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2.5.1 等比数列的前n项和


课时训练 13 等比数列的前 n 项和
一、等比数列前 n 项和公式的应用
1.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项的和等于( A.31 答案:B 解析:∵S5=1,∴
1 (1-25 ) 1 (1-210 ) =1,即 a1=31.∴S10= 1 =33. 1-2 1-2 2

)

/>B.33

C.35

D.37

2.设首项为 1,公比为3的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( A.Sn=2an-1 C.Sn=4-3an 答案:D 解析:Sn=
1 (1- ) 1-

)

B.Sn=3an-2 D.Sn=3-2an
1-3 1-3
2 2

=

1 - 1-

=

=3-2an,故选 D.
2

3.(2015 福建厦门高二期末,7)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 27a2-a5=0,则 4等于( A.-27 答案:B 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 27a2-a2q3=0,解得 q=3, B.10 C.27 D.80

)

∴4 =
2



1 (1-4 ) 1- · =1+q2=10.故选 B. 1- 1 (1-2 )

4.(2015 课标全国Ⅰ高考,文 13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n= 答案:6
+1 解析:∵an+1=2an,即 =2,∴{an}是以 2 为公比的等比数列.

.



又 a1=2,∴Sn=

2(1-2 ) =126.∴2n=64,∴n=6. 1-2

5.设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|= 答案:15 解析:由数列{an}首项为 1,公比 q=-2,则 an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.

.

二、等比数列前 n 项和性质的应用
6.一个等比数列的前 7 项和为 48,前 14 项和为 60,则前 21 项和为( A.180 答案:D
1

)

B.108

C.75

D.63

解析:由性质可得 S7,S14-S7,S21-S14 成等比数列,故(S14-S7)2=S7· (S21-S14). 又∵S7=48,S14=60,∴S21=63. 7.已知数列{an},an=2n,则 答案:11 2 1 1 1 + +…+ = 1 2

.

解析:由题意得:数列{an}为首项是 2,公比为 2 的等比数列,由 an=2n,得到数列{an}各项为:2,22,…,2n,所 以
1 1 1 + +…+ 1 2

= +

1 2

1 22

+…+ .所以数列

1 2

1

是首项为 ,公比为 的等比数列.则

1 2

1 2

1 1

+

1 1 +…+ 2

=

1 1 1 + +…+ 2 22 2

=

1 1 2 1- 2 1 1-2

=1- .

1 2

8.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2· an-1=128,Sn=126,求 n 和 q. 解:∵a2an-1=a1an,∴a1an=128. 解方程组 1 = 128, = 64, = 2, 得 1 ①或 1 ② 1 + = 66, = 2, = 64.
1 - =126,可得 1-

将①代入 Sn=

q=2,

1

由 an=a1qn-1,可得 n=6. 将②代入 Sn=
1 - =126,可得 1-

q=2,

由 an=a1qn-1 可解得 n=6. 综上可得,n=6,q=2 或 .
1 2

三、等差、等比数列的综合应用
9.已知数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,设 cn= ,Tn=c1+c2+…+cn,当 Tn>2 013 时,n 的最小值为 ( A.7 答案:C 解析:由已知 an=2n-1,bn=2n-1,∴cn= =2×2n-1-1=2n-1.
1-2 -n=2n+1-n-2. 1-2

) D.11

B.9

C.10

∴Tn=c1+c2+…+cn=(21+22+…+2n)-n=2× ∵Tn>2 013, ∴2n+1-n-2>2 013,解得 n≥10, ∴n 的最小值为 10,故选 C.

10.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 S7=77,a1,a3,a11 成等比数列. (1)求 an; (2)若 bn=2 ,求{bn}的前 n 项和 Tn.
2

解:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),由 S7=

7(1 +7 ) =77 可得 2

7a4=77,则 a1+3d=11 ①.

2 因为 a1,a3,a11 成等比数列,所以3 =a1a11,整理得 2d2=3a1d.

