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2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷和答案


2007 年安徽省高中数学联赛初赛试卷
(考试时间:2007 年 9 月 8 日 9:30—11:30) 一. 选择题(本题 36 分,每题 6 分) 1.如果集合 A,B 同时满足 A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1}, 就称有序集对(A,B)为”好集对”.这里有序集对(A,B)意指,当 A≠B 时(A,B)和(B,A)是不同的 集对.那

么”好集对”一共有________个. A. 64 B. 8 C. 6 D. 2 2.设函数 f(x)=lg(10 A. log 2 (lg2)-1
?x

+1),方程 f(-2

?x

)=f(2 )的解为_______. C. lg(lg2)+1 D. log 2 ( log 2 10)+1

x

B. lg(log 2 10)-1

3.设 A=100102102103---499500 是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺序排 列而成.那么,A 除以 126 的余数是_________. A. 78 B. 36 C. 6 D. 0 4. 直 角 ⊿ ABC 中 ∠ C=90
o

,CD 为 斜 边 上 的 高 ,AD=a,BD=b,CD=a-b=1. 设 数 列 { uk } 的 通 项 为

uk = ak ? ak ?1b ? ak ?2b2 ???? ? (?1)k bk , k=1,2,3?,则___________.
A. u2008 ? u2007 ? u2006 C. 2007u2008 ? 2008u2007 B. u2008 ? u2007 ? u2006 D. 2008u2008 ? 2007u2007

5.在正整数构成的等差数列 1,3,5,7, ?中删去所有和 55 互质的项之后,把余下的各项按从小到 大 的 顺 序 排 成 一 个 新 数 列 { an }, 易 见 a1 =1, a2 =3, a3 =7, a4 =9, a5 =13, ? . 那 么

a2007 =____________________.
A. 9597 B. 5519 C. 2831 D. 2759

6.设 A ? 1 ? cos3o ? 1 ? cos7o ? 1 ? cos11o ????? 1 ? cos87o

B ? 1? cos3o ? 1? cos7o ? 1 ? cos11o ????? 1? cos87o
则 A/B=_____________. A.

2? 2 2

B.

2? 2 2

C.

2 ?1

D.

2 ?1

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共有_________种.
n 8.设 n≥2007,且 n 为使得 an = ( 2 ? 2 ? i 2 ? 2 ) 取实数值的最小正整数,则对应此 n 的

an =____________.

9. 若正整数 n 恰好有 4 个正约数 , 则称 n 为奇 异数 , 例如 6,8,10 都是 奇异数 . 那么 , 在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个正整数中,奇异数有__________. 10.平行六面体 ABCD-- A1B1C1D1 中,顶点 A 出发的三条棱 AA 1 ,AB,AD 的长度分别为 2,3,4,且两两 夹 角 都 为 60
o

, 那 么 这 个 平 行 六 面 体 的 四 条 对 角 线 AC 1 ,BD 1 ,DB 1 ,CA 1 的 长 度 分 别 为

______________. 11.函数 f(x),g(x)的迭代函数定义为:

f (1) ( x) ? f ( x), f (2) ( x) ? f ( f ( x)), ???, f ( n) ( x) ? f ( f ( n?1) ( x)), g (1) ( x) ? g ( x), g (2) ( x) ? g ( g ( x)), ???, g ( n) ( x) ? g ( g ( n?1) ( x)),
其中 n=2,3,4, ?.设 f(x)=2x-3,g(x)=3x+2,方程组

? f (9) ( x) ? g (9) ( y ) ? (9) (9) ? f ( y) ? g ( z) ? f (9) ( z ) ? g (9) ( x) ?
的解为_____________________. 12.设平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=2,BD=2 3 ,则平行四边形 ABCD 绕 AC 旋转所得旋转体的体积 为______________. 三.解答题(本题满分 60 分,每题 20 分) 13.已知椭圆 C: 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 和点 Q(q,0),直线 l 过 Q 且与椭圆 C 交于 A,B 两点(可以重合) 1)若∠AOB 为钝角或平角(O 为原点).q=4.试确定 l 的斜率的取值范围. 2)设 A 关于长轴的对称点为 A 1 ,F 为椭圆的右焦点,q=4,试判断 A 1 与 F,B 三点是否共线,并说明理 由. 3)问题 2)中,q≠4,那么 A 1 ,F,B 三点还能否共线?请说明理由. 14.数列{ xn }由下式确定: xn ?1 ?

