…,n-1),an=1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元

素的和,则

_________.

2.若(1-2x)9 展开式的第 3 项为 288,则 _________. 3. f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x<0 时, 设 当 , g(-3)=0, 且 则不等式 f(x)g(x)<0 的解集 为_________. 4.曲线 与 的交点处的切线夹角是_________.

5.已知 a∈R+,函数 f(x)=x2eax 的单调递增区间为_________. 6.已知 _________. 7.当 x∈(1,2]时,f(x)= 的最小值为_________. 恒成立,则 y=lg(a2-a+3) 在(a,3-a2)上有最大值,则 a 的取值范围是

12

8.已知 f(x)=ln(ex+a)(a>0),若对任意 x∈[ln(3a),ln(4a)], 不 等 式 |m-f-1(x)|+ln[ _________. 9.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x)的最大 值;(2)设 0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)<(b-a)ln2. ]<0 恒 成 立 , 则 实 数 m 取 值 范 围 是

10.(1)设函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1),求 f(x)的 最小值;(2)设正数 p1,p2,…, p1log2p1+p2 log2p2+…+ log2 满足 p1+p2+p3+…+ =1,求证:

?-n. ,其

11.若函数 gA(x)的定义域 A=[a,b),且 gA(x)= 中 a,b 为任意的正实数,且 a<b,(1)求 gA(x)的最小值; (2)讨论 gA(x)的单调性;

(3)若 x1 ∈Ik=[k2,(k+1)2],x2 ∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2],证明:

六、联赛二试水平训练题

1.证明下列不等式:(1) (2) 。



2.当 0<a?b?c?d 时,求 f(a,b,c,d)= 3.已知 x,y∈(0,1)求证:xy+yx>1.

的最小值。

13


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