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2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点7:概率与统计


(江苏省宿迁中学 2011 届高三上学期)4.若

x1 , x2 , x , xn的方差为 2, 则 3 ,3 x ,3 x , 3x ,3 3, 1 2

xn

的方差为 18 . (江苏省宿迁中学 2011 届高三上学期)5.一个靶子上有 10 个同心圆,半径依次为 1、2、??、 10,击中由内至外的区域的成绩

依次为 10、9、??、1 环,则不考虑技术因素,射击一次,在有

成绩的情况下成绩为 10 环的概率为

1 100

.

(江苏省宿迁中学 2011 届高三上学期)22.甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生 考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考 中加分录取) ,两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、 丙三个同学能通过笔试的概率分别是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 ? ,求随机变量 ? 的期望 E (? ) . 解: (1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件 A1 、 A2 、 A3 ;

E 表示事件“恰有一人通过笔试” ,
则 P( E) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )
?0 . 6 ? 0? . 5 ? 0 . 6 ? 0 .? 4 0 ?. 5 ? 0? .0 6? . 3 08 . 4 0 . 5 ; --------------5 分 0 . 4

(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为 p ? 0.3 ,

0.3) ,故 E (? ) ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 .------------10 分 所以 ? ~ B(3,
解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件 A, B, C ,
2 则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 所以 P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3) ? 0.3 ? 0.441 ,

P(? ? 2 ) ?

3 ?

2

0 . ?3

0 ? ., 7 P(? 0? . 3) 1? 80.3 9 3 ? 0.027 .

于是, E (? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . (泰州市高三第一次模拟考试)5.某单位有职工 900 人,其中青年职工 450 人,中年职工 270 人,老年职工 180 人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若 样本中的青年职工为 10 人,则样本容量为

20



(泰州市高三第一次模拟考试)6.设 f ?x? ? x ? 2x ? 3?x ? R? ,则在区间 ?? ? , ? ? 上随机取
2

一个数 x ,使 f ?x ? ? 0 的概率为

2

?



2010-2011 学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ 试 题 2011.1 4、如图所示,在两个圆盘中, 指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等, 那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是



4 答案: 9
2 3

1 7 7 9

8 3 1 2

5 4

2010-2011 学年度第一学期南通市六所省重点高中联考试卷数学Ⅱ 试题( 附 加 题) 6.计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”, 两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人在理论考试中合格

3 3 2 9 5 7 的概率分别为 5 , 4 , 3 ;在上机操作考试中合格的概率分别为 10 , 6 , 8 .所有考试是
否合格相互之间没有影响. (1)甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大? (2)求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率; (3)用 ? 表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 解:解: (1)以 O 为原点,OB,OC,OA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0,0,1) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,E(0,1,0) .
EB ? (2,,)( 0 0 ? 0,,)( 1 0 ? 2, ? 1,), 0 AC ? (0,, 2 ?1 ),……………………2 分
? ?2 5? 5 ?? 2 5

cos< EB, AC >



………………………………4 分

2 5 由于异面直线 BE 与 AC 所成的角是锐角,故其余弦值是 .………………5 分
1 ? 1) ,设平面 ABE 的法向量为 n1 ? ( x,y,z ) , 0 ? 1) , AE ? (0,, (2) AB ? (2,,
? 2 x ? z ? 0, ? ? y ? z ? 0.

则由 n1 ? AB , n1 ? AE ,得

目 取 n=(1,2,2) ,

平面 BEC 的一个法向量为 n2=(0,0,1) ,

………………………………7 分
cos ? n1,n2 ??

n1 ? n2 2 2 ? ? | n1 | ? | n2 | 3 1? 4 ? 4 .……9 分

2 由于二面角 A-BE-C 的平面角是 n1 与 n2 的夹角的补角,其余弦值是- 3 .…… 10 分
6.解: 记“甲理论考试合格”为事件 记

A “丙理论考试合格”为事件 A3 , A1 , “乙理论考试合格”为事件 2 ,

Ai 为 Ai 的对立事件, i ? 1, 2,3 ;记“甲上机考试合格”为事件 B1 ,“乙上机考试合格”为事件

B2 ,“丙上机考试合格”为事件 B3 .
(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件 A,记“乙计算机考试获得合格证书”为事件 B,记“丙 计算机考试获得合格证书”为事件 C,

3 9 27 3 5 5 2 7 7 P ( A) ? ? ? P( B) ? ? ? P(C ) ? ? ? P(A) , 5 10 50 , 4 6 8, 3 8 12 ,有 P(B) ?P(C ) ? 则
故乙获得“合格证书”可能性最大; ………………………………3 分

(2)记“三人该课程考核都合格” 为事件 D .