xn , n? N* 2 xn ? 1

x1 ? 1

试求 lg x2007 的整数部分 k=[ lg x2007 ].(注[a]表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分.) 15.设给定的锐角三角形⊿ABC 的三变长为 a,b,c,正实数 x,y,z 满足

ayz bzx cxy ? ? ?P x y z
其中 P 为给定的正实数,试求:

S ? (b ? c ? a) x2 ? (c ? a ? b) y 2 ? (a ? b ? c) z 2
的最大值,并求出当 S 取此最大值时,x,y,z 的取值.

2007 年安徽省高中数学联赛初赛试卷答案
(考试时间:2007 年 9 月 8 日 9:30—11:30)

一、 选择题 1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.

1.逐个元素考虑归属的选择. 元素 1 必须同时属于 A 和 B. 元素 2 必须至少属于 A、B 中之一个,但不能同时属于 A 和 B,有 2 种选择:属于 A 但不属于 B,属于 B 但不属于 A. 同理,元素 3 和 4 也有 2 种选择. 但元素 2,3,4 不能同时不属于 A,也不能同时不属于 B. 所以 4 个元素满足条件的选择共有 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 种.换句话说, “好集 对”一共有 6 个. 答:C.

2. 令 y ? lg(10? x ? 1) , 则 y ? 0 , 且 10? x ? 1 ? 10 y , 10? x ? 10 y ? 1 ,
? x ? lg(10y ? 1) , x ? ? lg(10y ? 1) .从而 f ?1 ( x) ? ? lg(10x ? 1) .

令 2 x ? t ,则题设方程为 故 解得

f (?t ) ? f ?1 (t ) ,即

lg(10t ? 1) ? ? lg(10t ? 1) ,

lg[(10t ? 1)(10t ? 1)] ? 0 , (10t ? 1)(10t ? 1) ? 1 , 102t ? 2 , 2t ? lg 2 ,
2x ? t ? 1 lg 2 . 2

从而

1 x ? log 2 ( lg 2) ? l o g 2) ? 1 . 2( l g 2

答:A.

3. 注意 126 ? 2 ? 7 ? 9 ,2,7 和 9 两两互质.

因为 A ? 0 (mod2),

A? ( 1 ? 0 ? 0) ? ( 1? 0 ?1 ) ? ( 1 ? 0 ? 2) ??? (4 ? 9 ? 9) ? (5 ? 0 ? 0)

? 100 ? 101 ? 102 ? ? ? 500 ? ( 100 ? 500) ? 401 ? 2 ? 120300 ? 6 (mod9),

所 以 (1 )

A?6

( mod18 ) .


4


0


0

103 ? ?1
400 i ?0



103n ? (?1) n



mod7



,





i A ? ? (500 ? i) ? 103i ? ? (500 ? i ) ? (? 1 ) i ?0

? (500? 499) ? (498? 497) ? (496 ? 495) ? ? ? (102? 101 ) ? 100 ? 300 ? 6

( mod7 ) .

(2) 由(1) , (2)两式以及 7 和 18 互质,知 A ? 6 (mod126). 答:C.

( 10 6 ? 1 ) ( 10 6 n ? 1 ), 另 解 : 126 ? 2 ? 63 , 63999999, 999999? 106 ? 1 ,

n ? 1,2,3,?

.





A ? 100?101200 ? 101102 ?101194 ? 103104 ?101188 ? ? ? 497498 ?106 ? 499500 ? 100? ( 101200 ? 1 ) ? 101102 ? ( 101194 ? 1 ) ? 103104 ? ( 101188 ? 1 ) ? ? ? 497498 ? ( 106 ? 1 ) ?

( 100 ? 101102 ? 103104 ? ? ? 497498 ? 499500) ? 999999 B ? 100 ? ( 101102 ? 499500) ? 200 ? 2 ? 999999 B ? 100 ? 60060200

? 999999 B ? 60060300 ? 999999 C ? 60360 ,

其中 B,C 为整数.从而 A ? 63 D ? 60360 ? 63 E ? 6 ,其中 D,E 为整数.所以 A 除以 63 的余数为 6.因为 A 是偶数, 所以 A 除以 126 的余数也为 6. C.
2 (a ? b) ? ab ,又已知 a ? b ? 1 ,故 ab ? 1 , 4. 易见 CD 2 ? AD ? BD ,即

答:

a(a ? 1) ? 1 , a 2 ? a ? 1 ? 0 ; b(b ? 1) ? 1, b 2 ? b ? 1 ? 0 .

