当前位置:首页 >> 数学 >>

数列的求和


欢迎进入数学多媒体课堂

数列求和

2016年10月21日

一、教学目标

1、会借助推导等差数列、等比数列求和公式的 所用方法,求某些特殊数列的和。
2、掌握一些特殊数列的求和方法,倒(逆)序相 加法,、错位相减法、裂项法和分组结合法。

二、教学过程

>(一)知识回顾
1、等差数列的前n项和公式及所用方法

n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2
倒(逆)序相加法 2、等比数列的前n项和公式及所用方法
na1 ? ? a1 ? an q S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? ? 1? q ? 1? q ( q ? 1) ( q ? 1)

错位相减法

(二)示范性题组

1 1 1 例1、求 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1)
分析:从通项入手 1 1 1 1 an ? ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 ?? 1? ?1 1? ?1 1? 解:原式 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3? ? 3 5? ? 5 7 ? 1 ?? ? 1 ??? ? ? ?? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

1 1 2n n ? (1 ? )? ? 2 2n ? 1 2(2n ? 1) 2n ? 1
评注:
1、本题所用的求和方法称为裂项法

2、裂项法:把数列的每一项变为两项的差,通过消去中间 项达到求和的目的。裂项时可直接从通项入手,此法常用 于分数数列的求和

1 1 1 1 3、an ? ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 an ? ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) 1 an ? n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) 1 1 1 ? [ ? ] 3 n(n ? 1)( n ? 2) (n ? 1)( n ? 2)( n ? 3)

1 1 1 2n ?1?1 ? ? ??? ?( ) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n n ?1 1 1 1 1 ?2? ? ??? ? (300) 100 ?101 101?102 149 ?150

知识跟踪

例2、求S n ? 1 ? 2 x ? 3x ? ? ? nx
2

n ?1

分析:本数列既不成等差数列也不成等比数列,而且每一 项都不能写成两项的差。但是:

当x ? 1 时, 即S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n为 等差数列的求和

当x ? 1 时,可用错位相减法转 化为等比数列的求和

解:
n(n ? 1) ?1?当x ? 1时,S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2

?2?当x ? 1时, Sn ? 1 ? 2 x ? 3x 2 ? 4 x3 ? ? ? (n ? 1) x n?2 ? nx n?1
xSn ?

x ? 2 x 2 ? 3x 3 ? ? ? (n ? 2) x n?2 ? (n ? 1) x n?1 ? nx

上述两式相减,可得

(1 ? x ) S n ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3

n ?1

? nx

n

1? x n ? ? nx 1? x n n 1? x nx ? Sn ? ? 2 ?1 ? x ? 1 ? x
n

综上所述

n( n ? 1) ? ? ? 2 Sn ? ? n n 1? x nx ? ? 2 ? 1? x ? ?1 ? x ?

?x ? 1? ?x ? 1?

评注:
1、本题所用的方法称为错位相减法。 2、在求含字母系数的等比数列的前n项和时,一定 要分公比 q ? 1和q ? 1 两种情况讨论。

3、错位相减法常用于求形如 an ? bn 的数列的求和, 其中?an 为等差数列, ? ?bn ?为等比数列

? ?

知识跟踪

1 2 3 n ?1?求和S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n a a a a
n(n ? 1) ? ? ? 2 Sn ? ? n a (a ? 1) ? n(a ? 1) ? n 2 ? a (a ? 1) ? (a ? 1) (a ? 1)

1 1 1 1 ?2?1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? n ? n 2 4 8 2
1 n? ? ? 2 ? n?1 ? n ? 2 ? ? 2

?1?求1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 例3、
2 2 2

2

(2)设bn ? n(n ? 3), 求b1 ? b2 ? ? ? bn
解:

?1? 由?n ? 1?
3 3 2

3

? ?n ? 1? ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 3 ? ?1 ? ? n ? ? n
3 3 2 2 2

2 ? 1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 1 ? ? 3 3 2 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 叠加 ? 3 3 2 4 ? 3 ? 3? 3 ? 3 ? 3 ?1 ?? ? ? ? 3 3 2 ?n ? 1? ? n ? 3 ? n ? 3 ? n ? 1? ?

? n ? 3n ? 3n ? 1
3 2

?

?

?1 ? 2 ? ? ? n
2 2

2

2n n ? 3n ? 3 ? 3n?n ? 1? ? 2n ? 6
2

?