P ? D? ? P ? ?? A1 ? B1 ? ? ? A2 ? B2 ? ? ? A3 ? B3 ? ? ? ? P? A 1?B 1 ?? P? A 2 ? B2 ? ? P ? A 3 ? B3 ?

3 9 3 5 2 7 63 ? P ? A1 ? ? P ? B1 ? ? P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? ? P ? B3 ? 5 10 4 6 3 8 320 = × × × × × = , 63 所以,这三人该课程考核都合格的概率为 320 .

…………………6 分

(3)用 ? 表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数,则 ? 可以取 0,1,2,3, 故 ? 的分布列如下:

?
P( ? )

0

1

2

3 ???8 分

1 30

13 60

9 20

3 10

? 的数学期望:
1 13 9 3 1 2 Ex =0× 30 +1× 60 +2× 20 +3× 10 = 60
江苏省 2010 高考数学模拟题(压题卷)

…………………10 分

一、

5 x ? [ ? 3 , 6 ] f ( x ) ? 0 x ? [ ? 3 , 6 ] 0 5.若 f ( x) ? x ? 3x ? 4 , ,则对任意 0 ,使 的概率为 9 .
2

二、 3.从一副扑克牌的红桃花色中取 5 张牌,点数分别为 1,2,3,4,5. 甲、乙两人玩一种游戏: 甲先取一张牌,记下点数,放回后乙再取一张牌,记下点数. 如果两个点数的和为偶数就算 甲胜,否则算乙胜. (1)求甲胜且点数的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?说明理由. 解:(1)设“甲胜且点数的和为 6”为事件 A,甲的点数为 x,乙的点数为 y, 则(x,y)表示一个基本事件,两人取牌结果包括(1,1),(1,2),…(1,5),(2,1),(2,2),…(5,4),(5, 5)共 25 个基本事件; A 包含的基本事件有(1, 5),(2, 4), (3,3),(4, 2),(5,1)共 5 个, 所以 P(A)= = 1 . 5 1 . 5 5 25

所以,编号之和为 6 且甲胜的概率为

(2)这种游戏不公平. 设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C. 甲胜即两个点数的和为偶数,所包含基本事件数为以下 13 个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3), (5,5); 所以甲胜的概率为 P(B)= 13 13 12 ;乙胜的概率为 P(C)=1= , 25 25 25

∵ P(B)≠P(C),∴ 这种游戏规则不公平. 七、理科附加题 2.若随机事件 A 在 1 次试验中发生的概率为 p(0 ? p ? 1) ,用随机变量 ? 表示 A 在 1 次试验中 发生的次数.

2 D? ? 1 (1)求方差 D ? 的最大值; (2)求 E? 的最大值.
解:随机变量 ? 的所有可能取值为 0,1,并且有 P(? ? 1) ? p, P(? ? 0) ? 1 ? p ,
2 2 2 从而 E? ? 0 ? (1 ? p) ? 1? p ? p , D? ? (0 ? p) ? (1 ? p) ? (1 ? p) ? p ? p ? p ,

1 1 1 1 D? ? p ? p 2 ? ?( p 2 ? p ? ) ? ? ?( p ? ) 2 ? 4 4 2 4, (1) p? 1 1 2 时,D ? 取得最大值,最大值为 4 .

因为 0<P<1,所以当

1 2D? ? 1 2( p ? p 2 ) ? 1 1 2p ? ? 2 2 ? ? 2 ? (2 p ? ) p p p ,因为 0<P<1,所以 (2) E? .
2p ?