显然 uk 是首项为 a k ,公比为 q ? ? 的等比数列的前 k ? 1 项和.故
a k (1 ? q k ?1 ) a k ?1 ? (?b) k ?1 , uk ? ? 1? q a?b
k ? 1,2,3? .

b a

从而

u k ? u k ?1 ?
?

a k ?1 ? (?b) k ?1 a k ? 2 ? (?b) k ? 2 ? a?b a?b

1 [a k ? 2 ? a k ?1 ? (?b) k ? 2 ? (?b) k ?1 ] a?b 1 1 ? [a k ?1 (a ? 1) ? (?b) k ?1 (?b ? 1)] ? [a k ?1 ? a 2 ? (?b) k ?1 ? b 2 ] a?b a?b 1 ? [a k ?3 ? (?b) k ?3 ] ? u k ? 2 , k ? 1,2,3? . a?b

故答案为 A.(易知其余答案均不成立)
2 (a ? b) ? ab ,又已知 a ? b ? 1 ,故 ab ? 1 , 另解:易见 CD 2 ? AD ? BD ,即

2 (a ? b) ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 12 ? 4 ?1 ? 5 , a ? b ? 5 .解得

a?

5 ?1 , 2
b a

b?

5 ?1 . 2

显然 uk 是首项为 a k ,公比为 q ? ? 的等比数列的前 k ? 1 项和,故
uk ? a k (1 ? q k ?1 ) a k ?1 ? (?b) k ?1 1 1 ? 5 k ?1 1 ? 5 k ?1 ? ? [( ) ?( ) ], 1? q a?b 2 2 5
k ? 1,2,3,? .

于是数列 ?uk ? 就是斐波那契数列 1,2,3,5,8,13,21,?, 它满足递推关系
uk ?2 ? uk ?1 ? uk ,
k ? 1,2,3,? .

所以答案为 A.

5. ?an ?可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,?中删去所有 能被 2, 5 或 11 整除的项之后, 把余下的各项按从小至大顺序排成的数列. 由三阶容斥原理,1,2,3,4,?, m 中不能被 2,5 或 11 整除的项的个 数为
?m? ?m? ? m ? ? m ? ? m ? ? m ? ? m ? xm ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? 2 ? ? 5 ? ?11? ? 55? ? 22? ?10? ?110?

其中 ?a ? 不表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分. 估 值 : 设

m m m m m m m 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? m ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) 2 5 11 55 22 10 110 2 5 11 4 1 4 10 11 ? m ,故 m ? 2007 ? ? 5519 . ? m? ? ? 2 5 11 11 4 2007 ? x m ? m ?

又因为
? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? x5519 ? 5519? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? 2 ? ? 5 ? ? 11 ? ? 55 ? ? 22 ? ? 10 ? ? 110 ?

=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007, 并且 5519 不是 2,5,11 的倍数,从而知 a2007 ? 5519. 答:B.

又解: ?an ? 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,?中删去 所有能被 2,5 或 11 整除的项之后,把余下的各项按从小至大顺序排成 的数列.因为 2, 5, 11 是质数, 它们的最小公倍数为 110.易见, -54, -53, ?,
? 3, ? 7, ? 9; ? 13, ? 17, ? 19; ? 21, 0, 1, 2, 3, ?, 55 中不能被 2, 5, 11 整除的数为 ? 1, ? 23, ? 27, ? 29; ? 31, ? 37, ? 39; ? 41, ? 43, ? 47, ? 49; ? 51, ? 53 ,共 40 个.(或由欧拉

公式,1,2,3,?,110 中不能被 2,5,11 整除的数的个数,等于 1,2, 3 , ? , 110 中 与 110 互 质 的 数 的 个 数 , 等 于

1 1 1 ?( 110) ? 110 ? ( 1? ) ? ( 1? ) ? ( 1? ) ? 40 .) 2 5 11

显然 1,2,3,?中每连续 110 个整数,不能被 2,5,11 整除的数 都有 40 个.所以,1,2,3,?,110 ? 50 ? 5500 中,不能被 2,5,11 整除 的数有 40 ? 50 ? 2000 个.大于 5500 中的数不能被 2, 5, 11 整除的, 是 5500+1, 5500+3,5500+7,5500+9,5500+13,5500+17,5500+19,?.所以 5519 是第 2007 个不能被 2, 5, 11 整除的数, 亦即所求的 a2007 ? 5519. 6.显然
A 1 ? cos3? 1 ? cos7 ? 1 ? cos87? ? ? ??? 2 2 2 2

答: B.

