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2016届湖北省孝感高中2013-2014学年高一上学期期中考试 数学试题(含答案解析)


孝感高中2013-2014学年度上学期期中考试试卷

高一数学
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
3 2 1.设集合 A = {x | x ? 2 x ? x + 2 = 0} ,下列哪个元素不属于集合A(



A.1

r />
B. ?1

C.2

D. ?2

2 1 1 1 1 1 5 a 3 b 2 g(?3a 2 gb 3 ) ÷ ( a 6 b 6 ) 3 2.化简 的结果为(

) D.9 a )

A.6 a

B. ? a

C. ?9a

3.下列函数中,为偶函数且在区间 (0, 2) 上为减函数的是( A. y = 3 ? x
f ( x) =

B.

y = x2 + 1

C.

y=

1 x

D y = ?| x|

4.函数

x +1 x 的定义域为(

) C. [?1,0) U (0, +∞) D. [?1, +∞)

A. [?1,0]

B. (0, +∞)

5.设集合 A = {x | 0 ≤ x ≤ 6} , B = { y | 0 ≤ y ≤ 2} ,则下列各选项中,从 A 到 B 的对应法则 f 不是映 射的是( ) B.
2

1 f :x→ y = x 3 A.

f :x→ y=

x 6

C.

f :x→ y=

x 4

D.

f :x→ y =

1 x 2

6.已知函数

f ( x) =

1+ x , 1 ? x 2 则有(

) B.
f ( x) 1 f ( ) = f ( x) 是奇函数,且 x

1 f ( ) = ? f ( x) f ( x) A. 是奇函数,且 x

7.某供电公司采用分段计费的方法来计算电费,月用电量(度)与相应电费 y (元)之间的 函数关系如图所示,当月电量为300度时,应交电费( ) A.165元 B.170元 C.175元 D.180元
第 1 页 共 7 页

C.

f ( x)

1 f ( ) = ? f ( x) 是偶函数,且 x

D.

f ( x)

1 f ( ) = f ( x) 是偶函数,且 x

8.定义在R上的偶函数 A. f (3) < f (?2) < f (1) C. f (1) < f (3) < f (?2)

f ( x)

对任意

x1 , x2 ∈ [0, +∞) ( x1 ≠ x2 )

,有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) <0 x2 ? x1

,则(



B. f (1) < f (?2) < f (3) D. f (?2) < f (3) < f (1) )

2 9.若关于 x 的方程 x ? x ? (m + 1) =0在 [?1,1] 上有解,则 m 的取值范围是(

A. ?1 ≤ m ≤ 1

B.

m≥?

5 4

C. m ≤ 1

5 ? ≤ m ≤1 D. 4

10.已知定义域为R的函数 y = f ( x) 在 (?∞, a )(a > 0) 上是增函数,且函数 y = f ( x + a) 是偶函数, 当 x1 < a, x2 > a,| x1 ? a |<| x2 ? a | 时,有( A. f (2a ? x1 ) > f (2a ? x2 ) C. f (2a ? x1 ) < f (2a ? x2 ) )

B. f (2a ? x1 ) = f (2a ? x2 )
f (2a ? x 2 ) D. f (2a ? x1 ) 与 的大小关系不能确定

二、填空题:本题共25分,每小题5分,请将各题的正确答案直接写在题目的横线上。
4 3 2 11.分解因式: x ? 2 x + x ? 4 =

. . . ,其

3 x 12.已知 log 6 = 0.6131,log 6 = 0.3869 ,则 x =

2 13.若函数 f ( x) = x + 2(a ? 1) x + 2 在 [?4, 4] 上具有单调性,那么实数 a 的取值范围是

14.将一块边长为 a cm的正方形剪去4个角(4个全等的小正方形)做成一个无盖铁盒,则铁 盒的容积 y (cm3)与剪去的小正方形的边长 x (cm)的函数关系式是 定义域为 . 15.下列三个命题:

①若定义在R上的函数 f ( x) 在 [0, +∞) 上是增函数,在 (?∞,0) 上也是增函数,则 f ( x) 在
(?∞, +∞)

上是增函数;

②如果函数 y = f ( x) 是R上的减函数,则 k > 0 ( k 是常数)时, kf ( x) 也是R上的减函数;
2 ③函数 y = x ? 2 | x | ?3 的单调增区间只有 [1, +∞) .其中命题正确的序号是

.(把

所有正确命题的序号都填上).