1 2 p? p ,即 2 时,取“=”.

p?
因此,当

2 D? ? 1 2 2 时, E? 取得最大值 2 ? 2 2 .

2011 届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题 3.某社区对居民进行世博会知晓情况的分层抽样调查.已知该社区的青年人、 中年人和老年人分 别有 800 人、1600 人、1400 人.若在老年人中的抽样人数是 70,则在中年人中的抽样人数是 答案:80 4.连续掷两次骰子,出现点数之和等于 4 的概率为 (结果用数值表示) 1 答案: 12 附加题,必做题 22.袋中装着标有数字 1,2,3,4 的卡片各 1 张,甲从袋中任取 2 张卡片(每张卡片被取出的可 能性都相等),并记下卡面数字和为 X,然后把卡片放回,叫做一次操作. (1)求在一次操作中随机变量 X 的概率分布和数学期望 E(X); (2)甲进行四次操作,求至少有两次 X 不大于 E(X)的概率. 解: (1)由题设知,X 可能的取值为:3,4,5,6,7. 随机变量 X 的概率分布为 X P ………………………3 分 1 1 因此 X 的数学期望 E(X)=(3+4+6+7)× +5× =5. ………………………5 分 6 3 (2)记“一次操作所计分数 X 不大于 E(X)”的事件记为 C,则 1 1 1 2 P(C)=P(“X=3”或“X=4”或“X=5”)= + + = . …………………7 分 6 6 3 3 2 设四次操作中事件 C 发生次数为 Y,则 Y~B(4, ) 3 1 8 1 2×( 1 )3-C0 则所求事件的概率为 P(Y≥2)=1-C4× 4×( )4= . ………………10 分 3 3 3 9 江苏连云港市 2011 届高三上学期第一次调研考试(数学) 数学Ⅰ 试题
2 2 8.在区间 [?5,5] 内随机地取出一个数 a ,使得 1?{x | 2 x ? ax ? a ? 0} 的概率为 ▲.

3 1 6

4 1 6

5 1 3

6 1 6

7 1 6

答案: 0.3 22. (本小题满分 10 分)

1 , a, a (0 ? a ? 1) 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 2 ,三人各射击一次,击中
目标的次数记为 ? . (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)在概率 P(? ? i) ( i =0,1,2,3)中, 若 P(? ? 1) 的值最大, 求实数 a 的取值范围. 解:(1) P (? ) 是“ ? 个人命中, 3 ? ? 个人未命中”的概率.其中 ? 的可能取值为 0,1,2,3.
1? 0 0? 2 1 2 P(? ? 0) ? C1 ?1 ? ? C2 (1 ? a) ? (1 ? a) 2 ? 2? , 1 0 1? 1 1 2 0? P(? ? 1) ? C1 (1 ? a 2 ) 1 ? C 2 (1 ? a) ? C1 ?1 ? ? C 2 a(1 ? a) ? 2 2 2 ? ? , 1 1 1? 2 2 1 0? 2 P(? ? 2) ? C1 1 ? C 2 a (1 ? a ) ? C1 ?1 ? ? C2 a ? (2a ? a ) 2 2 ? 2? ,
2 2 P (? ? 3) ? C1 1 ? C2 a ?

1

2

a2 2 .

所以 ? 的分布列为

?

0
1 2

1
(1 ? a)2
1 2

2
(1 ? a 2 )
1 2

3

P
? 的数学期望为

(2a ? a2 )

a2 2

E? ? 0 ? (1 ? a ) 2 ? 1 ? (1 ? a 2 ) ? 2 ? (2a ? a 2 ) ? 3 ?
2 2 2

1

1

1

a2
2

?

4a ? 1 2 .

……………5 分

1 P(? ? 1) ? P(? ? 0) ? ? ?1 ? a2 ? ? (1 ? a)2 ? ? ? ? a(1 ? a) , 2 (2) 1 1 ? 2a P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? (1 ? a2 ) ? (2a ? a2 ) ? ? ? ? 2 2 ,
P (? ? 1) ? P (? ? 3) ? 1 1 ? 2a 2 2 2 ? ? (1 ? a ) ? a ? ? 2? 2 .