? cos1.5? ? cos3.5? ? cos5.5? ? ? ? cos43.5? ;

B

1 ? cos3? 1 ? cos7 ? 1 ? cos87? ? ? ??? 2 2 2 2

? sin 1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? .

注意到
2 cos? sin 1? ? sin(? ? 1? ) ? sin(? ? 1? ) , 2 sin ? sin 1? ? cos(? ? 1? ) ? cos(? ? 1? ) ,

所以
2 sin 1? ? A 2 ? (sin 2.5? ? sin 0.5? ) ? (sin 4.5? ? sin 2.5? ) ? (sin 6.5? ? sin 4.5? ) ? ?

? (sin 44.5? ? sin 42.5? ) ? sin 44.5? ? sin 0.5? ? 2 cos22.5? sin 22? ,
2 sin 1? ? B 2 ? (cos0.5? ? cos2.5? ) ? (cos2.5? ? cos4.5? ) ? (cos4.5? ? cos6.5? ) ? ?

? (cos42.5? ? cos44.5? ) ? cos0.5? ? cos44.5? ? 2 sin 22.5? sin 22? .


A : B ? (2 sin 1? ? A 2 ) : (2 sin 1? ? B 2 ) ? (2 cos 22.5? sin 22? ) : (2 sin 22.5? sin 22? ) ? cot 22.5?

? 2 ? 1.

答:D.
A 2 B 2
? cos1.50 ? cos3.50 ? cos5.50 ? ? ? ? cos43.50 ,

另解:

? sin 1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? ,

A 2

?i

B 2

? (cos1.5? ? i sin 1.5? ) ? (cos3.5? ? i sin 3.5? ) ? ? ? (cos43.5? ? i sin 43.5? )
21

? (cos1.5 ? i sin 1.5 )? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) k
? ? k ?0

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

1 ? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) 22 1 ? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) 1 ? (cos44? ? i sin 44? ) 1 ? (cos2 ? ? i sin 2? )
2 sin 2 22? ? 2i sin 22? cos22? 2 sin 2 1? ? 2i sin 1? cos1?

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

?

(cos1.5? ? i sin 1.5? )(?2i sin 22? )(cos22? ? i sin 22? ) (?2i sin 1? )(cos1? ? i sin 1? )
sin 22? (cos22.5? ? i sin 22.5? ) . ? sin 1

= 因为

A B A sin 22? cos 22.5? 和 是实数,所以 , ? sin 1? 2 2 2

B 2

?

sin 22? sin 22.5? , sin 1?
1? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2

A: B ?

A

cos 22.5 ? 2 cos2 22.5 ? 1 ? cos 45? : ? ? ? ? ? 2 sin 22.5 ? cos 22.5 ? sin 45? 2 2 sin 22.5 B

. 答:D. 二、 填空题(满分 54 分,每小题 9 分) 7.解:设△ABC 三边长 a, b, c 为整数, a ? b ? c ? 60, a ? b ? c, a, b, c 成等差 数列, ? A 为钝角,则必有 2b ? a ? c , b 2 ? c 2 ? a 2 . 易解得 60 ? a ? b ? c ? b ? (a ? c) ? b ? 2b ? 3b , b ? 20, a ? c ? 40; b 2 ? a 2 ? c 2
? (a ? c)(a ? c) ,即 202 ? 40(a ? c),10 ? a ? c .因此 50 ? (a ? c) ? (a ? c) ? 2a,25 ? a ,


a ? 26 .另外, b ? c ? a,60 ? a ? b ? c ? a ? a ? 2a, a ? 30, a ? 29 .易检验 (a, b, c)

? (26,20,14), (27,20,13), (28,20,12), (29,20,11) 都是钝角三角形.

