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2009年第一学期高一年级数学期末试题


7、若 a = 0.3 , b = log 2 0.3, c = 2
2

0.3

,则 a, b, c 的大小关系是

2009 年第一学期高一年级数学期末试题
(答题时间 120 分钟,满分 150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
每小题所给选项只有一项符合题意, 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 选择题( 序号填在答题卡上 在答题卡上) 序号填在答题卡上)
1、 下列四个写法: {0} = ? ; ② ? ∈ {0} ; ③ ? ? {0} ; ④ 0 ? ? 其中正确写法的个数是 ① ( A.1 B. 2 C. 3 D. 4 ( ) )

A、 a < c < b 8、 将函数 f(x)=sin(2x-

π
3

B、 a < b < c )的图象向左平移 )

π
3

C、 b < a < c

D、 b < c < a

个单位,再将图象上各点的横坐标压缩到原来的

1 , 那么所 2

得到的图象的解析表达式为 ( A.y=sinx

B.y=sin(4x-

π
3
)

)

C.y=sin(4x+

π
3

)
2

D.y=sin(x+

π
3

9、函数 y = log 0.6 (6 + x ? 2x ) 的单调增区间是 A、 (?∞, ] 10、 cos(

2、集合 A = {x | ?2 < x < 2}, B = {x | ?1 ≤ x < 3} ,那么 A U B = A、 {x | ?2 < x < 3} C、 {x | ?2 < x ≤ 1} B、 {x |1 ≤ x < 2} D、 {x | 2 < x < 3}

π

1 4 4

B、 [ ,+∞)

+ x) =

5 π ,且0 < x < ,则 13 4

1 4

C、 (?

3 1 , ] 2 4


D、 [ ,2)

1 4

cos 2 x sin(

π
4

等于(

? x)
(C)

(A) 3、下列函数 f(x)与 g(x)表示同一函数的是 A、 y = ( x ? 1) 0 与 y = 1 C、 y = x 与 y = ? B、 y = x 与 y = ( x )
2

13 24

(B)

12 13

24 13

(D)

13 12

? x,

x≥0

11、已知函数 f ( x ) = 2 x ,则 f (1 ? x ) 的大致图象为 y y y y

?? x, x < 0

D、 y = x 2 与 y = ( x ? 1) 2

4、二次函数 y = ? x 2 + bx + c 在区间 ( ?∞,2] 上是增函数,则实数 b 的取值集合是 A、 {b | b ≥ 4}
5

0 A

x

0 B

x

0 C

x D

0

x

B、 {4}

C、 {b | b ≤ 4}

D、 {? 4}

5、方程 x ? x ? 1 = 0 的一个正数解 x0 存在的区间可能是 A、 (0,1) B、 (1,2) C、 (2,3) ) D、 (3,4) 6、若角 α 的终边落在直线 y=2x 上,则 sin α 的值为( A、 ±

12、 已知函数 y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f ( 2 ) = 0 , 且 对任意 成立,则 f ( 2006 ) = A、4012 B、2008 C、2006

x ∈ R , f ( x + 4) = f ( x ) + f (4) 都有

D、0

1 5

B、

±

5 5

C、 ±

2 5 5

D、 ±

1 2

1

19、 本小题满分 12 分) (

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
将答案填在答题纸相应的位置上) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸相应的位置上) 填空题(
13、已知幂函数 y = f ( x) 的图象过点 2, 2 ,则 f (9) = 14、求值:

已知函数 f ( x ) = log a (1)求 f ( x ) 的定义域; 。

1+ x (a > 0, a ≠ 1) , 1? x

(

)

2

4 + log 2 3 = _____________。

(2)判断 f ( x ) 的奇偶性并证明; (3)求使 f ( x ) > 0 的 x 的取值范围。 。 20、 本小题满分 12 分) ( 某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图 1 所示;B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2 所示(利润与投资单位:万元) 。 (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资, 才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元? y y 2.5 0.45 0 21、 本小题满分 12 分) (
+

? x + 1, ( x > 0) ? 15、设 f ( x) = ? π , ( x = 0) 则 f { f [ f (?1)]} = ? 0, ( x < 0) ?
16、 给出下列三个命题: ①存在实数 α ,使 sin α ·cos α =1; ② f ( x ) = ?2 cos(

7π ? 2 x) 是奇函数; 2 3π 3 ③x = ? 是函数 y = 3 sin( 2 x ? π ) 的图象的一条对称轴. 8 4
.