? ? a (1 ? a ) ? 0, ? ? 1 ? 2a ? 0, ? ? 2 ? 1 ? 2a 2 ? 1? 1 ?0 0?a? ? 0, ? ? 2 ,即 a 的取值范围是 ? 2 ? . 由? 2 和 0 ? a ? 1 ,得
2011 届江苏高考数学权威预测题

…… 10 分

D ? { (a, b) | a ≤ | , 1 12 、 设 点 (a, b) 在 平 面 区 域
x2 y2 3 ? 2 ?1 2 a b (a>b>0)的离心率 e < 2 的概率为

|b≤ |

1} 中按均匀分布出现,则椭圆





1 答案: 16
江苏省 2011 届高三上学期苏北大联考(数学) 数学Ⅱ 试题(附加题) 3、某大楼共 5 层,4 个人从第一层上电梯,假设每个人都等可能地在每一层下电梯, 并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. (Ⅰ ) 求某乘客在第 i 层下电梯的概率 (i ? 2,3,4,5) ; (Ⅱ )求电梯在第 2 层停下的概率; (Ⅲ )求电梯停下的次数 ? 的数学期望.

F (i ) ?
解: (Ⅰ )

1 4;

1 175 P ? 1 ? (1 ? ) 4 ? 4 256 (Ⅱ )

(Ⅲ ) ? 可取 1、2、3、4 四种值

P(? ? 1) ?

1 C4 1 ? 4 64 ; 4

P(? ? 2) ?

2 C4 (2 4 ? 2) 21 ? 64 ; 44

3 2 3 4 C4 C 4 A3 36 A4 6 P(? ? 4) ? 4 ? P(? ? 3) ? ? 4 64 64 ; 4 4

故 ? 的分别列如下表:

?

1
1 64

2
21 64

3
36 64

4
6 64

P
E? ?


1 21 36 6 175 ? 2? ? 3? ? 4? ? 64 64 64 64 64

江苏省 2011 年高考数学模拟题 2.如图墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分 都是以正方形的顶

a 点为圆心,半径为 2 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上
每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是 答案:1π 。 4 。

3. 甲、乙两个学习小组各有 10 名同学,他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如下图所示,则 他们在这次测验中成绩较好的是 组。答案:甲 甲 乙 5 8 53 6 47 94 7 4569 76641 8 029 2 9 二、代数基本题 3、口袋中装有质地大小完全的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先摸一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号。如果两个编号的和为偶数就算 甲胜,否则算乙胜。 (1)求甲胜且编号的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?说明理由。 解:(1)设“甲胜且两个编号的和为 6”为事件 A,甲编号 x,乙编号 y,(x,y)表示一个基本事件, 则两人摸球结果包括(1,1),(1,2),……(1,5),(2,1),(2,2),……(5,4),(5,5)共 25 个基本事件; A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共 5 个,所以 P(A)= 答:编号之和为 6 且甲胜的概率为 1 。 5 5 1 = 。 25 5

(2)这种游戏不公平。 设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C。甲胜即两编号之和为偶数所包(含基本事件数为以下 13 个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5, 5);所以甲胜的概率为 P(B)= 乙胜的概为 P(C)=113 。 25

13 12 = ,∵P(B)≠P(C),∴这种游戏规则不公平。 25 25

九、随机变量题(理科附加) 14、某班从 6 名干部中(其中男生 4 人,女生 2 人),选 3 人参加学校的义务劳动。 (1)设所选 3 人中女生人数 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率。 解:(1) ξ 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得: P(ξ =0)= C3 4 1 C3 4C1 2 3 C1 4C2 2 1 = ,P(ξ =1)= = ,P(ξ =2)= = 。 C3 6 5 C3 6 5 C3 6 5 ξ 0 1 2

∴ ξ 的分布列为 1 3 1 +1× +2× =1。 5 5 5

P

1 5

3 5

1 5

∴Eξ =0×

(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件 C,则 P(C)= 4 — ∴所求概率为 P( C )=1-P(C)= 。 5

C3 4 1 = , C3 6 5

(3)设“男生甲被选中”为事件 A, “女生乙被选中”为事件 B,则 P(A)= C2 5 1 C1 4 1 = ,P(AB)= = , C3 6 2 C3 6 5 P(AB) 2 = 。 P(A) 5