答:4.

8. 注意到 x ? 2 ? 2 , y ? 2 ? 2 满足 x 2 ? y 2 ? (2 ? 2 ) ? (2 ? 2 ) ? 4 ,
x, y ? 0 ,故可令 x ? 2 cos? , y ? 2 sin ? , 0 < ? <

? . 从而 4 co s2 ? ? 2 ? 2 , 2

-

2 ? 4 cos2 ? ? 2 , -

2 3? ? 2 cos2 ? ? 1 ? cos ? cos2? 2 4

, 故 ??

3? 8



an ? (cos i sin

3n ? 3n? ? 0 ,当且仅当 n ? 8k , k ? Z.满足此 . an 取实数,当且仅当 sin 8 8

3? 3? 3n? ? i sin ) n ? cos + 8 8 8

条 件 且 n ? 2007
a n ? a 2008 ? cos

的 最 小 正 整 数 n 为 2008

, 此 时

3x 2008 ? ? cos 753? ? ?1 . 8

答:- 22008 . 9.易见奇异数有两类:第一类是质数的立方 p 3 ( p 是质数) ;第二 类是两个不同质数的乘积 p1 p 2 ( p1 , p2 为不同的质数).由定义可得
27 ? 33 是奇异数(第一类) ;
42 ? 2 ? 3 ? 7 不是奇异数; 69 ? 3 ? 23 是奇异数(第二类) ; 111 ? 3 ? 37 是奇异数(第二类) ;

125 ? 53 是奇异数(第一类) ;
137 是质数,不是奇异数;

343 ? 7 3 是奇异数(第一类) ;
(30 ? 1 ) (30 ? 1 ) ? 31 ? 29 是奇异数(第二类) 899 ? 900? 1 ? 302 ? 12 ? ; (60 ? 1 ) ? 61 ? 59 是奇异数(第二类) 3599? 3600? 1 ? 602 ? 12 ? (60 ? 1 ) ;

(第二类) . 7999? 8000? 1 ? 203 ? 13 ? (20 ? 1)(202 ? 20 ? 1) ? 19? 421是奇异数 答:8.

10. 解: 将向量 AA1 , b ? b ? 3, AB , AD 分别记为 a , c . 则 a ? a ? 2, b,
c ? c ? 4 ,且易见

AC1 ? a ? b ? c ,
2

A1C ? ?a ? b ? c ,
2 2 2

BD1 ? a ? b ? c ,

DB1 ? a ? b ? c .

所以 AC1 ? (a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2(a ? b ? b ? c ? c ? a)
? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) cos600 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 2 =55,

故 AC1 ? 55 . 类似地,可算得, BD1 ? 19 , DB1 ? 15 , CA1 ? 27 =3 3 . 答: 55 , 19 , 15 ,3 3 . 11. 令 x ? 3 ? t , 易 见 x ? t ? 3 , f ( x) ? 2 x ? 3 ? 2(t ? 3) ? 3 ? 2t ? 3 ,
f ( 2) ( x) ? 2(2t ? 3) ? 3 ? 2 2 t ? 3,?, f ( n) ( x) ? 2 n t ? 3 ; 令 y ? 1 ? s ,易 见 y ? s ? 1 ,
g ( y) ? 3 y ? 2 ? 3(s ? 1) ? 2
? 3s ? 1



g ( 2) ( y) ? 3(3s ? 1) ? 2 ? 32 s ? 1,?



g ( n) ( y) ? 3n s ? 1 , n ? 1,2,3,? .因此,题设方程组可化为
?2 9 ( x ? 3) ? 3 ? 36 ( y ? 1) ? 1, (1) ? 9 6 ?2 ( y ? 3) ? 3 ? 3 ( z ? 1) ? 1, (2) ?2 9 ( z ? 3) ? 3 ? 36 ( x ? 1) ? 1.(3) ?