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三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x?a <0 x 16.(本题满分12分)记关于 的不等式 x + 1 的解集为 P ,不等式 | x ? 1|≤ 1 的解集为 Q . (1)若 a = 3 ,求 P ;

(2)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

2 2 17.(本题满分12分)解关于 x 的不等式: 12 x ? ax ? a > 0 (a ∈ R ) .

18. (本题满分12分) A 、 B 两城相距100km,在两地之间 (直线AB上)距 A 城 x km处的 D 地 建一核电站给 A 、 B 两城供电,为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10km.已 知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数为0.3,若 A 城供电量为20 亿度/月, B 城为10亿度/月. (1)求月供电总费用 y 表示成 x 的函数; (2)核电站建在距A城多远,才能使供电费用最小?

19.(本题满分12分)已知定义域为R的函数 ①求实数 a 的值; ②用定义证明: f ( x) 在R上是减函数;
2 ③解不等式: f ( x ? 2 x ? 2) + f (?1) > 0 .

f ( x) =

?2 x + a 2 x + 1 是奇函数.

第 3 页 共 7 页

20. (本题满分13分)设函数 f ( x) 是定义在 (?∞, +∞) 上的增函数,是否存在这样的实数 a ,
2 使得不等式 f (1 ? ax ? x ) < f (2 ? a ) 对于任意 x ∈ [0,1] 都成立?若存在,试求出实数 a 的取

值范围,若不存在,请说明理由.

21.(本题满分14分)已知函数

f ( x) = a ?

1 | x| .

(1)判断函数 y = f ( x) 在 (0, +∞) 上的单调性,不用证明; (2)若 f ( x) < 2 x 在 (1, +∞) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 y = f ( x) 在 [m, n] 上的值域是 [m, n] (m ≠ n) ,求实数 a 的取值范围.

第 4 页 共 7 页

高一数学参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题
2 11. ( x + 1)( x ? 2)( x ? x + 2)

1 D

2 C

3 D

4 C

5 D

6 C

7 C

8 A

9 D

10 A

12.2

13. a ≥ 5 或 a ≤ ?3 15.②

14. 三、解答题

y = (a ? 2 x)2 x

a {x | 0 < x < } 2

x?3 <0 a = 3 时, x + 1 .∴ ?1 < x < 3 ,∴ P = {x | ?1 < x < 3} ………………(5分) 16. (1)

(2)由 | x ? 1|≤ 1 得 0 ≤ x ≤ 2 ,即 Q = {x | 0 ≤ x ≤ 2} ………………………………(7分)
x?a < 0 ? ( x + 1)( x ? a ) < 0 由又 x + 1

又Q a > 0 ,∴ ?1 < x < a ,即 P = {x | ?1 < x < a} …………………………………………(9分)
Q Q ? P ,∴ a > 2 …………………………………………………………………………(2分)
2 2 17.解: 12 x ? ax ? a > 0 ? (4 x + a)(3 x ? a) > 0 …………………………………………(2分)

a a x<? 3或 4 ;当 a = 0 时, x ∈ R 且 x ≠ 0 . a a x>? x< a < 0 4 3 ……………………………………………………………(10分) 当 时, 或

当 a > 0 时,

x>

综上,当 a > 0 时,原不等式的解集为:

{x | x >

a a x<? } 3或 4 。

当 a = 0 时,原不等式的解集为: {x | x ∈ R 且 x ≠ 0} . 当 a < 0 时,原不等式的解集为:
{x | x > ? a a x< } 4或 3 ………………………………(12分) (10 < x < 90)

2 2 2 18. (1)解: y = 0.3x × 20 + 0.3 × (100 ? x) × 10 = 9 x ? 600 x + 30000

……(7分)

(2) 当
x=

y = 9 x 2 ? 600 x + 30000 = 9( x ?

