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高中数学人教A版必修5同步练习:2.5 第2课时《数列求和》


第二章
一、选择题

2.5 第 2 课时《数列求和》

1 1 1 1 1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…的前 n 项和 Sn 为( 2 4 8 16 1 A.n2+1- n 2 C.n2+2- [答案] A 1 2n B.n2+1-

) 1 - 2n 1

1 D.n2+2- n-1 2

1 [解析] 由题设知,数列的通项为 an=2n-1+ n,显然数列的各项为等差数列{2n-1} 2 1 1 1 1 1 和等比数列{ n}相应项的和,从而 Sn=[1+3+…+(2n-1)]+( + +…+ n)=n2+1- n. 2 2 4 2 2 2.已知数列{an}的通项公式是 an= A.11 C.120 [答案] C [解析] 因为 an= = n+1- n, 所以 Sn=a1+a2+…+an=( 2-1)+( 3- n+ n+1 1 1 n+ n+1 B.99 D.121 ,若前 n 项和为 10,则项数 n 为( )

2)+…+( n+1- n)= n+1-1=10,解得 n=120. 3.已知等比数列的前 n 项和 Sn=4n+a,则 a 的值等于( A.-4 C.0 [答案] B [解析] a1=S1=4+a, a2=S2-S1=42+a-4-a=12, a3=S3-S2=43+a-42-a=48, 由已知得 a2 2=a1a3, ∴144=48(4+a), ∴a=-1. 4.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n 1· (4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(


)

B.-1 D.1

)

A.200 C.400 [答案] B

B.-200 D.-400

[解析] S100=1-5+9-13+…+(4×99-3)-(4×100-3)=50×(-4)=-200. 1 5.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ,则 S5 等于( n?n+1? A.1 1 C. 6 [答案] B [解析] an= 1 1 1 = - , n?n+1? n n+1 5 B. 6 D. 1 30 )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ∴S5=1- + - + - + - + - =1- = . 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6
2 2 6.数列{an}中,已知对任意 n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则 a2 1+a2+a3+…+

a2 n等于(

) 1 B. (9n-1) 2 1 D. (3n-1) 4

A.(3n-1)2 C.9n-1 [答案] B [解析] ∵a1+a2+a3+…+an=3n-1,

∴a1+a2+a3+…+an-1=3n 1-1(n≥2),


两式相减得 an=3n-3n 1=2· 3n 1,
- -

又 a1=2 满足上式, ∴an=2· 3n 1.


∴a2 32n 2=4· 9 n 1, n=4·
- -

2 2 2 n 1 ∴a2 ) 1+a2+…+an=4(1+9+9 +…+9




4?1-9n? 1 n = (9 -1). 2 1-9

二、填空题 2 4 6 2n 7.数列 , 2, 3,…, n ,…前 n 项的和为________. 2 2 2 2 n+2 [答案] 4- n-1 2 2 4 6 2n [解析] 设 Sn= + 2+ 3+…+ n 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S = + + +…+ n+1 2 n 22 23 24 2 ①-②得 ① ②

1 2 2 2 2 2 2n 1 2n (1- )Sn= + 2+ 3+ 4+…+ n- n+1=2- n-1- n+1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n+2 ∴Sn=4- n-1 . 2 8.已知数列 a1+2,a2+4,…,ak+2k,…,a10+20 共有 10 项,其和为 240,则 a1 +a2+…+ak+…+a10=________. [答案] 130 [解析] 110=130. 三、解答题 9.求数列 1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an
-1

由题意,得 a1+a2+…+ak+…+a10=240-(2+4+…+2k+…+20)=240-

的前 n 项和.

[解析] 当 a=1 时,数列变为 1,3,5,7,…,(2n-1), n[1+?2n-1?] 2 则 Sn= =n , 2 当 a≠1 时,有 Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an 1,


① ②

aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an, ①-②得: Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an 1-(2n-1)an,


(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+a4+…+an 1)


a?1-an 1? =1-(2n-1)a +2· 1-a


n

2?a-an? =1-(2n-1)a + . 1-a
n

又 1-a≠0, 1-?2n-1?an 2?a-an? 所以 Sn= + . 1-a ?1-a?2 10.(2014· 全国大纲文,17)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. [解析] (1)证明:由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2-an+1=an+1-an+2. 即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)由(1)得 bn=1+2(n-1)=2n-1,

即 an+1-an=2n-1. 于是 ? (ak+1-ak)= ? (2k-1),
k=1 k=1 n n

所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n+2.