(1)-(2) , (2)-(3) , (3)-(1)得
?2 9 ( x ? y ) ? 36 ( y ? z ), (4) ? 9 6 ?2 ( y ? z ) ? 3 ( z ? x), (5) ?2 9 ( z ? x) ? 36 ( x ? y ).(6) ?


x? y ? 36 36 2 36 3 ( y ? z ) ? ( ) ( z ? x ) ? ( ) ( x ? y) ? x ? y ? 0 ? y ? z ? 0 ? x ? y ? z . 29 29 29



代入(1)得
29 ( x ? 3) ? 3 ? 36 ( x ? 1) ? 1 , 512( x ? 3) ? 3 ? 729( x ? 1) ? 1 ,

512 x ? 1533 ? 729 x ? 728 ,

?2 1 7 x ? 2 2 6 ,1

? 31x ? 323 ,

所以原方程组的解为 x ? y ? z ? ?

323 . 31

323 . 31 323 答: x ? y ? z ? ? . 31 x??

12.以 VT ?l 表示平面图形 T 绕直线 l 所得旋转体体积. 记直线 AC 为 l ,作 BM , DN ? l ,交 l 于 E , F ,分别交 CD , AB 于 M , N . 过 O 作 PQ ? l ,分别交 AB, CD 于 P, Q .由于 O 是 BD 的中点,所以 P, Q 分别是
BN , DM 的中点.由对称性,易见所求旋转体体积为

V ? V平行四边形ABCD?l ? 2(V?ADN ?l ? V平行四边形NPQD ?l ) .

由于 AB ? 4,BD ? 2 3,AD ? 2 ,易见 ?ADB ? 90? ,?DBA ? 30? ,
AO ? AD2 ? DO2 ? 4 ? 3 ? 7 , AC ? 2 7 . 显 然 ?D A C? ?D C A? ?C A B,
DF ? FN

.
DF ? 2S ?ADO AD ? DO 2 3 2 ? ? ? 21 AO AO 7 7





AF ? AD2 ? DF 2 ? 4 ?

12 16 4 .从而由圆锥体积公式得 ? ? 7 7 7

1 ? 12 4 16? 16 V?ADN ?l ? V?ADF ?l ? ? ? ? DF 2 ? AF ? ? ? ? ? 7? . 3 3 7 7 7 7 49



CF ? AC ? AF ? 2 7 ?

4 7

?

14 ? 4 7

?

10 7



CO ? AO ? 7



CF : CO ? DF : QO ,

QO ?

CO ? DF 2 10 1 ? 7? 21 ? ? 21 .从而由圆锥体积公式得 CF 7 7 5
1 1 V平行四边形 NPQD ?l ? V梯形FOQD ?l ? V?CDF ?l ? V?CQO ?l ? ? ? DF 2 ? CF ? ? ? QO 2 ? CO 3 3

?

? 12 10
3 7 ( ? 7

?

21 40 7 1000? 343 657 ? 7 ) ? 7? ( ? ) ? 7? ? ? 7? .从而 25 49 25 1225 1225

V ? 2(

16 657 16 657 1057 302 7? . 7? ? 7? ) ? 2 7? ( ? ) ? 2 7? ? ? 49 1225 49 1225 1225 175 302 7? : 175

答:所求体积为

13.解: I) 可设 l :x ? my ? 4 , 与 ? 联立得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 . 这 是
y 的一元二次方程,由判别式 ? ? 0 解得 m 2 ? 4 .记 A(x1 , y1) , B(x2 , y 2) ,则

y1 ? y 2 ?

? 24 m 36 , y1 y 2 ? 2 . 2 3m ? 4 3m ? 4

由题设条件, OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 ? 0 ,
36 ? 24 m ? 4m ? ? 16 ? 0 , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 25 1 3 即 9(m2 ? 1) ? 24m2 ? 4(3m2 ? 4) ? 0 .得 ? 3m 2 ? 25 ? 0 , m 2 ? , ( ) 2 ? , 3 m 25

得 (m2 ? 1) y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 ,即 (m 2 ? 1) ?

?

3 3 . ?m? 5 5

故 l 的斜率的取值范围为 (?