又 d≠0,所以 2d=3a1 ②, 联立①②,解得 a1=2,d=3,所以 an=3n-1. (2)因为 bn=2 =23n-1=4· 8n-1,所以{bn}是首项为 4,公比为 8 的等比数列. 所以 Tn=
4(1-8 ) 1-8 23+2 -4 . 7

=

(建议用时:30 分钟)
1.在等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,则 n 的值为( A.5 答案:C 解析:显然 q≠1,由 an=a1· qn-1,得 96=3×qn-1. 又由 Sn=
1 - ,得 1-

) D.7

B.4

C.6

189=

3-96 . 1-

∴q=2.∴n=6.
2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1,S3,S2 成等差数列,则{an}的公比等于( A.1 答案:C 解析:设等比数列{an}的公比为 q, 由 2S3=S1+S2,得 2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得 2q2+q=0, 解得 q=- 或 q=0(舍去).故选 C. 3.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比 q 等于( A.2 答案:C 解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得 a4-a3=3a3 即 a4=4a3,∴q=4. 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则5=(
2

)

B.2

1

C.-2

1

D. 2

1+ 5

1 2

) D.
1 4

B.

1 2

C.4



) D.-11

A.11 答案:D

B .5

C.-8

解析:设等比数列的首项为 a1,公比为 q, 则 8a1q+a1q4=0,解得 q=-2.

3

∴5 =
2



1(1-5) 1- 1(1-2) 1-

=

1-5 =-11. 1-2

5.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的 是(
2

) B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

A.X+Z=2Y C.Y =XZ 答案:D

解析:Sn=X,S2n-Sn=Y-X,S3n-S2n=Z-Y, 不妨取等比数列{an}为 an=2n, 则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列,

∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得 D 正确.
6.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要 的最少天数 n(n∈N*)等于 答案:6 解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 Sn= 1+2n)≥100,
2(1-2 ) =2(1-2

.

∴2n≥51, ∴n≥6.
7.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 答案:
31 16 1

的前 5 项和为

.

解析:易知公比 q≠1. 由 9S3=S6,得 9×
1 (1-3 ) 1-

=

1 (1-6 ) ,解得 1-

q=2.
1 5



1

是首项为

1- 2 1 1,公比为2的等比数列.∴其前 5 项和为 1 1-2 1

= 16. .

31

8.在等比数列{an}中,若 a1=2,a4=-4,则公比 q= 答案:-2 2n-1-2
1

;|a1|+|a2|+…+|an|=

解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所以 q=-2;等比数列{|an|}的公比为 |q|=2,则|an|=2×2n-1, 所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=2(1+2+22+…+2n-1)=2(2n-1)=2n-1-2.
4
1 1 1 1

9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2=4,a3+a4=17. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=2 +2 ,证明数列{bn}是等比数列并求其前 n 项和 Tn. (1)解:设等差数列{an}的公差为 d. 由题意知 3 + 4 = 1 + 2 + 1 + 3 = 17, 2 = 1 + = 4,

解得 a1=1,d=3,

∴an=3n-2(n∈N*).
(2)证明:由题意知,bn=2 +2 =23n(n∈N*), bn-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2),
23 23-3

∴ =
-1



=23=8(n∈N*,n≥2),

又 b1=8,∴{bn}是以 b1=8,公比为 8 的等比数列.

∴Tn=

8× (1-8 ) 1-8

= 7(8n-1).
1 1 1 , 成等比数列. 1 2 4

8

10.已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R),且 , (1)求数列{an}的通项公式; (2)对 n∈N*,试比较 + 2
1 1
22

+ +…+ 与 的大小. 3 1 2
2

1

1

1

解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由题意可知 2
1 2

= · ,
1 4

1

1

即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2, 因为 d≠0,∴d=a1=a. 故通项公式 an=na. (2)记 Tn= + +…+ , 2 2 22 因为2 =2na, 所以 Tn=
1 1 1 + 2 22 1 1 1

+…+

1 2

1 1 1 2 1 2 = · 1 1-2

=

1

11

1 2

.

从而,当 a>0 时,Tn< ;
1

当 a<0 时,Tn> .
1

1

5


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