∴在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 P(B|A)=

15、一袋中有 m(m∈ N*)个红球,3 个黑球和 2 个白球,现从中任取 2 个球。 (1)当 m=4 时,求取出的 2 个球颜色相同的概率; (2)当 m=3 时,设 ξ 表示取出的 2 个球中黑球的个数,求 ξ 的概率分布及数学期望; (3)如果取出的 2 个球颜色不相同的概率小于 2 ,求 m 的最小值。 3 C2 4+C2 3+C2 2 5 = 。 C2 9 18

解:(1)设“取出的 2 个球颜色相同”为事件 A,P(A)= (2) Eξ =0× 5 +1 14 ξ P 0 5 14 1 15 28 2 3 28 ×

15 3 3 +2× = 。 28 28 4

(3)设“取出的 2 个球中颜色不相同”为事件 B,则 P(B)= C1 xC1 3+C1 xC1 2+C1 3C1 2 2 < , C2 x+5 3

∴x2-6x+2>0,∴x>3+ 7 或 x<3- 7 ,x 的最小值为 6。 2011 年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学 高三调研测试 数学(必试部分) 7.在区间 [?5,5] 内随机地取出一个数 a ,则恰好使 1 是关于 x 的不等式 2 x ? ax ? a ? 0 的一
2 2

个解的概率大小为__ ____. 江苏省安宜高级中学 10-11 年度高三 B 部数学复习资料期末综合练习(二) 5.从某项综合能力测试中抽取 10 人的成绩, 统计如下表, 则这 10 人成绩的方差为 分数 人数
12



.

5 3

4 1

3 1

2 3

1 2

答案: 5 8.一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有 1, 2,3,4 这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是

. 3 答案: 4 ▲ 江苏常州三中高三数学期末模拟试题 2. 样本中共有五个个体, 其值分别为 a 、 0、 1、 2、 3, 若该样本的平均值为 1, 则样本方差为 . 2 7.从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 1 张, ,事件 A 为“抽得红桃 K” ,事件 B 为“抽 得为黑桃” ,则概率 P( A ? B) ?

7 (结果用最简分数表示) . 26

江苏省常州市 2011 届高三上学期调研试题(数学) 7. 在区间 [ ?1,1] 上任意取两点 a , b , 方程 x ? ax ? b ? 0 的两根均为实数的概率为 P , 则P 的
2

取值范围为

1 9 ? p? 16 . 2

江苏省常州市 2011 届高三复习迎考试卷数学试题Ⅰ 7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面,记 x 1 y 所得的数字分别为 x,y,则 为整数的概率是 ▲ . 2 频率 8.为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进 组距 行每分钟输入汉字个数测试,下图是根据抽样测试后的数据绘制的 0.0150 频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150],样 0.0125 本数据分组为[50,70) ,[70,90) , [90,110) ,[110,130) ,[130,150], 0.0100 已知样本中每分钟输入汉字个数小于 90 的人数是 36,则样本中每 0.0075 0.0050 分钟输入汉字个数大于或等于 70 个并且小于 130 个的人数是 ▲ .90

50 70 90 110 130 150 字 数 / 分 (第 8 题) 江苏省常州市北郊中学 2011 届高三上学期统一练习(数学)8.一只 钟 图) 蚂蚁在边长分别为 5,6, 13 的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点距离都大于 1

1?
的地方的概率为

?
18

江苏省成化高中 2011 届高三(上)期末模拟卷〈三〉附加题部分
(x ? 1 2 x )n

1.已知

的展开式中前三项的系数成等差数列. (Ⅰ )求 n 的值; (Ⅱ )求展开式中系

数最大的项.

1 1 C0 ? C2 ? C1 n ? n ? 2? n 4 2 1.解: (Ⅰ)由题设,得 , ……………………………3 分
2 即 n ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n=8,n=1(舍去) .……………………………4 分

1 r ?1 ?1 r C ≥ C , ? ? 2r 8 2r ?1 8 ? ? 1 Cr ≥ 1 Cr ?1. 8 8 ? 2r 2r ?1 (Ⅱ)设第 r+1 的系数最大,则 ? ……………………………………………6 分

1 ? 1 ≥ , ? ? 8 ? r 2(r ? 1) ? ?1 ≥ 1 . ? 2r 9 ? 1 即? 解得 r=2 或 r=3. ……………………………8 分
5 2 所以系数最大的项为 T3 ? 7 x , T4 ? 7 x .………………………10 分
7

江阴成化高中 11 届高三一调模拟试卷四 5. 为了了解初中生的身体素质,某地区随机抽取了 n 名学生进行跳绳测试, 根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右第一小组的频 数是 100,则 n? ▲ . 答案:1000. 6. 袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个有放回地抽取三次,球的 颜色全相同的概率是 ▲ .