3 3 , ). 5 5

因为 F(1,0),所以 FA1 ? , FB ? ,从而 (x1 ? 1,? y1) (x2 ? 1, y2)
( x1 ? 1) y2 ? ( x2 ? 1)(? y1 ) ? (my1 ? 3) y2 ? (my2 ? 3) y1
? 2my 1 y 2 ? 3( y1 ? y 2 ) ? 2m ? 36 ? 24 m ? 3? ? 0. 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

? FA 1 与 F、B 三点共线. 1 与 FB 共线, 即 A

III)假设 q ? 4 ,过 Q(q,0) 的直线与 ? 交于 A、B,且 A 关于长轴的对 称点为 A1 ,如果 A1 、F、B 三点共线.我们另取点 P(4,0) .设直线 AP 与 ? 交于
B1 ,那么如 II)的证明, A1 、F、B 三点必共线.故 B 与 B1 重合,从而直线

AB 和 AB1 重合,就是 AQ 与 AP 重合.所以 P 与 Q 重合, q ? 4 ,与假设矛 盾.这就是说, q ? 4 时,三点 A1 、F、B 不能共线.

14.解:
1 x
2 n ?1

2x ? 1 1 1 ? n ? 2 xn ? , xn?1 xn xn

2

1 1 2 ? 4 xn ? 4 ? 2 , 2 xn?1 xn

?

1 2 ? 4( xn ? 1) , n ? 1,2,3?. 2 xn



2006 n ?1

?(

2006 1 1 2 ? ) ? 4 ( xn ? 1) ,亦即 ? 2 2 xn?1 xn n ?1

1
2 x2007

?

2006 1 2 ? 4 xn ?8024, ? 2 x1 n ?1

由 x1 ? 1 得 (* ) 由于

1 x
2 2007

? 4 ? xn ?8025 .
2 n ?1

2006

xn?1 1 ? ? 1 , n ? 1,2,3,?, 且显然 xn ? 0 ,故 ?xn ? 是递减数列,且 2 xn 2 xn ? 1
1 x2 3 1 ? 3 ? , x2 ? ? , x3 ? 2 2 2 x 2 ? 1 2 ? 1 11 2 x1 ? 1 3 9

x1



2006

1 2 2006 2 1 2006 3 2 1 9 2 x ? 1 ? ( ) ? x ? 1 ? ? ?( ) ? 1? ? ? 2004? 151, ? ? n n 3 9 n?3 11 9 121 n ?1 n ?3

由(*)式得
8025? 1 x
2 2007

? 4 ? 151? 8025? 8629



1 1 1 1 2 2 ? x 2007 ? , lg ? lg x 2007 ? lg , 8629 8025 8629 8025 3 ? lg 8629? 2 lg x2007 ? ? lg 8025, ? 4 ? 2 lg x2007 ? ?3 , ? 2 ? lg x 2007 ? ? , 2

? k ? ?lg x2007 ? ? ?2 .

15.证明:因为△ABC 是锐角三角形,其三边 a, b, c 满足 a, b, c ? 0 ,以及
b ? c ? b, c ? a ? b, a ? b ? c, b 2 ? c 2 ? a 2 , c 2 ? a 2 ? b 2 , a 2 ? b 2 ? c 2 .

因此,由平均不等式可知
(b 2 ? c 2 ? a 2 ) x 2 ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) y 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) z 2

?

1 2 y2 z2 1 z 2 x2 1 x2 y2 (b ? c 2 ? a 2 ) x 2 ( 2 ? 2 ) ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) y 2 ( 2 ? 2 ) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) z 2 ( 2 ? 2 ) 2 2 2 z y x z y x
ayz bzx cxy 2 a2 y 2 z 2 b2 z 2 x2 c2 x2 y 2 ?( ? ? ) ? 2(bcx2 ? cay2 ? abz2 ) , ? ? 2 2 2 x y z x y z

?


[(b ? c) 2 ? a 2 ]x 2 ? [(c ? a) 2 ? b 2 ] y 2 ? [(a ? b) 2 ? c 2 ]z 2 ? ( ayz bzx cxy 2 ? ? ) ? P2 , x y z



亦即
(a ? b ? c)S ? P 2 , S ?
P2 . a?b?c
P .因此所求的 S 的 a?b?c

上式取等式当且仅当 x 2 ? y 2 ? z 2 ,亦即 x ? y ? z ?

P P2 最大值为 ,当 S 取最大值时, x ? y ? z ? . a?b?c a?b?c

y A B o l Q x A

y B o A1 F B1 l Q x C1 B C D D1 A A A1 D F N Q O P M E B C

(第 13 题答图) 图)

(第 10 题答图)

(第 12 题答

(命题:吴 康,黄宗明. 具体分工:黄宗明命第 4,10,13 题,吴 康命其余各题)


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