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等比数列前n项和优秀教案


等比数列的前 n 项和
一、教学目标 1.知识目标:理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在 此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。 2.能力目标:通过启发、引导、分析、类比、归纳,并通过严谨科学的解题思 想和解题方法的训练,提高学生的数学素养。 3.情感目标: 通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、 认识社会, 形成科学的世界观和价值

观。 二、教学重点与难点 重点:掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 难点:错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 三、教学过程 (一)复习: 首先回忆一下前两节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母 q 表示(q≠0),即: { an }成等比数列

?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

“ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件(前提条件)。 2. 等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0)
3.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 4.等比中项:G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 5.性质:若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq 6.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法

1

如: 有一个数列满足 an ? 5 ? 3n ?1 ,与公式 an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 比较我 们可以判断出这个数列为等比数列且 a1 ? 5, q ? 3 。 (二)讲解新课 创设问题情景 课首给出引例: “一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一 口答应了下来,但提出了如下条件:在 30 天中,富人第一天借给穷人 1 万元,第二天 借给穷人 2 万元,以后每天所借的钱数都比上一天多 1 万;但借钱第一天,穷人还 1 分 钱,第二天还 2 分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人 听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很 为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上进入到研究者的 角色中来!] 学生直觉认为穷人可以向富人借钱,教师引导学生自主探求,得出: 穷人 30 天借到的钱: S 30 ? 1 ? 2 ? ? ? 30 ?
'

(1 ? 30) ? 30 ? 465 (万元) 2

穷人需要还的钱: S30 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 29 ? ? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求 S30 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 29 ? ?的问题让学生探究,

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 229

①若用公比 2 乘以上面等式的两边,得到

2S30 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 ? 230 ②
若②式减去①式,可以消去相同的项,得到: (分) ≈1073(万元) > 465(万元) S30 ? 230 ? 1 ? 1073741823 答案:穷人不能向富人借钱 引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前 n 项和公式? (学生很自然地模仿以上方法推 导)

S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 (1) qSn ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?1 ? a1q n (2)

2

(1)-(2)有 (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n

q ?1 ?na1 , ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1? q ? 1? q ?

, q ?1

推导等比数列前 n 项和 S n 的公式,教师引导讲完课本上的推导方法后, 教师:还有没有其他推导方法?(经过几分钟的思考,有学生举手发言) 学生 A: ?

a a a2 ? 3 ??? n ? q a1 a2 a n ?1

?

a 2 ? a3 ? ? ? a n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1



s n ? a1 a ? an q ? q ? sn ? 1 (q ? 1) sn ? an 1? q 。
学生 B:

sn ? a1 ? a1q ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1
? a1 ? q a1 ? a1q ? ? ? a1q n?2 ? a1 ? qsn?1 ? a1 ? q?s n ? a n ? ? a1 ? qsn ? a n q

?

?

? sn ? qsn ? a1 ? an q ? sn

?

a1 ? an q (q ? 1) 1? q

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路! 教师让学生进行各种尝试,探寻公式的推导的方法,同时抓住机会或创设问题情景 调动了学生参与问题讨论的积极性,培养学生的探究能力,发挥了组织者、推进者 和指导者的作用,而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者!让学 生享受成功的喜悦! ] 【基础知识形成性练习】 1、 求下列等比数列的各项和: (1)1,3,9,?,2187 (2) 1,?

1 1 1 1 , ,? , ? ,? 2 4 8 512

2、根据下列条件求等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ① a1 ? 2, q ? 2, n ? 8 ② a1 ? 8, q ? 2, a n ?

1 2

(四)数学应用 例 1 求等比数列 1/2,1/4,1/8??的

3

(1) 前 8 项的和; (2) 第四项到第八项的和 解 : (1) ? a1 ?

1 1 ,q ? ,n ? 8 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? 255 ? S8 ? 2 1 256 1? 2 1 3 ,n ? 5 (2)? a 4 ? a1 q ? 16 1 1 (1 ? 5 ) 2 ? 31 ? S ' ? 16 1 256 1? 2

例 2:在等比数列 ?an ? 中, (1)已知 (2)已知

a1 ? ?4, q ? 2, 求 S n

a1 ? 1, ak ? 243 , q ? 2 求 Sk

[例 1 教师板演示范,强调解题的规范。例 2、例 3 学生分析解法,学生不会时要 分析出不会做的症结所在,然后再由学生板演出解题过程。] 【演练反馈巩固性练习】 1、在等比数列 ?an ? 中, ①已知 a1 ? ?1.5, a7 ? ?96 ,求 q 和 S n ②已知 a3 ? 4, S 3 ? 12, 求 q 和 a1 2、求数列 1 ? a ? a ? a ? ?a
2 3 n?1

? ?(a ? 0) 的前 n 项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作 业。然后老师给出评价] (五)课堂小结 等差数列 求和公式 推导方法 公式应用 等比数列

4

[由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容] (六)布置作业 1、 根据下列条件,求等比数列 ? an ①:

?的前 n 项和 S n
②: a1 ? 8, q ? ④:

a1 ? 3, q ? 2, n ? 6

1 1 , an ? 2 2

,n ? 4 ③: a2 ? 0.12, a5 ? 0.00096
a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a 6 ?
2、 在等比数列

5 , 4

? an ?中,

①:已知 a1 ? 2, S 3 ? 26 ,求 q 和 S n ②:已知 S 2 ? 30, S 3 ? 115,求 S n 3、在等比数列 ? an

?中,已知 S n

? 48, S 2 n ? 60 ,求 S 3 n

[作业要求:允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在, 就算完成了作业。] 五、板书设计 公式推导 等比数列的前 n 项和 例题 练习

六、教学后记 本节课授课对象为实验班的学生,学习基础较好。同时,考虑到这是一节探究课, 授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发,采用“教师设计问 题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明(1) 创设问题情景、布疑激趣(2)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型(3) 探寻特例、提出猜想(4)数学应用(5)知识评估。学生在未经预习不知等比数列 求和公式和证明方法的前提下,在教师预设的思路中,一步步发现了公式并推导了 公式,感受到了创造的快乐,激发了学习数学的爱好,教学的知识目标、能力目标、 情感目标均得到了较好的落实。

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