1.8 x 图1

0 图2

4

x

其中正确命题的序号是

小题, 解答时必须写出必要的解题过程和步骤。 三、解答题(本题共 6 小题,共计 70 分;解答时必须写出必要的解题过程和步骤。) 解答题(
17、 本小题满分 10 分) ( 已知集合 A = {x | x 2 ? 3 x + 2 = 0} , B = {x | x 2 + 2( a + 1) x + ( a 2 ? 5) = 0} , (1)求 f (1) 的值; (1)若 A I B = {2} ,求实数 a 的值; (2)若 A U B = A ,求实数 a 的取值范围; 18、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = 5sin x cos x ? 5 3 cos x + (
2

设函数 y = f ( x ) 是定义在正实数集 R 上的减函数,并且满足 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) , f ? ? = 1 . (2)如果 f ( x ) + f ( 2 ? x ) < 2 ,求 x 的取值范围.

?1? ?3?

22、 本小题满分 12 分) ( 观察以下各等式:

5 3 (其中 x ∈ R ) ,求: 2

(1) 函数 f ( x) 的最小正周期; (2) 函数 f ( x) 的单调区间; (3) 函数 f ( x) 图象的对称轴和对称中心.

3 4 3 sin 2 200 + cos 2 500 + sin 200 cos 500 = 4 3 sin 2 150 + cos 2 450 + sin150 cos 450 = , 分析上述各式的共同特点, 写出能反映一般规律的等式, 4 sin 2 300 + cos 2 600 + sin 300 cos 600 =
并对等式的正确性作出证明。

2

高一数学答案
二、填空题: 13、 3 ;14、48 ;15、2 ;16、π+1 ; 17、 ( ,1) ; 18、①② 。

1 3

三、解答题(略解) : 19、解:由题意, 2a ? 1 = 9 或 a = 9
2

…………… 5

'

解得 a=5 或 a=3 或 a=-3

…………… 10 …………… 12' …………… 4' …………… 9
'

'

经检验,a=-3 20、 (11,15) (1) ; (2) ( , ) ;

5 1 7 7

(3)假设存在这样的元素(a,b) , 则 a+2b+2=a 且 4a+b=b;解得 a=0,b= -1 ∴ 存在元素(0,-1) ,它的输出值还是自己。 21、 (1)由

…………… 10

'

…………… 14 …………… 3
'

'

1+ x > 0 解得-1<x<1 1? x 1? x 1+ x + log a =0 1+ x 1? x

∴定义域为 { x | ?1 < x < 1} (2)∵ f ( ? x ) + f ( x ) = log a ∴f(x)是奇函数。 (3)当 a>1 时 ∵ log a

…………… 4'

…………… 8

'

1+ x >0 1? x



1+ x >1 1? x
…………… 11'

解得 0<x<1; 当 0<a<1 时 ∵ log a

1+ x >0 1? x

∴0 <

1+ x <1 1? x
…………… 14'

解得-1<x<0。

22、 (1)设投资为 x 万元, A、B 两产品获得的利润分别为 f(x) 、g(x)万元, 由题意, f ( x) = k1 x, g ( x) = k2 x , ( k1 , k2 ≠ 0; x ≥ 0) …………… 3
'

3

又由图知 f(1.8)=0.45 ,g(4)=2.5;解得 k1 = ∴ f ( x) =

1 5 , k2 = 4 4
…………… 6
'

1 5 x( x ≥ 0); g ( x) = x ( x ≥ 0) 4 4

(不写定义域扣 2 分) (2)设对 B 产品投资 x 万元,则对 A 产品投资(10-x)万元, 记企业获取的利润为 y 万元, 则y=

1 5 (10 ? x) + x ( x ≥ 0) 4 4
2

…………… 8

'

设 x = t ,则 x = t , (0 ≤ t ≤ 10)

1 5 65 (t ? ) 2 + 4 2 16 5 25 65 时,y 取最大值 当 t = 也即 x = 2 4 16 25 15 答:对 B 产品投资 万元,对 A 产品投资 万元时, 4 4 65 可获最大利润 万元。 (答 1 分,单位 1 分 ) 16
∴y=? 23、 (1)a=-1 或 a=0

…………… 12'

…………… 14' …………… 3
'

(2)对于函数f ( x) = x ?

1 x 若任意的x1 ,x2 ∈ (0, +∞), 且x1 < x2 则f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = ( x1 ? x2 )( x1 x2 + 1) < 0; 故f ( x)在(0,+∞)为增函数 x1 x2 3 2
…………… 6
'

∴当 m ∈ [2, 4] 时,f(m)的最小值是 f(2)= 由题意,n∈[1,5]时,g(n)≤

3 2
解得 b≥

∴g(1)≤

3 3 ,且 g(5)≤ 2 2 23 当 a=0 时,同理解得 b≥ 5

47 10

…………… 9

'

…………… 10

'

(3)由题意,当 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) 时,总有

x1 + x2 a 1 a a + ≥ ( x1 + + x2 + ) x1 + x2 2 2 x1 x2 2
整理得 a ( x1 ? x2 ) ≤ 0
2

…………… 12'

∴a ≤ 0

…………… 16

'

4


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