一、选择题 a2+a5+a17+a22 Sn 7n+1 1. 已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 且 = , 则 Tn n+3 b8+b10+b12+b16 =( ) 31 A. 5 C.6 [答案] A a2+a5+a17+a22 [解析] ∵ b8+b10+b12+b16 = = = ?a2+a22?+?a5+a17? ?b8+b16?+?b10+b12? 2a12+2a11 2b12+2b11 a11+a12 a1+a22 = , b11+b12 b1+b22 32 B. 5 D.7

S22 ?a1+a22?×22 a1+a22 又∵ = = , T22 ?b1+b22?×22 b1+b22 ∴ ∴ a1+a22 7×22+1 31 = = . 5 b1+b22 22+3 a2+a5+a17+a22 31 = . b8+b10+b12+b16 5 )

2.数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为( A.3690 C.1845 [答案] D B.3660 D.1830

[解析] 不妨令 a1=1,则 a2=2,a3=a5=a7=…=1,a4=6,a6=10,…,所以当 n 为奇数时,an=1;当 n 为偶数时,各项构成以 2 为首项,4 为公差的等差数列,所以前 60 30×?30-1? 项的和为 30+2×30+ ×4=1830. 2

3.数列{an}的通项公式是 an= 2sin( A.0 C.- 2 [答案] A π π [解析] a1= 2sin( + )=1, 2 4 π a2= 2sin(π+ )=-1, 4 a3= 2sin( 3π π + )=-1, 2 4

nπ π + ),设其前 n 项和为 Sn,则 S12 的值为( 2 4 B. 2 D.1

)

π a4= 2sin(2π+ )=1, 4 同理,a5=1,a6=-1, a7=-1,a8=1,a9=1, a10=-1,a11=-1,a12=1, ∴S12=0. 4.已知等差数列{an}满足 a5+a2n-5=2n(n≥3),则当 n≥1 时,2a1+2a3+…+2a2n-1 =( ) 22n-2 A. 3 2n-2 C. 3 [答案] B [解析] 由 a5+a2n-5=2n(n≥3),得 2an=2n, ∴an=n. ∴2a1+2a3+…+2a2n-1=2+23+25+…+22n = 2?1-4n? 22n 1-2 = . 3 1-4
+ -1

22n 1-2 B. 3


2n 1-2 D. 3


二、填空题 1 5.设 f(x)= x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的方法,可求得 f(-5)+f(-4) 2+ 2 +…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为________. [答案] 3 2 1 1 2 [解析] f(0)+f(1)= + = , 1+ 2 2+ 2 2 1 1 f(x)+f(1-x)= x + - 2 + 2 21 x+ 2



2 2x 2 + x x = 2 , 2?2 + 2? 2? 2+2 ?

∴f(-5)+f(-4)+…+f(5)+f(6) 1 = [?f?-5?+f?6??+?f?-4?+f?5??+…+?f?6? 2 1 +f?-5??]= ×12×(f(0)+f(1))=3 2. 2 6.求和 1+(1+3)+(1+3+32)+(1+3+32+32)+…+(1+3+…+3n 1)=________.


[答案]

3 n n (3 -1)- 4 2

[解析] a1=1,a2=1+3,a3=1+3+32,…… 1 - an=1+3+32+…+3n 1= (3n-1), 2 1 1 1 1 3 n ∴原式= (31-1)+ (32-1)+……+ (3n-1)= [(3+32+…+3n)-n]= (3n-1)- . 2 2 2 2 4 2 三、解答题 7.(2013· 浙江理,18)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成 等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. [解析] (1)由题意得 a1· 5a3=(2a2+2)2,a1=10, 即 d2-3d-4=0. 故 d=1 或 d=4. 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N*. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11.则 1 21 当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=- n2+ n. 2 2 1 21 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11= n2- n+110. 2 2

?-2n + 2 n, 综上所述,|a |+|a |+|a |+…+|a |=? 1 21 ?2n - 2 n+110,
2 1 2 3 n 2

1

21

n≤11, n≥12.

8.已知数列{an}和{bn}中,数列{an}的前 n 项和为 Sn.若点(n,Sn)在函数 y=-x2+4x 的 图象上,点(n,bn)在函数 y=2x 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由已知得 Sn=-n2+4n,

∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+5, 又当 n=1 时,a1=S1=3,符合上式. ∴an=-2n+5. (2)由已知得 bn=2n,anbn=(-2n+5)· 2n. Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)×2n, 2Tn=3×22+1×23+…+(-2n+7)×2n+(-2n+5)×2n 1.


两式相减得 Tn=-6+(23+24+…+2n 1)+(-2n+5)×2n
+ +1



23?1-2n 1? + +(-2n+5)×2n 1-6 1-2
- +

=(7-2n)· 2n 1-14.


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