?

n 2n ? 3n ? 1 n?n ? 1??2n ? 1? ? ? 6 6
2

?

?

评注:
这种求和方法比较特殊,不但用到了一个辅助等式 ,而且还采用了叠加求和的方法。但此题的结论相 当重要,在今后解题中可直接运用

?2?? bn ? n(n ? 3) ? n
? b1 ? b2 ? ? ? bn
2 2 2

2

? 3n
2

? (1 ? 3 ?1) ? (2 ? 3 ? 2) ? ? ? (n ? 3n) ? (1 ? 2 ? ? ? n ) ? 3(1 ? 2 ? ? ? n)
2 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) 3n(n ? 1) n(n ? 1)( n ? 5) ? ? ? 6 2 3

评注:
此题求和的方法称为分组结合法。

知识跟踪

1 1 1 ?1?2 ? 4 ? ? ? (2n ? n ) 3 9 3 ?2?1? 4 ? 2 ? 5 ? 3 ? 6 ? ? ? n(n ? 3)

3n ? 1 n(n ? 1) ? 2 ? 3n

(三)再现性题组

?1?数列?an ?的通项公式是an ?

1

n( n ? 1)( n ? 5) 3

n ? n ?1 ?2?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ? ? 992 ? 1002 ? ________
n个 7 ? ? ? ?3?7 ? 77 ? 777 ? ? ? 77 ?7 ? _________

, 若S n ? 10,求n

?4?数列?an ?的通项公式为an ? ?? 1?

n ?1

? (4n ? 3), 求S100

三、小结归纳
1、数列求和常见的方法有公式法、错位相减法、 裂项法、分组结合法等。 2、如果数列能转化为等差数列或等比数列就用 公式法;如果数列项的次数和个数有规律可循一 般用错位相减法;如果每项可以写成两项之差一 般采用裂项法;如果能求出通项公式,可用分组 结合法。

3、几种常用的结论:

n( n ? 1) 1? 2 ? 3 ??? n ? 2 n( n ? 1)( 2n ? 1) 2 2 2 2 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 6 ? n( n ? 1) ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? 2 ? ?
3 3 3 3 2

欢迎各位老师提出 宝贵的意见!


相关文章:
专题--数列求和的基本方法和技巧
专题--数列求和的基本方法和技巧_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题--数列求和的基本方法和技巧,希望有所帮助。数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要...
数列求和的方法大全
数列求和的方法大全。对数列求和的方法系统总结 数列求和的题型和方法 公式法、性质法求 题型 1 公式法、性质法求和 1.基本数列的前 n 项和 ⑴ ? n( a1 +...
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学 数列求和 数列求和的常用方法永德二中 王冬梅数列是高中数学的重要内容, 又是学习高等数学的基础。 ...
数列求和的基本方法归纳
数列求和的基本方法归纳_数学_高中教育_教育专区。数列求和的基本方法归纳教师:王光明 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都...
经典数列求和公式
在线互动式文档分享平台,在这里,您可以和千万网友分享自己手中的文档,全文阅读其他用户的文档,同时,也可以利用分享文档获取的积分下载文档
高中数学数列求和方法
在线互动式文档分享平台,在这里,您可以和千万网友分享自己手中的文档,全文阅读其他用户的文档,同时,也可以利用分享文档获取的积分下载文档
一般数列的求和方法
一般数列的求和方法湖南省涟源立珊中学 肖光辉 一、引言:等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的,其它的数列的求和不总是可求的,但 某些特殊数列的求和...
高中数学经典的解题技巧和方法(数列求和及综合应用)
在线互动式文档分享平台,在这里,您可以和千万网友分享自己手中的文档,全文阅读其他用户的文档,同时,也可以利用分享文档获取的积分下载文档
数列求和的8种方法
数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)一、总论:数列求和 7 种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法...
数列求和常见的7种方法
在线互动式文档分享平台,在这里,您可以和千万网友分享自己手中的文档,全文阅读其他用户的文档,同时,也可以利用分享文档获取的积分下载文档
更多相关标签:
数列的求和方法 | 等差数列的求和 | 数列的求和公式 | 等比数列的求和公式 | 数列求和的七种方法 | 等差数列的求和公式 | 数列求和的常用方法 | 等比数列的求和 |