0.016 0.012 0.008 0.004 0

频率 组距

50

1 答案: 9 .

75 100 125 (第 5 题)

次数 150

19、 (无锡二调) 某工厂统计资料显示, 一种产品次品率 件之间的关系如下表所示: 日产量 x 80 81 82 ?

p 与日产量 x( x ? N * , 80 ? x ? 100 )

x

?

98

99

100

次品率

p

1 28

1 27

1 26

?

P( x ) ?

1 10

1 9

1 8

1 k 其中 P( x )= a ? x ( a 为常数) 。已知生产一件正品盈利 k 元,生产一件次品损失 3 元( k 为
给定常数) 。 (1)求出 a ,并将该厂的日盈利额

y (元)表示为日生产量 x (件)的函数;

(2)为了获得最大盈利,该厂的日生产量应该定为多少件? 附加题:

2、在一次运动会上,某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成的 代表队参加比赛. (1)如果随机抽派 5 名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为 X,求随机变量 X 的数 学期望; (2)若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有 2 名队员 身材相对矮小,也不宜同时上场;那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力队员, 教练员有多少种组队方案? 解: (1)随机变量 X 的概率分布如下表: X P 0
0 5 C6 C5 5 C11

1
1 4 C6 C5 5 C11

2
2 3 C6 C5 5 C11

3
3 2 C6 C5 5 C11

4
1 C64 C5 5 C11

5
5 0 C6 C5 5 C11

----------------------------------------------------------3 分
0 5 1 4 2 3 3 2 1 5 0 C6 C5 C6 C5 C6 C5 C6 C5 C64 C5 C6 C5 5 5 5 5 5 5 C C C C C C E(X)=0× 11 +1× 11 +2× 11 +3× 11 +4× 11 +5× 11

630 = 231 ≈2.73

----------------------------5 分

3 1 2 2 (2)① 上场队员有 3 名主力,方案有: ( C6 ? C4 ) ( C5 ? C2 )=144(种) ----6 分 4 2 1 ② 上场队员有 4 名主力,方案有: ( C6 ? C4 ) C5 =45(种) 5 3 0 4 1 ③ 上场队员有 5 名主力,方案有: ( C6 ? C4 ) C5 = C4 C2 =2(种)

-----7 分 -----8 分

教练员组队方案共有 144+45+2=191 种. -------------10 分 江阴成化高中 2011 届高三第一次调研模拟试卷一 9.已知有序实数对( a ,b)满足 a ∈[O,3],b∈[0,2],则关于 x 的一元二次方程 x2+2 a x+b2=0 有

2 实数根的概率是________. 3
二、解答题 15、 (本小题满分 14 分) 15.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,并 统计了他们的物理成绩(成绩均为整数且满分为 100 分) ,把其 中不低于 50 分的分成五段 ?50,60? , ?60,70? … ?90,100? 后画出 如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求出物理成绩低于 50 分的学生人数; (2)估计这次考试物理学科及格率(60 分及以上为及格) (3) 从物理成绩不及格的学生中选两人,求他们成绩至少有一 个不低于 50 分的概率. 解: (Ⅰ)因为各组的频率和等于 1,故低于 50 分的频率为:

组 组 距 数 0.0 0.02 3 5 0.015 0.00 5 分数 5 0 6 0 70 8 0 9 0 100

f1 ? 1 ? (0.015? 2 ? 0.03 ? 0.025? 0.005) ?10 ? 0.1 ………………
…………3 分 所以低于 50 分的人数为 60 ? 0.1 ? 6 (人)…………………………………….5 分

(Ⅱ)依题意,成绩 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于 50 分的为第一组) , 频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75 %……………………………………8 分. 于是,可以估计这次考试物理学科及格率约为 75 %…………………………9 分. (Ⅲ) “成绩低于 50 分”及“[50,60)”的人数分别是 6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人, 他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率为:

P ? 1?