100 2 ) + 20000 3

100 3 时,月供电费用最小…………………………………………………………(12分)

19. (1)由 f (? x) = ? f ( x) 得 a = 1 ………………………………………………………(3分)

第 5 页 共 7 页

(2)在R上任取 x1 、 x2 ,且 x1 < x2 , ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

1 ? 2 x 1 ? 2 x2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? x2 = x1 x1 2 + 1 2 + 1 (2 + 1)(2 x2 + 1)

Q x1 < x2 ∴ 2 x1 < 2 x2 ,(1 + 2 x1 )(1 + 2 x2 ) > 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0

,

,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,

故 f ( x) 在R上是减函数.…………………………………………………………………(8分) (3)由题意得(2)可知:
f ( x 2 ? 2 x ? 2) + f (?1) > 0 ? f ( x 2 ? 2 x ? 2) > f (1) ∴ x 2 ? 2 x ? 2 < 1 即 x 2 ? 2 x ? 3 < 0 ,∴ ?1 < x < 3 .

.

故不等式的解集为: {x | ?1 < x < 3} ……………………………………………………(13分)
2 20.假设存在,由题意知: 1 ? ax ? x < 2 ? a 在 x ∈ [0,1] 上恒成立.

2 法1:即 g ( x) = x + ax ? a + 1 在 x ∈ [0,1] 上的最小值大于0……………………………(3分)

a a2 g ( x) = ( x + )2 ? ? a + 1 2 4 . a ≤0 ,即 a ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) = 1 ? a > 0 , a < 1 ,∴ 0 ≤ a < 1 ………………………(6分) 若 2 a ? ≥1 若 2 即 a ≤ ?2 时, g ( x) ≥ g (1) = 2 > 0 .成立………………………………………(9分) ?



0<?

a a2 <1 g ( x) ≥ ? ? a + 1 > 0 2 4 即 ?2 < a < 0 时, ,

即 ?2 ? 2 2 < a < ?2 + 2 2 ,∴ ?2 < a < 0 .………………………………………………(12分) 综上:
a < 1 ………………………………………………………………………(13分)

2 法2:即 (1 ? x)a < x + 1 ,在 x ∈ [0,1] 上恒成立.

………………………………(3分)

当 x = 1 时, a ∈ R , 当 0 ≤ x < 1 时,
a< x2 + 1 1 ? x 在 x ∈ [0,1] 上恒成立.

x2 + 1 1 ? x 在 x ∈ [0,1) 上的最小值. ………………………………(5分) 即 a 小于函数 x 2 + 1 (1 ? x)2 ? 2(1 ? x) + 2 2 g ( x) = = = (1 ? x) + ?2 1? x 1? x 1? x . g ( x) =



t = 1 ? x ∈ (0,1], g ( x) = t +

2 ? 2 (0,1] t 在 上为减函数, ………………………………(10分)

∴ g ( x) ≥ g (1) = 1 +

2 ? 2 =1 1 ,∴ a < 1 .

………………………………(13分)

21.(1)

x ∈ (0, +∞)



f ( x) = a ?

1 x ,为增函数.……………………………………(3分)

第 6 页 共 7 页

(2)

f ( x) < 2 x



(1, +∞)

上恒成立,即

a?

1 1 < 2x a < 2x + x x 在 (1, +∞) 上恒成立. ,即

∴ a 小于

g ( x) = 2 x +

1 x , x ∈ (1, +∞ ) 的最小值.

1 g ( x) = 2 x + 在(1, +∞) x 又 上为增函数 ∴ g ( x) > g (1) = 3 ∴a ≤ 3

…………………………………………………………(7分)

(3)若 m > 0 ,由(1)可知, f ( x) 在 [m, n] 上有增函数.
1 ? f ( m) = a ? = m ? ? m ∴? ? f ( n) = a ? 1 = n ? n ?

? m 2 ? am + 1 = 0 ? 2 n ? an + 1 = 0 即?

?V= a 2 ? 4 > 0 ? ∴ ? x1 + x2 = a > 1 ? ∴ m 、 n 是方程 x 2 ? ax + 1 = 0 的两不同实根, ? x1 x2 = 1 > 0 ,∴ a > 2 .…………(10分)

若 n < 0 时,

f ( x) = a +

1 x 在 [m, n] 上有为减函数.

1 ? f ( m) = a ? = n ? ? m ∴? 1 ? f ( n) = a ? 1 = m ∴ n ? m = 1 ? 1 = m ? n ∴a = n + = 0 ? n ? ∴ mn = ? 1 n m mn m , , , . …………(13分) a a > 2 a = 0 故 的取值范围是 或 .………………………………………………………(14分)

第 7 页 共 7 页


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