6?5 6 ? 15 ? 14 7

……………………………………………………14 分

(理科加试部分) 1.甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔 试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取) ,两次考试过程相互独 立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别 是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中 恰有一人通过笔试的概率; 机变量 ? 的期望 E (? ) . 解: (1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件 A1 、 A2 、 (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 ? ,求随

A3 ;

E 表示事件“恰有一人通过笔试”


P(E) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.38 ---------------------------5 分
(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为 p ? 0.3 , -------------7 分

0.3) ,故 E(? ) ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 .-------10 分 所以 ? ~ B(3,
解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件 A,B,C , 则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 所以 P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3) ? 0.3 ? 0.441,
2

P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189 , P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 .
于是, E (? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 .

江苏省成化高中 2011 届高三(上)期末模拟试卷〈二〉
2 2 12 . 已知 | x |≤ 2,| y |≤ 2 , 点 P 的坐标为 ( x, y ) , 则当 x, y ? Z 时, P 满足 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ≤ 4

的概率为 13 . 已 知

6 . 25
a1 , a2 ,
? bn ,

y

, an ; b1, b2 ,

, bn

( n 是正整数) , 令 L1 ? b1 ? b2 ? ? bn ,
a1 a2

an-1 a3
......

an

L2 ? b2 ? b3 ?

, Ln ? bn . 某人用右图分析得到恒等式:

o

b1 b2

b3

bn-1 bn

x

a1b1 ? a2b2 ?

? anbn ? a1L1 ? c2 L2 ? c3 L3 ?

?ck Lk ?

? cn Ln ,则 ck ?

(2 ≤ k ≤ n) . ak ? ak ?1
理科加试部分 附加 1.在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明
p?q? 1 2 时,记 ? ?| S3 | ,求 ? 的分布列及数学期

星判断正确的概率为 p ,判断错误的概率为 q ,若判断正确则加 1 分,判断错误则减 1 分,现 记“该明星答完 n 题后总得分为 S n ” . (1)当
1 2 p ? ,q ? 3 3 时,求 S 8 望及方差; (2)当

? 2且S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 的概率.

?? ?| S 3 | 的取值为 1,3,又 p ? q ? 2 ; 1. (1)

1

????????????1 分

1 3 1 1 1 1 1 P(? ? 1) ? 2C3 ( ) ? ( )2 ? P(? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 2 2 4, 2 2 4 . ???????3 分 故
所以 ξ 的分布列为:

?

1

3

P

3 4

1 4

3 1 3 E ? 且 =1× 4 +3× 4 = 2 ;??????????????????????5 分
(2)当 S8=2 时,即答完 8 题后,回答正确的题数为 5 题,回答错误的题数是 3 题, 6 分 又已知 S i ? 0(i ? 1,2,3,4) ,若第一题和第二题回答正确,则其余 6 题可任意答对 3 题;若第一 题 和 第 二 题 回 答 错 误 , 第 三 题 回 答 正 确 , 则 后 5 题 可 任 意 答 对 3 题. ?????????8 分 1 2 30 ? 8 80 80 3 3 P ? (C6 ? C5 ) ? ( )5 ? ( )3 ? 8 ? 7 (或 ) 3 3 2187 .????????10 分 3 3 此时的概率为 东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(10) 1.有 3 张奖券,其中 2 张可中奖,现有 3 个人按顺序依次从中抽一张,小明最后抽,则他抽到

中奖券的概率是

2 3

东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(03) 4、有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可 中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘的序号 . (1)

东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(04) 7、在总体中抽取了一个样本,为了便于统计,将样本中的每个数据乘以 1000 后进行分析,得 出新样本平均数为 4,则估计总体的平均数为 . 0.004 江苏省东海高级中学 2011 届高三上学期周周练十(数学) 12. 设点 O 在△ ABC 的内部且满足: 4OA ? OB ? OC ? 0 ,现将一粒豆子随机撒在△ ABC 中,则豆子

落在△ OBC 中的概率是



2 .3

江苏省东海县高级中学 2011 届高三理科数学练习十三 2.三张卡片上分别写上字母 E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词 BEE 的概

率为

1 .3

4 .已知样本容量为 30 ,在样本频率分布直方图中,各小长方形的高的比从左到右依次为

2 : 4 : 3 : 1 ,则第 2 组的频数是

.12

江苏省东海县高级中学 2011 届高三上学期练习十四(数学理) 6.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 为 10,方差为 2,则|

x, y ,10,11, 9. 已知这组数据的平均数

x ? y |的值为__

_4

12.已知 AB ? (k ,1) , AC ? (2 , 4) ,若 k 为满足

AB ? 4

的一个随机整数,

3 则 ?ABC 是直角三角形的概率是_________________. 7
江苏省东海县高级中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试 高三数学文 6. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20—80 mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证,并处 200 元以上 500 元以下罚款;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留和 暂扣三个月以上六个月以下驾驶证,并处 500 元以上 2000 元以下罚款. 据《法制晚报》报道,2010 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人, 如图 1 是对这 28800 人酒后驾车血液中酒精含量进 频率 行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车 组距 的人数约为 ▲ 4320 0.02 0.015 0.01 0.005 20 30 40 50 60 70 80 90 100 图1 江苏省高淳高级中学 2011 届高三上学期第二次质量检测(数学理) π 5.从[0,1]之间选出两个数,这两个数的平方和小于 0.25 的概率是_____▲______. ?(原答案) 16 附加题 23. (本小题满分 10 分) 一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这 3 个展览馆,又该游客参观甲、乙、丙这 3 个展览 馆的概率分别是 0.4,0.5,0.6,且是否参观哪个展览馆互不影响. 设 ? 表示该游客离开上海世博 会时参观的展览馆数与没有参观的展览馆数之差的绝对值. (Ⅰ )求 ? 的概率分布及数学期望; 酒精含量 (mg/100ml)

?2, ??? 上单调递增”为事件 A ,求事件 A 的概率. (Ⅱ )记“函数 f ( x) ? x ? 3? x ? 1 在区间
2

23.解( : I)分别记“客人参观甲展览馆”,“客人参观乙展览馆”,“客人参观丙展览馆”为事件 A1,A2, A3. 由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6. 客人参观的展览馆数的可能取值为 0,1,2,3. 相应地,客人没有参观的展览馆数的可能 取值为 3,2,1,0,所以 ? 的可能取值为 1,3. P( ? =3)=P(A1· A2· A3)+ P(

A1 ? A2 ? A3 )= P(A1)P(A2)P(A3)+P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) )

?

1

3

P 分布表为 ………5 分

0.76

0.24

=2×0.4×0.5×0.6=0.24,P( ? =1)=1-0.24=0.76,所以 ? 的概率

∴ E ? =1×0.76+3×0.24=1.48………6 分

3 3 9 [ ? , ?? ) f ( x) ? ( x ? ? ) 2 ? 1 ? ? 2 , 2 2 4 (Ⅱ )因为 所以函数 f ( x) ? x ? 3? x ? 1在区间 2 上单
3 4 ? ? 2, 即? ? . f ( x ) 在 [ 2 , ?? ) 3 调递增,要使 上单调递增,当且仅当 2 4 P( A) ? P(? ? ) ? P(? ? 1) ? 0.76 3 从而 …………………………………10 分
江苏省海安、如皋 2011 届高三上学期期中考试试卷(数学文) 16. (本题满分 14 分) 用 3 种不同颜色给图中 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色. 求: (1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率. 【解】本题的基本事件共有 27 个. 因为对 3 个矩形涂色时,选用颜色是随机的,所以这 27 个基本事件是等可能的. ??????????4 分 (1)记“3 个矩形颜色都相同”为事件 A,显然事件 A 包含的基本事件有 3 个, P( A) ? 3 ? 1 . 27 9 于是 ??????????8 分 (2)记“3 个矩形颜色都不相同”为事件 B,假设三种颜色分别是 a,b,c, 则事件 B 只有可能是 abc;acb;bac;bca;cab;cba,共 6 个基本事件, P( B) ? 6 ? 2 . 27 9 于是 ????????? 12 分
2 1 9 9 【答】3 个矩形颜色都相同的概率为 ,3 个矩形颜色都不同的概率为 .??? 14 分

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